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山西省平遥中学2012-2013学年度第一学期12月质检考试高三数学理

山西省平遥中学 2012—2013 学年度第一学期 12 月质检考试

高三数学理
考试时间:120 分钟 分值:150 分
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是正确的,将正确答案的代号涂在答题卡上. 1.已知集合 M ? {x | A.(- ,1 )
3 2

x ?1 ? 1} ,集合 N ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 (C R M ) ? N ? x ?1
B.(- ,1 ]
3 2

C.[- ,1 )

3 2

D.[- ,1 ]

3 2

2.下面是关于复数 Z ?

p1 : Z 的虚部为 ?2 p3 : | Z |? 5
其中真命题的为 A. p1 , p2 3.若 0 ? x ?

2i 3 ? 的四个命题: 1? i i p2 : Z 的共轭复数为 1 ? 2i

p4 : Z 在复平面内对应的点位于第三象限
B. p 3 , p4 C. p1 , p4 D. p 2 , p3 [

?
2

, 则“ x ?

1 1 ? x” ”是“ sin x sin x
B.充分不必要条件 D.既不充分与不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件 4. 利用数学归纳法证明不等式 1 ?

n ? k 到 n ? k ? 1 时,左边增加了
A.1 项 B. k 项

1 1 1 ? ??? n ? f (n)( n ? 2, n ? N * ) 的过程中, 由 2 3 2 ?1
C. 2
k ?1



D. 2 项

k

5.已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10, a ? b ? 5 2, 则 b 等于 A.

?

? ?

? ?

?

5

B. 10

C.5

D.25

6. 已知函数

f ( x) ? x ? 4 ?

9 , x ? (0,4) x ?1 ,当 x=a 时, f (x) 取得最小值 b,则函数

1 x ?b 的图象为 g( x) ? ( ) a

7.等比数列 {an } 的前三项和 S3 ? A. 2 或 ?

?

3 0

4 xdx ,若 a1 ,3 ? a2 , a3 成等差数列,则公比 q =
C. ? 2 或 ?

1 2

B. ? 2 或

1 2

1 2

D. 2 或

1 2

8. 设 l、m、n 表示三条直线,α 、β 、r 表示三个平面,则下面命题中不成立是 A.若 l⊥α ,m⊥α ,则 l∥m B.若 m ? β ,n 是 l 在β 内的射影,m⊥l,则 m⊥n C.若 m ? α ,n ? α ,m∥n,则 n∥α D.若α ⊥r,β ⊥r,则α ∥β 9.若函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x, x ? R, 又 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0, 且 | ? ? ? | 的最小值 为

3? , 则正数 ? 的值为 4 1 2 A. B. 3 3

C.

4 3

D.

3 . 2

10 . 若 函 数 f (x) 满 足 :“ 对 于 区 间 (1,2) 上 的 任 意 实 数 x1, x2 ( x1 ? x2 ) , ,则称 f (x) 为完美函数.在下列四个函数中,完美函数 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 恒成立” 是 A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ? x

C. f ( x) ? 2 x

D. f ( x) ? x 2

11.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为 A.

(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 3

B. (4 ? ? ) 3

C.

D.

(8 ? ? ) 3 6

12.已知函数 f ( x) ? 的最小值等于 A. ? 3

x 2 ? ax ? 11 (a ? R) ,若对于任意的 x ? N * , f ( x) ? 3 恒成立,则 a x ?1
B. ?

8 3

C. ?4 2 ? 3

D. ? 6

二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值” ,类比猜想在空间中 有 .

? 3x ? y ? 0 ? 14.若点 P(x,y)满足线性约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,点 A(3, 3 ) 为坐标原点, ,O ? y?0 ?
则 OA? OP 的最大值_________ . 15 . 若 a>0,b>0, 且 函 数 f ( x) ? 4 x ? ax ? bx ? 2 在 x=1 处 有 极 值 , 则 ab 的 最 大
3 2
? ?



.

16.若已知函数 f ( x) ? ex ? x2 ? x, 若对任意x1 , x2 ?[?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? k 恒成立, 则 k 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (2c ? a) cos B ? b cos A ? 0 . (1)若 b ? 7, a ? c ? 13 求此三角形的面积; (2)求 3 sin A ? sin(C ? 18. (本小题满分 12 分)

?
6

) 的取值范围.

? 1 ?6 ? x 0 ? x ? c ? 工厂生产某种产品, 次品率 p 与日产量 x (万件) 间的关系为: p ? ? (c ?2 x?c ?3 ?
为常数, 且 0<c<6) 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元, . 每出现 1 件次品亏损 1. 元. 5 (1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= 19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中,a2 ? 2, a5 ? 128, 若bn ? log2 an , 数列 bn } { 的前n 项的和为 S n . (1)若 Sn ? 35, 求n 的值; (2)求不等式 Sn ? 2bn 的解集. 20. (本小题满分 12 分)

次品数 ? 100% ) 产品总数

? 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB // CD, ?ABC ? 90 ,

AB ? PB ? PC ? BC ? 2CD, 平面PBC ? 平面ABCD
(1)求证: AB ? 平面PBC (2)求平面 PAD 和平面 BCP 所成的二面角(小于 90 )的大小。 (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使 CM // 平面PAD ? 若存在,求 P
?

