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人教版高中数学1.6《三角函数模型的简单应用》课件(1)(新人教A版必修4)_图文

1.5 函数 y ? Asin( ?x ? ?)的图象
第一课时

问题提出
1.正弦函数y=sinx的定义域、值域分别 是什么?它有哪些基本性质?

2.正弦曲线有哪些基本特征?

y 1

-6π

-4π

-2π

-5π -3π



π





O





6π x

-1

3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的 三角函数,在物理中,简谐运动中的单 摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形
如 y ? Asin( ?x ? ?)的函数.我们需要了解
它与函数y=sinx的内在联系.
4.?、?、A是影响函数图象形态的重要
参数,对此,我们分别进行探究.

探究一:?对y ? sin( x ? ?) 的图象的影响

思考1:y

?

sin(

x

?

?
3

)

函数周期是多少?

你有什么办法画出该函数在一个周期内

的图象?

y

?? o ?
36

7? 5?

63

? 2? π

2π x

23

y ? sin( x ? ? )
3

思考2:比较函数

y

?

sin(

x

?

?
) 3

与y

?

sin

x

的图象的形状和位置,你有什么发现?

y

y ? sin( x ? ? )
3

y sin x
7? 5?

63

? ? o ? ? 2? π
3 6 23

2π x

函数 y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是

把曲线 y ? sin x3上所有的点向左平移
个单位长度而得到的.

?
3

思考3:用“五点法”作出函数

y ? sin( x ? ? )在一个周期内的图象,比较

它与函数

3
y?

sin

x

的图象的形状和位置,

你又有什么发现?

y y sin x

4? 11? 7?

3
o ? ? 5? π

63
2π x

32 6

y ? sin( x ? ? )
3

思考4:一般地,对任意的?(? ≠0),
函数 y ? sin( x ? ?)的图象是由函数y ? sin x
的图象经过怎样的变换而得到的?
y ? sin( x ? ?)的图象,可以看作是把正
弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当
?>0时)或向右(当 ?<0时)平行 移动|? |个单位长度而得到.

思考5:上述变换称为平移变换,据此 理论,函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象可以看
作是由 y ? sin x 的图象6经过怎样变换而
得到?

函数y sin(x ) 的图象,可以看作是

把曲线 y ? sin x 6上所有的点向右平移

个单位长度而得到的.

6

? 探究二:?( >0)对 y ? sin( ?x ? ?)的图象的影响
思考1:函数 y ? sin( 2x ? ? )周期是多少? 如何用“五点法”画出该3 函数在一个周 期内的图象?
y

75

12 6

o



2π x

6 12 3 2
y ? sin( 2x ? ? )
3

思考2:比较函数 y ? sin( 2x ? ? )与

3

y

?

sin(

x

?

?
3

)

的图象的形状和位置,你有

什么发现?

y

y sin(x )

3

??
3 o

75 12 6


5?
3 2π x

6 12 3 2

y ? sin( 2x ? ? )
3

y y sin(x ) 3

??
3 o

75 12 6


5?
3 2π x

6 12 3 2

y ? sin( 2x ? ? )

3

函数 y ? sin( 2x ? ? )的图象,可以看作是 把 y ? sin( x ? ? )的3 图象上所有的点横坐 标缩短到原来3的 1倍(纵坐标不变)而

得到的.

2

思考3:用“五点法”作出函数y ? sin( 1 x ? ? ) 在一个周期内的图象,比较它与函2数 3

?

y

?

sin(

x

?

3

)

的图象的形状和位置,你又 cos?

有什么发现?

y

??

3

2

o

32

y sin(x ) 3

5? 7

? π4

3

3



32

3

10

3



x

y sin( 1 x

)

23

y

??

3

2

o

32

y sin(x ) 3

5? 7

3

3

? π4



32

3

10

3



x

y sin( 1 x

)

23

函数 y ? sin( 1 x ? ? ) 的图象,可以看作是 把 y ? sin( x ?2? ) 的3图象上所有的点横坐标 伸长到原来的3 2倍(纵坐标不变)而得

到的.

思考4:一般地,对任意的 ?(?>0),
函数 y ? sin( ?x ? ?)的图象是由函数 y ? sin( x ? ?)的图象经过怎样的变换而 得到的?

函数 k?Z y ? sin( ?x ? ?)的图象,可以看作是

把函数 y ? sin( x ? ?) 的图象上所有点的

横坐标缩短(当 ? >1时)或伸长(当0

<?<1时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)

而得到的.

?

思考5:上述变换称为周期变换,据此

理论,函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象可以看

作是把函数

y

?

3 sin( x

?

?

6 )

的图象进行怎

样变换而得到的? 6

函数 2p y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象,可以看作是 把 y ? sin( x ?3? ) 的6图象上所有的点横坐标 伸长到原来的6 1.5倍(纵坐标不变)而 得到的.

思考6:函数

y

?

sin(

2 3

x

?

?
6

)

的图象可以看

作是把函数y ? sin x 的图象进行怎样变

换而得到的?

函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象,可以看作是

先把 y

3
sin x

的图6 象向右平移

,再把

6

图象上所有的点的横坐标伸长到原来的

1.5倍(纵坐标不变)而得到的.

理论迁移

例1 要得到函数 y ? sin( 3x ? ? ) 的图象,
只需将函数 y ? sin 3x 的图象5 ( D )

A.向左平移个 B.向右平移个

? ?5

单位 单位

C.向左平移个 ?5 单位

D.向右平移个 1?5 单位

15

例2 画出函数 y ? sin( 2x ? ? )的简图,并
说明它是由函数 y ? sin x 的4 图象进行怎
样变换而得到的?
y

57 88
o 3? π
8 8 82
y

2π x
sin(2x ) 4

小结作业
1.函数 y ? sin( x ? ?) 的图象可以由函数
y ? sin x 的图象经过平移变换而得
到,其中平移方向和单位分别由φ 的符 号和绝对值所确定.
2.对函数y ? sin( x ? ?)的图象作周期变换, 它只改变x的系数,不改变φ的值.

3.函数 y ? sin( ?x ? ?) 的图象可以由函 数 y ? sin x 的图象通过平移、伸缩变换 而得到,但有两种变换次序,不同的变 换次序会影响平移单位.
4.余弦函数y cos( x )的图象变换与 正弦函数类似,可参照上述原理进行.

作业:
P55练习: 1 . P57习题1.5 A组:1.(1)(2)
(做书上)