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二次函数图像和性质习题精选(含答案)


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二次函数图像和性质习题精选
1. (2014?宁夏)已知 a≠0,在同一直角坐标系中,函数 y=ax 与 y=ax 的图象有可能是( A. B. C. D.
2



2. (2014?北海)函数 y=ax +1 与 y= (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A. B. C. D.

2



3. (2014?遵义)已知抛物线 y=ax +bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( A. B. C. D.

2



4. (2014?南昌)已知反比例函数 y= 的图象如图,则二次函数 y=2kx ﹣4x+k 的图象大致为(

2

2



A.

B.

C.

D.

5. (2014?泰安)二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表: X 0 1 3 ﹣1 y 3 5 3 ﹣1 下列结论: (1)ac<0; (2)当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小.

2

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(3)3 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的一个根; 2 (4)当﹣1<x<3 时,ax +(b﹣1)x+c>0. 其中正确的个数为( ) A .4 个 B.3 个
2

2

C .2 个

D.1 个 )

6. (2014?广东)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(

A.函数有最小值 C. 当 x< ,y 随 x 的增大而减小

B.

对称轴是直线 x=

D.当﹣1<x<2 时,y>0

7. (2014?盘锦)如图,平面直角坐标系中,点 M 是直线 y=2 与 x 轴之间的一个动点,且点 M 是抛物线 y= x +bx+c 的顶点,则方程 x +bx+c=1 的解的个数是(
2 2



A .0 或 2

B.0 或 1
2

C .1 或 2

D.0,1 或 2

8. (2014?淄博)已知二次函数 y=a(x﹣h) +k(a>0) ,其图象过点 A(0,2) ,B(8,3) ,则 h 的值可以 是( ) A .6 B.5 C .4 D.3 9. (2013?徐州)二次函数 y=ax +bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: … … x 0 1 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … … y ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 则该函数图象的顶点坐标为( ) A.(﹣3,﹣3) B.(﹣2,﹣2) C.(﹣1,﹣3)
2 2

D.(0,﹣6) )

10. (2013?南宁)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是(

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A.图象关于直线 x=1 对称 B. 函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 C. ﹣1 和 3 是方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 D.当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大 11. (2012?济南)如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1) , (1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法 正确的是( )

A.y 的最大值小于 0 C. 当 x=﹣1 时,y 的值大于 1
2

B. 当 x=0 时,y 的值大于 1 D.当 x=﹣3 时,y 的值小于 0

12. (2012?德阳)设二次函数 y=x +bx+c,当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,那么 c 的取值范 围是( ) A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3 13. (2009?新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( )

A.h=m

B.k=n
2

C.k>n

D.h>0,k>0

14. (2009?丽水)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数 的图象关于直线 x=1 对称;③当 x=﹣1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是( )

A .3

B.2

C .1

D.0

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15. (2009?南昌)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是(

2



A.ac<0 B. 当 x=1 时,y>0 2 C. 方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个大于 1 的实数根 D.存在一个大于 1 的实数 x0,使得当 x<x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>x0 时,y 随 x 的增大而增大 2 16.如图,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)的对称轴是直线 x=1,且经过点 P(3,0) ,则 a﹣b+c 的值为( )

A .0 B.﹣1 C .1 17. (2007?烟台)下列图中阴影部分的面积相等的是( )

D.2

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2 18. (2007?达州) 已知抛物线 y=ax +bx+c (a<0) 的部分图象如图所示, 当 y>0 时, x 的取值范围是 (



A.﹣2<x<2

B.﹣4<x<2
2

C.x<﹣2 或 x>2 )

D.x<﹣4 或 x>2

19. (2007?泰州)已知:二次函数 y=x ﹣4x﹣a,下列说法错误的是( A.当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 B. 若图象与 x 轴有交点,则 a≤4 C. 当 a=3 时,不等式 x2﹣4x+a<0 的解集是 1<x<3

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D.若将图象向上平移 1 个单位,再向左平移 3 个单位后过点(1,﹣2) ,则 a=3 20. (2009?塘沽区一模) 下列表格给出的是二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的几组对应值, 那么方程 ax +bx+c=0 的一个近似解可以是( ) x 3.3 3.4 3.5 3.6 y 0.03 0.09 ﹣0.06 ﹣0.02 A.3.25 B.3.35
2 2 2

C.3.45

D.3.55

21. (2010?徐汇区一模)已知二次函数 y=ax +bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是



) B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 D.方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实数根
2

A.抛物线开口向上 C. 当 x=3 时,y<0

22. (2013?沙湾区模拟)已知二次函数 y1=ax +bx+c(a≠0)与一次函数 y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点 A (﹣2,4) ,B(8,2) (如图所示) ,则能使 y1<y2 成立的 x 的取值范围是( )

