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宁武县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

宁武县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知向量 =(1, A.1 A.35 B. B. ), =( C. C. ,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° D.tan35° ) D.53 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 5 名运动员争夺 3 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),获得冠军的可能种数为(

3. 已知双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8 渐近线方程是( A.y=± x B.y=± ) C.xy=±2 x

x 的焦点相同,且双曲线 C 过点 P(﹣2,0),则双曲线 C 的

D.y=±

x

4. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (0 ? ? ? 小距离为 A.

?
2

) 与 y 轴的交点为 (0,1) ,且图像上两对称轴之间的最

? 6

? ,则使 f ( x ? t ) ? f (? x ? t ) ? 0 成立的 t 的最小值为( )1111] 2 ? ? B. C. 3 2

D.

2? 3


5. 已知命题 p:?x∈(0,+∞),log2x<log3x.命题 q:?x∈R,x3=1﹣x2.则下列命题中为真命题的是( A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q

6. 已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为前项和,公差为 d ,若 A.

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值为( 2017 17
C. 10

) D. 20

1 20

B. ),则(

1 10
) , , )是增函数 )是减函数 )是减函数 )是增函数

7. 函数 f(x)=tan(2x+

A.函数最小正周期为 π ,且在(﹣ B.函数最小正周期为 ,且在(﹣ , ,

C.函数最小正周期为 π ,且在( D.函数最小正周期为 A.增函数且最小值为 3 ,且在(

8. 如果函数 f(x)的图象关于原点对称,在区间上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间上是( B.增函数且最大值为 3



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C.减函数且最小值为﹣3 D.减函数且最大值为﹣3

9. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是,,, BH 为 AC 边上的高, BH ? 5 ,若

20aBC ? 15bCA ? 12cAB ? 0 ,则 H 到 AB 边的距离为(
A.2 的切线,则椭圆的离心率为( A. B. B.3 ) C.

) C.1 D.4

10.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆

D.

11.如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf (m) ? nf (n) ? mf (n) ? nf (m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2x ? 5 ;② f ( x) ? ? x3 ? 4x ? 3;③ f ( x) ? 2 2x ? 2(sin x ? cosx) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? ?0 , x ? 0
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大. 12.设命题 p:函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 )

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( A.p 为假 B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假

2 2 2 13.圆 ( x - 2) + y = r ( r > 0 )与双曲线 x 2 -

y2 = 1的渐近线相切,则 r 的值为( 3



A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识, 意在考查基本运算能力. 14.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa B.6πa C.12πa D.24πa
2 2 2 2



15.已知 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? i ,其中 i 是虚数单位,则 A. ? 1 B.

z1 的虚部为( z2



4 5

C. ? i

D. i

4 5

【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念,复数除法的运算法则,主要突出对知识的基础性考查,属于容 易题.

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二、填空题
16.对任意实数 x,不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 17. 一个正四棱台, 其上、 下底面均为正方形, 边长分别为 2cm 和 4cm ,侧棱长为 2cm ,

则其 表面积为__________ cm2 .
18.如图,正方形 O ' A ' B ' C ' 的边长为 1 cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的 周长为 .

1111] 19.函数 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 y ? f ? x ? 1? 的定义域是__________.111]

三、解答题
20. ∠ABC= 如图, 在四棱锥 O﹣ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN∥平面 OCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离. OA⊥底面 ABCD, OA=2, ,

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21.(本小题满分 12 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (1)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (2)数列{ bn }满足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) ,其前 n 项和为 Tn ,试求满足 Tn ? 最小正整数 n. 【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前 n 项和性质的问题,其中对逻辑推理的要求很高.

n2 ? n ? 2015 的 2

22.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC ,?ABD ? 为 PA 的中点. (Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ? 6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 , F

P

F D

C

A

B

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23.已知条件 p : 的取值范围.

