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31.2.1


教学的重点和难点
?

重点:三角函数的定义,各三角函数值在 每个象限的符号,特殊角的三角函数值. 难点:对三角函数的自变量的多值性的理 解,三角函数的求值中符号的确定.

?

复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c

sin ? ?

a
M

cos? ?
tan? ?

?
O b

a c b c a b

新课

导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中: OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b
2 2

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

y

﹒P?a, b?
?

o



MP b tan ? ? ? OM a

M x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P(a,b)

P?

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP


M

?

O

M?

x

M ?P? ? OP? ? OM ? OP ?

MP tan ? ? OM

M ?P? ? OM ?

1.锐角三角函数(单位圆中)
我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。 设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(a,b), 那么 | OP |? 1
y 1 α P(a,b )

MP (1)正弦:sinα= =b; OP
OM (2)余弦:cosα= OP

=a;
.

0

M A(1,0) x

MP b (3)正切:tanα= OM ? a

2.任意角的三角函数定义
我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y ) y 叫做 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; 那么:(1)

? (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? ? x ; y y ? (3) 叫做 的正切,记作 tan? ,即 tan ? ? ( x ? 0)
x
x
y

P ? x, y ?


O

?
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边 y

说 明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

P ( x, y )

?

x
A(1,0)

o
正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? 横坐标等于0,tan ? ? 无意义,此时 ? ? ? k? ( k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

5? 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 3

实例

剖析

5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 3
的终边与单位圆的交点坐标为 5? 5? 3 5? 1 ? ? 3. 所以 sin ? ? , cos ? , tan 3 2 3 3 2 7? 5? y 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 5? sin ?? , 6 2 3 ﹒ o A x 7? ? 3 cos ? , P15.3 6 2 ﹒
1 3 ( , ? ). 2 2

B

7? 3 t an ? 6 3

P15.1

定义推广:
设角? 是一个任意角, P( x, y ) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ? 0.

y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ② 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r r y y ?x ? 0? tan ? ? ? ③ 叫做 的正弦,即 x x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

例2.已知角 ? 的终边经过点 P ,求角 ? 0 (?3,?4) 的正弦、余弦和正切值 . 解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 3?

2

? (?4) ? 5
2

于是,
sin ? ? y 4 ?? ; r 5

x 3 cos ? ? ? ? ; r 5
tan ? ? y 4 ? . x 3

巩固

提高

练习: 1.已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 12 ?

2

? 52 ? 13

y 5 x 12 于是,sin ? ? ? , cos ? ? ? ? r 13 r 13

y 5 tan ? ? ? ? x 12

P15.2

2.已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值. 解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0? ?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
2 2

8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17a 17 ?15a 15

3.已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解: ?1?当角?的终边在第一象限时,
在角?的终边上取点?1, 2 ?,则r= 12 ? 22 ? 5
sin ? ? 2 2 5 1 5 2 ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 5 5 1 5 5

? 2?当角?的终边在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2? ? 5
2 2

?2 2 5 ?1 5 ?2 sin ? ? ?? ,cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos?

sin ?

R
R
? ? ? ?? ? ? ? k? (k ? Z )? 2 ? ?

tan?

2.确定三角函数值在各象限的符号
y ( +) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( +) o x ( - )( + ) cos?

y ( -) ( + ) o x ( +) ( - ) tan?

三个三角函数在各象限的符号
y sin ? ? r
y + +

x cos ? ? r
x

y

y tan ? ? x
y
+ o + - x

+ + x

o

-

-o

y

sin ? 全为+
tan ? cos ?
o x

记法:
一全 三切 二正弦 四余弦

心得:角定象限,象限定符号.

P15.3

例3. 求证:当下列不等式组成立时,角 ?

为第三象限角.反之也对.

证明:

?sin ? ? 0 ? ? tan? ? 0

① ②

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.

反过来请同学们自己证明.

P15.6



如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?

360?? 角的三角函数值 .

例题
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250 ;(2) sin(23? ( 5 ) sin 3.cos 4.tan( ? ) 4

?
4

);(3) tan(-672 );(4) tan3 ? .

解: (1)因为

250 ?是第三象限角,所以 cos 250 ? ? 0;

? ? ? sin (2)因为 ? 是第四象限角,所以 ? ? ? ? 0; ? 4? 4 (3)因为 tan(?672?)= tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而48?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0;

?

(4)tan3? ? tan(? ? 2? ) ? tan? ? 0.

例5.求下列三角函数值: 9π 11π (1) cos ; (2)tan() 4 6 9 ? ? ? 2 解:(1) cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? ; 4 4 4 2
11? ? ? 3 (2) tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? . 6 6 6 3

6.已知 ? 在第二象限, 试确定 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号.
解: ∵? 在第二象限, ∴-1<cos?<0, 0<sin?<1.

