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青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案 新人教A版必修1


3.1.2 用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 朝霞般美好的理想,在向你们召唤。你们是一滴一滴的水,全将活跃在祖国的大海里! 【学习目标】 1.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.让学生初步了解逼近思想,体会数学逼近过程,感受精度与近似的相对统一. 3.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤. 【学习重点】 通过用二分法求方程的近似解, 体会函数的零点与方程根之间的联系, 初步形成用函数观点 处理问题的意识 【学习难点】 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解 【自主学习】 1.二分法的定义 (1)满足条件:



在区间

上的图象

.

②在区间

端点的函数值

.

(2)操作过程:

1

把波函数 点逐步逼近 2.二分法的步骤

的零点所在的区间不断地 ,进而得到零点的近似值.

,使区间的两个端

(1)验证:确定区间

,验证

,给定精确度 .

(2)求中点:求区间

的中点 .

(3)计算:①若

,则

就是函数的零点;

②若

,则令

(此时零点

);

③若

,则令

(此时零点

).

(4)判断:若

,则得到零点近似值 (或 );否则重复(2)~(4).

【预习评价】

1.用二分法求如图所示函数

的零点时,不可能求出的零点是

A.

B.

C.

D.

2.已知 至少有一个解

,用二分法求方程

的近似解时,在下列哪一个区间内

2

A.(-3,-2)

B.(0,1)

C.(2,3)

D.(-1,0)

3.用二分法求方程 ,

在区间[0,1]上的近似解时,经计算, ,即得到方程的一个近似解为 (精确度为 0.1).



知识拓展 · 探究案 【合作探究】

1.二分法的定义

图中函数

在区间

上的零点是否可以用二分法求解?

2. 二分法的定义 间? 3.二分法的定义

用二分法求函数的近似零点, 采用什么方法能进一步缩小零点所在的区

用二分法求函数的零点时,决定二分法步骤结束的条件是什么?

4.用二分法求方程的近似解

如图为函数



的图象,根据图象回答下列问题:

3

(1)方程

的解与函数



的交点坐标有何关系?

(2)用二分法求方程

在区间

上的近似解的步骤是什么?

【教师点拨】 1.对二分法定义的两点说明 (1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二,逐步逼近零点的办法,找到零点附近 足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示函数的零点. (2)二分法是求函数零点的一种常用方法,是“逐步逼近”的数学思想的应用.

2.精确度 与计算次数即等分区间次数的关系

精确度是方程近似解的一个重要指标,它由计算次数决定,若初始区间是

,那么经

过 次取中点后,区间的长度是

,只要这个区间的长度小于精确度 ,那么这个区间内

的任意一个值都可以作为方程的近似解,因此计算次数和精确度满足关系

,即

,其中 只取正整数.

3.用二分法求方程近似解的四个关注点 (1)解的近似性:所得的解一般是近似解. (2)局限性:只能解决一部分函数的零点问题. (3)精确度问题:精确度决定二分法的步骤次数. (4)解的不唯一性:在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解,一 般取左右端点值. 【交流展示】 1.下列函数图象与轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是
4

A.

B.

C.

D.

2.已知

的图象是一条连续不断的曲线,且在区间 的区间,这些区间满足: ,若

内有唯一零点

,用二分法

求得一系列含零点

,则

的符号为

A.正 C.非负

B.负 D.正、负、零均有可能

3.在用二分法求方程的近似解时,若初始区间是(1,5),精确度是 0.1,则对区间(1,5) 至多二等分的次数是 .

4.利用计算器或计算机用二分法求方程

的一个正值近似解(精确度 0.1).

【学习小结】 1.二分法的局限性
5

(1)二分法一次只能求一个零点.

(2)在

内有零点时,

未必成立,而这样的零点不能用二分法求解.

(3)二分法计算量较大,常要借助计算器完成. 2.利用二分法求函数零点必须满足的两个条件 (1)图象:函数图象在零点附近是连续不断的. (2)函数值:函数在该点两侧的函数值符号相反. 3.二分法求方程近似解的三个关注点 (1)有根区间的判断原则:每一次取中点后,若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解; 若中点函数值不等于零,则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间. (2)知二求一:精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求 得另一个. (3)列表法:二分法求解过程中,每次取中点求值可以采用列表的方式,使计算步数明确, 当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步. 【当堂检测】

用二分法求方程 则方程的根所在的区间为 A.(1.25,1.5)

在(1,2)内近似解的过程中得







B.(1,1.25)

C.(1.5,2)

D.不能确定

6

3.1.2 用二分法求方程的近似解

详细答案 课前预习 · 预习案 【自主学习】 1.(1)①连续不断 ②f(a)·f(b)<0 (2)-分为二 零点 2.(1)f(a)·f(b)<0 (3)①c ②(a,c) 【预习评价】 1.C 2.D 3.0.532(答案不唯一) 知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.可以.因为该函数 y=f(x)满足二分法求函数零点的两个条件:①f(x)在[a,b]上连续不 断;②f(a)·f(b)<0. 2.可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间. 3.根据二分法的步骤和题目精确度的要求,若出现 f(c)=0,则步骤结束,否则需要零点 所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度 ε 时,二分法的步骤结束. 4.(1)方程 f(x)=g(x)的解就是函数 y=f(x)与 y=g(x)图象交点的横坐标. (2)①构造:令 F(x)=f(x)-g(x); ②定区间:确定区间[a,b],使 F(a)·F(b)<0; ③求解:用二分法求 F(x)在区间[a,b]上的零点近似值. 【交流展示】
7

③(c,b)

(4)|a-b|<ε

1.B 2.A 3.6 4.近似解可取为 2.437 5.过程略 【当堂检测】A

8


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