4 ? ?1 ,条件 q : x2 ? x ? a2 ? a ,且 p 是的一个必要不充分条件,求实数 x ?1

24.(本小题满分 12 分)
3?3 ? a ? 2 1 x ? 9 x 无极值点. 设 p :实数满足不等式 3a ? 9 ,:函数 f ? x ? ? x 3 ? 3 2

(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数的取值范围;
1? 1? ? ? (2)已知“ p ? q ”为真命题,并记为,且: a 2 ? ? 2m ? ? a ? m ? m ? ? ? 0 ,若是 ?t 的必要不充分 2? 2? ? ?

条件,求正整数 m 的值.

25.(本题 12 分) 正项数列 {an } 满足 an 2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前项和为 Tn . (n ? 1) an

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宁武县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 2. 【答案】D
3 【解析】解:每一项冠军的情况都有 5 种,故 5 名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 5 ,

), =( =

,x)共线, = ,

=

故选:D. 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,属于基础题. 3. 【答案】A
2 【解析】解:抛物线 y =8

x 的焦点(2
2

,0), , .

双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y =8 双曲线 C 的渐近线方程是 y=± 故选:A. x.

x 的焦点相同,c=2

双曲线 C 过点 P(﹣2,0),可得 a=2,所以 b=2

【点评】本题考查双曲线方程的应用,抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查. 4. 【答案】A 【解析】

考 点:三角函数的图象性质. 5. 【答案】 B 【解析】解:命题 p:取 x∈[1,+∞),log2x≥log3x,因此 p 是假命题.

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3 2 命题 q:令 f(x)=x ﹣(1﹣x ),则 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0,∴f(0)f(1)<0,∴?x0∈(0,1), 3 2 使得 f(x0)=0,即?x∈R,x =1﹣x .因此 q 是真命题.

可得¬p∧q 是真命题. 故选:B. 【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法,考查了推理能力,属于基 础题. 6. 【答案】B 【解析】

n ? n ? 1? S n na1 ? d d ?S ? 2 ? ? a1 ? ? n ? 1? ? ,则 ? n ? 为等差数列公差为 , 试题分析:若 ?an ? 为等差数列, n n 2 2 ?n? S S d 1 ? 2017 ? 17 ? 100, 2000 ? ? 100, d ? ,故选 B. 2017 17 2 10
考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式. 7. 【答案】D 【解析】解:对于函数 f(x)=tan(2x+ 在( , )上,2x+ ∈( ),它的最小正周期为 , , )单调递增,

),函数 f(x)=tan(2x+

故选:D. 8. 【答案】D 【解析】解:由奇函数的性质可知,若奇函数 f(x)在区间上是减函数,且最小值 3, 则那么 f(x)在区间上为减函数,且有最大值为﹣3, 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,比较基础. 9. 【答案】D 【解析】

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考 点:1、向量的几何运算及平面向量基本定理;2、向量相等的性质及勾股定理. 【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理,属于难题,平 面向量问题中,向量的线性运算和数量积是高频考点,当出现线性运算问题时,注意两个向量的差

OA ? OB ? BA ,这是一个易错点,两个向量的和 OA ? OB ? 2OD ( D 点是 AB 的中点),另外,要选好基底
向量,如本题就要灵活使用向量 AB, AC ,当涉及到向量数量积时,要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几 何意义等. 10.【答案】D 【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点 由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线, 所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2. 又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a﹣c. 所以 2a﹣c= 故选 D. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义. 11.【答案】 B ,所以 e= . .

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第 12.【答案】C 【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; 函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 13.【答案】C
x

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

=

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

14.【答案】B 【解析】解:根据题意球的半径 R 满足
2 2 (2R) =6a , 2 2 所以 S 球=4πR =6πa .

故选 B

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15.【答案】B 【解析】由复数的除法运算法则得,

4 z z1 1 ? 3i (1 ? 3i)(3 ? i) 6 ? 8i 3 4 ? ? ? ? ? i ,所以 1 的虚部为 . 5 z2 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 5 5 z2

二、填空题
16.【答案】 (﹣4,0] . 【解析】解:当 a=0 时,不等式等价为﹣4<0,满足条件; 当 a≠0 时,要使不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立, 则满足 即 ∴ 解得﹣4<a<0, 综上:a 的取值范围是(﹣4,0]. 故答案为:(﹣4,0]. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,注意要对二次项系数进行讨论. 17.【答案】 12 3 ? 20 【解析】 , ,

考 点:棱台的表面积的求解. 18.【答案】 8cm 【解析】

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考点:平面图形的直观图. 19.【答案】 ??1,1? 【解析】

考 点:函数的定义域.

