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浙教版八年级数学下册4.4 反证法答案导学案


八年级数学(下)组别_____

姓名_____

主备人:沈剑英 日期:2013/03/

审核人

批改

4.4

反证法

【学习目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题. 4、了解定理“在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交” “在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”. 【学习内容】书本 P86—P87 【学习过程】 一、复习导入 1.“a<b”的反面应是????????????????????????????( ) A.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b 或 a>b 二、知识梳理: 2.反证法的概念: 在证明一个命题时,有时先假设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知 矛盾,者与 , , 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的,即所求 证的命题 . 种证明方法叫做反证法. 3.有关定理. 在 内,如果一条直线与两条 直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 在 内,如果两条直线都和第三条直线 ,那么这两条直线也互相 . 三、应用新知 ★老师提醒 1:用反证法证明命题的一般步骤:一反设(否定结论) ;二归缪(利用已知条件和反设, 已学过的公理、定理、定义、法则进行推理,得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假 设矛盾) ;三写出结论(肯定原命题成立). 4.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同位角不相等,则这两条直线不平行. 已知:如图,直线 a , b 被直线 c 所截,∠1≠∠2. 求证:直线 a 不平行于直线 b . 证明:假设 , 那么∠1=∠2( ).. 这与 矛盾. ∴假设 不成立. ∴直线 a 不平行于直线 b . 答案:a∥b 两直线平行,同位角相等 ∠1≠∠2 a∥b 5. 在证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”时,第一步应假设?????????( A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 答案:B 6.完成下列证明: 如图,在△ABC 中,若∠C 是直角,那么∠B 一定是锐角.
1



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主备人:沈剑英 日期:2013/03/

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证明:假设结论不成立,则∠B 是______或______. 当∠B 是____时,则________ _,这与_____ ___矛盾; 当∠B 是____时,则______ ___,这与_______ _矛盾. 综上所述,假设不成立. ∴∠B 一定是锐角. 答案:直角 钝角 直角 ∠B+∠C=180° 三角形的三个内角和等于 180° 钝 角 ∠B+∠C>180° 三角形的三个内角和等于 180° ★老师提醒 2:应用反证法证题时,首先要正确分清命题的题设和结论,正确全 面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形,那么必须把各种可能性都列出来,并且逐一加以否 定之后,才能肯定原结论正确. 7.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线 l1,l2,l3 在同一平面内,且 l1∥l2,l3 与 l1 相交于点 P. 求证: l3 与 l2 相交. 证明: 假设____________,即_________. ∵_________(已知), ∴过直线 l2 外一点 P 有两条直线和 l2 平行, 这与“_______________________ _____________”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. ∴l3 与 l2 相交. ★老师提醒 3:证明两直线相交的又一判定方法. 8.求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

★老师提醒 4:当正面证明比较繁杂或较难证明时,用反证法证明是一种证明的思路,本题的结论 是判定两直线平行的又一判定定理. 四、回顾小结 这一节课有什么收获? 五、能力提升 9. 不论 x 为何实数,在直角坐标系中,点 ( x , x ? 3) 不可能在???????????( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵x>x-3,∴x<0 且 x-3>0 不可能成立,即点(x,x-3)不可能在第二象限. 答案:B 10.对于同一平面内的三条直线 a,b,c,给出下列五个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c; ⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件,一个作为结论,组成一个你认为正确的命题________. 解析:成立的命题有:①②→④;①④→②;②④→①;②③→⑤;②⑤→③;③⑤→②.
2

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主备人:沈剑英 日期:2013/03/

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答案:如条件①②,结论④. 11.如图, ? A P C ? 4? , ? P C D

? ? , ? BAP ? 60 ? ?

,AB∥CD,则 ? 的度数

是 . 解析:过 P 作 AB 的平行线,可证得∠APC=∠A+∠C. 答案:15° 12.用反证法证明:连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最 短. 已知:如图,P 为直线 AB 外一点,PC⊥AB 于 C,PD 和 AB 不垂直. 求证:PC<PD. 证明:假设 PC≥PD. (1)当 PC=PD 时,那么∠PCD=∠PDC=90°,即 PD⊥AB,这与 PD 和 AB 不 垂直矛盾. ∴PC≠PD. (2)当 PC>PD 时,那么∠PDC>∠PCD. 而∠PCD=90°,这与三角形三个内 角和等于 180°矛盾. ∴PC<PD.

P

A

D

C

B

3


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