? , ∴- ? <cos?<0, 0<sin?< ? . ∵- ? < 1, 1< 2 2 2 2
∴sin(cos?)<0, cos(sin?)>0. ∴sin(cos?)?cos(sin?)<0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号为“ - ”号.

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3
? 11? 解: cos ? ? ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?

? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

归纳
1. 内容总结:

总结

①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

sin? ? y ? MP
M
A P

cos ? ? x ? OM

思考: 为了去掉等式中得绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?

我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y

P
x

? 的终边

M?
? 的终边
P?
o M

T P MA
(1,0)

sin ? ? y ? MP

P

cos ? ? x ? OM

M

A T

y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA
T M P A MA P T

这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 分别叫做角? 的正弦线、余弦线、正切线.统称为 三角函数线.
T P
M A

P M

T A T
M P

A

MA

P T

当角? 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线分别 变成一个点;此时角? 的正弦值和正切值都为0 当角? 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点, 正切线不存在.此时角? 的正切值不存在。

例 题 示 范
4? 例1.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

例2.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线. ? 2? ( 1) ;(2)? . 3 3

例1.在0~ 2? 内,求使

3 sin a > 2
y

成立的α的取值范围.
y = 3 2
P2 P P1 M x

? ?( ,
3

? 2?
3

O

)

例2.利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角.
s i n? ? 1 2

3 tan ? ? 3
y

解:

y P2 o P1 x

30?T

o
210?

A

x

30?≤?≤150?

30?<?<90?或210?<?<270?

π 例3.若0 ? α ? ,试比较sin? ,tan? ,? 的大小. 2
?


解:如图,在单位圆中,设?AOP=? (? ? (0, )),则AP=? . 2 过点P作PM ? OA于M,过点A作AT ? OA交OP的延长线于T,

则角?的正弦线为MP,正切线为AT .
?POA的面积<扇形POA的面积<?AOT的面积,
1 1 1 ? ? OA ? MP< ? OA ? ? < ? OA ? AT, 2 2 2

y

T P

即MP ? ? ? AT.

O

M Ax

? sin ? ? ? ? tan ? .

例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2? 4? sin 与 sin 3 5
2? 4? tan 与 tan 3 5

解: 如图可知:
2? 4? sin ? sin 3 5

S2

S1 P1 P2
M2 M1 o

B

A

例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2? 4? si n 与 si n 3 5

2? 4? tan 与 tan 3 5
S2 S1 B A
T2

解: 如图可知:
2? 4? si n ? si n 3 5 2? 4? tan ? tan 3 5

o

T1

例5.求函数 f (a ) = 2cos a - 1 的定义域.
y P2 P

1 cos ? ? 2
?
3

O

M

x
P1

? ? [?

? 2 k? ,

?
3

1 x = 2

? 2 k? ] ( k ? Z )

练习
3? 5? 3? 3? 7? A( , ) B ( , ) C ( , 2? ) D( , ) 2 4 4 4 2 2 4

1.在(0, 2? )内使 cos x ? sin x ? tan x成立的x的取值范围是( C )

? 3?

y

o

M A x

3? 2.若? ? ( , ? ),则下列各式错误的是( D ) 4

P T
y P M o x y=-x

( A)sin ? ? cos ? ? 0
(C ) | sin ? |?| cos ? |

( B)sin ? ? cos ? ? 0 ( D)sin ? ? cos ? ? 0

分析: sin ? ? 0,cos? ? 0,| sin ? |?| cos ? |

小结sin ? ? cos? ?的符号问题:
y
P P o M P

y

sin ? ? cos ? ? 1,?? ? (0, ) 2

?

x

M M o

x
y=-x

y y=-x M P o x

y

o

MM P

x P

0 ? sin ? ? cos ? ? 1,?? ? ( , ) 2 4 3? sin ? ? cos ? ? 0,?? ? ( , ? ) 4 3? ? ? ? cos ? ? 0, 3? sin ? ? ? ( ? , ) ) 若 ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ( k ? 2 4 4 3? 7? 则sin ?? ? cos ?? ?? 0 0,?? ? ( , ) sin ? cos 2 4 3? 7? ?(k ? ) 若 sin ?? 2k ? ? ? ? ? 2( k7 ? ? cos ? ? 0, ? ? ? , 2? ) 4 4 4 则sin ? ? cos ? ? 0

? 3?

小 结
1. sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? ? k ? 2? ) ? t an? (k ? z )
2.三角函数线的定义,会画 任意角的三角函数线; 3. 利用单位圆比较三角函数值 的大小,求角的范围.


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