三、解答题
20.【答案】 【解析】解:方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE ∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD 又∵NE∥OC,∴平面 MNE∥平面 OCD∴MN∥平面 OCD (2)∵CD∥AB,∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角) 作 AP⊥CD 于 P,连接 MP ∵OA⊥平面 ABCD,∴CD⊥MP ∵ ∴ 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 (3)∵AB∥平面 OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 AQ⊥OP 于点 Q, . ,∴ , ,

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∵AP⊥CD,OA⊥CD, ∴CD⊥平面 OAP,∴AQ⊥CD. 又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离, ∵ , ,



,所以点 B 到平面 OCD 的距离为



方法二(向量法) 作 AP⊥CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐标系: A 0, 0) B 0, 0) (0, , (1, , O(0,0,2),M(0,0,1), (1) , 设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 即 取 ∵ ? ,解得 =( , ,﹣1)?(0,4, )=0, ? =0, ? =0 , , ,

∴MN∥平面 OCD. (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ , ∵ ∴ ∴ ,AB 与 MD 所成角的大小为 , .

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(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,则 d 为 由 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 .

在向量

=(0,4, =

)上的投影的绝对值,

,得 d=

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力,考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力. 21.【答案】 【解析】(1)当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, Sn ? n ? 2an , ① ② (3 分) (1 分)

Sn?1 ? (n ?1) ? 2an?1 ,

①-②得, an ? 1 ? 2an ? 2an?1 即 an ? 2an?1 ? 1 , 即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)(n ? 2) ,又 a1 ? 1 ? 2 . 即 an ? 1 ? 2n 故 an ? 2n ? 1 ( n ? N ).
*

所以 ?an ?1 ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (5 分)

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22.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6)2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD2 ? AB2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3

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P

F

E D

C

O
23.【答案】 ? ?1, 2? . 【解析】 试题分析:先化简条件 p 得 ?3 ? x ? 1 ,分三种情况化简条件,由 p 是的一个必要不充分条件,可分三种情况 列不等组,分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.
A B

1 4 x ? ? a ? 1? ? ? 0 ,当 a ? 时,q : ? ; ? ?1 得 p : ?3 ? x ? 1 ,由 x 2 ? x ? a 2 ? a 得 ? x ? a ? ? ? ? 2 x ?1 1 1 当 a ? 时, q : ? a ?1, ?a ? ;当 a ? 时, q : ? ?a, a ?1? 2 2 由题意得, p 是的一个必要不充分条件, 1 1 ? 1? 当 a ? 时,满足条件;当 a ? 时, ? a ?1, ?a ? ? ? ?3,1? 得 a ? ? ?1, ? , 2 2 ? 2? 1 ?1 ? 当 a ? 时, ? ?a, a ?1? ? ??3,1? 得 a ? ? , 2 ? 综上, a ?? ?1, 2? . 2 ?2 ?
试题解析: 由 考点:1、充分条件与必要条件;2、子集的性质及不等式的解法. 【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件,属于中档题,判断 p 是的什么 条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件,二是由条件能否推得条件 p .对于带有否定性的命题 或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆 命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.本题的解答是根据集合思想解不等式求解的. 24.【答案】(1) a a ? 1或2 ? a ? 5 ;(2) m ? 1 . 【解析】

?

?

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(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与只有一个命题是真命题.
?a ? 2 若 p 为真命题,为假命题,则 ? ? a ? 1 .………………………………5 分 ?a ? 1或a ? 5 ?a ? 2 ? 2 ? a ? 5 .……………………………………6 分 若为真命题, p 为假命题,则 ? ?1 ? a ? 5

于是,实数的取值范围为 a a ? 1或2 ? a ? 5 .……………………………………7 分

?

?

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考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件. 25.【答案】(1) an ? 2n ;(2) Tn ?

n . 2(n ? 1)

考 点:1.一元二次方程;2.裂项相消法求和.

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