A.x>2

B.x<﹣2

C.x>0

D.﹣2<x<8 (a≠0)的图象如图所示.在这个范

23. (2012?北辰区一模)在﹣3≤x≤0 范围内,二次函数 围内,有结论: ①y1 有最大值 1、没有最小值; ②y1 有最大值 1、最小值﹣3; ③函数值 y1 随 x 的增大而增大; 2 ④方程 ax +bx+c=2 无解; ⑤若 y2=2x+4,则 y1≤y2. 其中正确的个数是( )

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A .2

B.3
2

C .4

D.5

24. (2011?苏州模拟)抛物线 y=﹣x +bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表: x… ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y… 0 4 6 4 0 … 根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是 x=1;②x>1 时,y 的值随着 x 的增大而减小:③抛物 线有最高点:④抛物线的顶点、与 x 轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为 36.其中正确说法的个数 有( ) A .1 B.2 C .3 D.4 25. (2010?河北)如图,已知抛物线 y=x +bx+c 的对称轴为 x=2,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平 行,其中点 A 的坐标为(0,3) ,则点 B 的坐标为( )
2

A.(2,3)
2

B.(3,2)

C.(3,3)

D.(4,3)
2

26.如图为二次函数 y=ax +bx+c 的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程 ax +bx+c=0 的根为 x1=﹣1, x2=3;③a+b+c>0;④当 x<1 时,y 随 x 值的增大而增大;⑤当 y>0 时,x<﹣1 或 x>3.其中,正确 的说法有( )

A.①②④
2

B.①②⑤

C.①③⑤

D.②④⑤ )

27.已知二次函数 y=x +2(a﹣1)x+2.如果 x≤4 时,y 随 x 增大而减小,则常数 a 的取值范围是( A.a≥﹣5 B.a≤﹣5 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3

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28.如图,平行于 y 轴的直线 l 被抛物线 y=0.5x +1,y=0.5x ﹣1 所截,当直线 l 向右平移 3 个单位时,直 线 l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为( )平方单位.

2

2

A .3

B.4

C .6
2

D.无法可求 )

29.已知直线经过点 A(0,2) ,B(2,0) ,点 C 在抛物线 y=x 的图象上,则使得 S△ ABC=2 的点有( 个.

A .4 30.如图,已知抛物线

B.3

C .2

D.1

,直线 y2=3x+3,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1,y2.若

y1≠y2,取 y1,y2 中的较小值记为 M;若 y1=y2,记 M=y1=y2.下列判断: ①当 x>0 时,y1>y2;②使得 M 大于 3 的 x 值不存在;③当 x<0 时,x 值越大,M 值越小; ④使得 M=1 的 x 值是 其中正确的是( 或 ) .

A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

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二次函数图像和性质习题精选(含答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?宁夏)已知 a≠0,在同一直角坐标系中,函数 y=ax 与 y=ax 的图象有可能是( A. B. C. D.
2



考点: 二次函数的图象;正比例函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 本题可先由一次函数 y=ax 图象得到字母系数的正负,再与二次函数 y=ax2 的图象相比较看是否一
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致. (也可以先固定二次函数 y=ax 图象中 a 的正负,再与一次函数比较. ) 2 解答: 解:A、函数 y=ax 中,a>0,y=ax 中,a>0,但当 x=1 时,两函数图象有交点(1,a) ,故 A 错误; 2 B、函数 y=ax 中,a<0,y=ax 中,a>0,故 B 错误; 2 C、函数 y=ax 中,a<0,y=ax 中,a<0,但当 x=1 时,两函数图象有交点(1,a) ,故 C 正确; 2 D、函数 y=ax 中,a>0,y=ax 中,a<0,故 D 错误. 故选:C. 点评: 函数中数形结合思想就是:由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系 数的性质符号画出函数图象的大致形状.
2

2

2. (2014?北海)函数 y=ax +1 与 y= (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A. B. C. D.



考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象. 分析: 分 a>0 和 a<0 两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限,然后选择答案即可. 解答: 解:a>0 时,y=ax2+1 开口向上,顶点坐标为(0,1) ,
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y= 位于第一、三象限,没有选项图象符合, a<0 时,y=ax +1 开口向下,顶点坐标为(0,1) , y= 位于第二、四象限,B 选项图象符合. 故选:B. 点评: 本题考查了二次函数图象与反比例函数图象,熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键.
2

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3. (2014?遵义)已知抛物线 y=ax +bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( A. B. C. D.