PM 的值。若不存在,请说明理由。 PB

C

D

21. (本小题满分 12 分) B A

数列 ?an ? 前 n 项和为 S n , a1 ? 4, an ?1 ? 2 S n ? 2n ? 4 . (1)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (2)设 bn ?

an ? 1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,求证: 8Tn ? 1 . an an ?1

22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 3.
2

(1) 求函数 f ( x )在[t , t ? 2](t>0) 上的最小值; (2) 若对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x )≥g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x>

1 2 ? 成立. e x ex

平遥中学 2012-2013 学年高三第一学期 12 月质检考试

试题参考答案(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是正确的. DCADC BCDBA DA 二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 14.6 15.18 16. ?e ? 1,??? 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解:由已知及正弦定理得 ( 2 sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0 , 即 2 sin C cos B ? sin( A ? B ) ? 0 ,在 ?ABC 中, 由 sin( A ? B ) ? sin C 故 sin C ( 2 cos B ? 1) ? 0 , C ? (0, ? ),? sin C ? 0, ? 2 cos B ? 1 ? 0 所 ? 以 B ? 60 ?
2

?.3 分

(Ⅰ)由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60? ? ? a ? c ? ? 3ac ,即 7 2 ? 132 ? 3ac 得 ac ? 40 ?5 分 所以△ ABC 的面积 S ?

1 ac sin B ? 10 3 2

5分

(Ⅱ) 3 sin A ? sin ? C ? ? = 3 sin A ? sin( ? A)

? ?

?? 6?

? 2

?? ? ? 3 sin A ? cos A ? 2sin ? A ? ? ?8 分 6? ?
又 A ? ? 0,

? ? ? 5? ? ? 2? ? ? ,∴ A ? 6 ? ? 6 , 6 ? , ? ? ? 3?
? ?

则 3 sin A ? sin ? C ?

?? ?? ? ? ? 2sin ? A ? ? ? ?1,2? . ?.10 分 6? 6? ?

18. (本小题满分 12 分)

另解: (2) 当 0 ? x ? c, y ? 3x ? 令t ? 6 ? x 若3 ? c ? 6

9x 9 45 ? ?3(6 ? x ? ) ? ?7 分 2?6 ? x) ? 6? x 2

?6 ? c ? t ? 6

9 45 ? y ? ?3(t ? ) ? ?8 分 t 2 45 9 y ? ?3 ? 6 ? ? (当且仅当 t ? 3, 即x ? 3时取等号。? 10 分 2 2

若 0 ? c ? 3 ,函数在 (6 ? c,6) 为单调减函数, 所以, t ? 6 ? c即x ? c 取得最大值。 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a2 ? a1q ? 2, a5 ? a1q4 ? 128 得 q3 ? 64 ?12 分

? q ? 4, a1 ?

1 2

1 n ?1 ? 4 ? 2 2 n ?3 ?bn ? log2 an ? log2 22n?3 ? 2n ? 3 2 ?bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2 ?{bn } 是以 b1 ? ?1 为首项,2为公差的等差数列. (?1 ? 2n ? 3)n ? Sn ? ? 35, n 2 ? 2n ? 35 ? 0 (n ? 7)(n ? 5) ? 0即n ? 7 ..8 分 2 ? an ? a1q n ?1 ?
(Ⅱ)? Sn ? bn ? n2 ? 2n ? (2n ? 3) ? n2 ? 4n ? 3 ? 0

?3 ? 3 ? n ? 3 ? 3

?n ? N?

? n ? 2 , 3 , 4 即,所求不等式的解集为 {2 , 3, 4} ?12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:因为∠ABC= 900 ,所以 AB⊥BC。 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC AB ? 平面 ABCD,所以 AB⊥平面 PBC (2)取 BC 的中点 O,连接 PO (1 分)

(3 分)

因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A 所以平面 MNC∥平面 PAD

(10 分)

因为 CN ? 平面 MNC 所以 CM∥平面 PAD ( 12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)? an ?1 ? 2 S n ? 2n ? 4,? n ? 2 : an ? 2 S n ?1 ? 2(n ? 1) ? 4 ??2 分 ? n ? 2 : an ?1 ? 3an ? 2 又 a2 ? 2 S1 ? 2 ? 4 ? 10 ? n ? 1: an ?1 ? 3an ? 2 a ?1 ? a1 ? 1 ? 3 ? 0,? an ? 1 ? 0,? n ?1 ?3 an ? 1 (2)由(1) an ? 1 ? 3 ,? an ? 3 ? 1,
n n

?? 4 分

故数列 ?an ? 1? 是首项为 3,公比为 3 的等比数列

??

6分

3n 1 1 1 ? bn ? n ? ( n ? n ?1 ) ?? 9 分 n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ) = 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ??11 分 ( ? n?1 ) 2 4 3 ?1 1 ?? 12 分 ?Tn ? ,? 8Tn ? 1 8
22. (本小题满分 12 分) 解(1) f ?( x ) ? ln x ? 1 , —————1 分

当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 —————2 分

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ② ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在 ?t , t ? 2? 上单调递增, f ( x) min ? f (t ) ? t ln t ; e e
①0 ? t ?

所以 f ( x) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?

—————5 分

(2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

3 ,[来源: http://wx.jtyjy.com/] x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x x2

当 x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减,当 x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x) min ? h(1) ? 4 —————8 分

所以 a ? h( x) min ? 4 ; (3)问题等价于证明 x ln x ? http://wx.jtyjy.com/]

—————9 分

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e 1 e

—————10 分[来源:

由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ?

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x ,易知 x e e e 1 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立 e ex
设 m( x ) ?

1 时取到, e

—————12 分

天 星

t e s o o n