2



考点: 二次函数的图象;一次函数的图象. 分析: 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一 致.逐一排除. 解答: 解:A、由二次函数的图象可知 a<0,此时直线 y=ax+b 经过二、四象限,故 A 可排除; B、二次函数的图象可知 a<0,对称轴在 y 轴的右侧,可知 a、b 异号,b>0,此时直线 y=ax+b 经 过一、二、四象限,故 B 可排除; C、二次函数的图象可知 a>0,此时直线 y=ax+b 经过一、三,故 C 可排除; 正确的只有 D. 故选:D. 点评: 此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象,应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象 限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
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4. (2014?南昌)已知反比例函数 y= 的图象如图,则二次函数 y=2kx ﹣4x+k 的图象大致为(

2

2



A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象. 分析: 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数 k<﹣1,再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位 置相比较看是否一致,最终得到答案. 解答: 解:∵函数 y= 的图象经过二、四象限,∴k<0,
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由图知当 x=﹣1 时,y=﹣k>1,∴k<﹣1, 2 2 ∴抛物线 y=2kx ﹣4x+k 开口向下,

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对称为 x=﹣

= ,﹣1< <0,

∴对称轴在﹣1 与 0 之间, 故选:D. 点评: 此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用,正确判断抛物线开口方向和对称 轴位置是解题关键.属于基础题. 5. (2014?泰安)二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表: X 0 1 3 ﹣1 y 3 5 3 ﹣1 下列结论: (1)ac<0; (2)当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小. 2 (3)3 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的一个根; 2 (4)当﹣1<x<3 时,ax +(b﹣1)x+c>0. 其中正确的个数为( ) A .4 个 B.3 个
2

C .2 个

D.1 个

考点: 二次函数的性质;二次函数图象与系数的关系;抛物线与 x 轴的交点;二次函数与不等式(组) . 专题: 图表型. 分析: 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5, 然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可 得解. 2 解答: 解: (1)由图表中数据可得出:x=1 时,y=5,所以二次函数 y=ax +bx+c 开口向下,a<0;又 x=0 时,y=3,所以 c=3>0,所以 ac<0,故(1)正确;
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(2)∵二次函数 y=ax +bx+c 开口向下,且对称轴为 x=

2

=1.5,∴当 x>1.5 时,y 的值随 x 值的

增大而减小,故(2)错误; 2 (3)∵x=3 时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3 是方程 ax +(b﹣1) x+c=0 的一个根,故(3)正确; 2 2 2 (4)∵x=﹣1 时,ax +bx+c=﹣1,∴x=﹣1 时,ax +(b﹣1)x+c=0,∵x=3 时,ax +(b﹣1)x+c=0, 2 且函数有最大值,∴当﹣1<x<3 时,ax +(b﹣1)x+c>0,故(4)正确. 故选:B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与 x 轴的交点,二次函数与不等 式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键. 6. (2014?广东)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(
2



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A.函数有最小值 C. 当 x< ,y 随 x 的增大而减小

B.

对称轴是直线 x=

D.当﹣1<x<2 时,y>0

考点: 二次函数的性质. 专题: 数形结合. 分析: 根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断 A; 根据图形直接判断 B; 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断 C; 根据图象,当﹣1<x<2 时,抛物线落在 x 轴的下方,则 y<0,从而判断 D. 解答: 解:A、由抛物线的开口向上,可知 a>0,函数有最小值,正确,故 A 选项不符合题意;
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B、由图象可知,对称轴为 x= ,正确,故 B 选项不符合题意; C、因为 a>0,所以,当 x< 时,y 随 x 的增大而减小,正确,故 C 选项不符合题意; D、由图象可知,当﹣1<x<2 时,y<0,错误,故 D 选项符合题意. 故选:D. 点评: 本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题. 7. (2014?盘锦)如图,平面直角坐标系中,点 M 是直线 y=2 与 x 轴之间的一个动点,且点 M 是抛物线 y= x +bx+c 的顶点,则方程 x +bx+c=1 的解的个数是(
2 2



A .0 或 2

B.0 或 1

C .1 或 2

D.0,1 或 2

考点: 二次函数的性质. 专题: 数形结合;分类讨论;方程思想. 分析: 分三种情况:点 M 的纵坐标小于 1;点 M 的纵坐标等于 1;点 M 的纵坐标大于 1;进行讨论即可得
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到方程 x +bx+c=1 的解的个数. 解答: 解:分三种情况: 点 M 的纵坐标小于 1,方程 x +bx+c=1 的解是 2 个不相等的实数根; 点 M 的纵坐标等于 1,方程 x +bx+c=1 的解是 2 个相等的实数根; 点 M 的纵坐标大于 1,方程 x +bx+c=1 的解的个数是 0. 故方程 x +bx+c=1 的解的个数是 0 或 1 或 2. 故选:D. 点评: 考查了二次函数的性质,本题涉及分类思想和方程思想的应用. 8. (2014?淄博)已知二次函数 y=a(x﹣h) +k(a>0) ,其图象过点 A(0,2) ,B(8,3) ,则 h 的值可以 是( ) A .6 B.5 C .4 D.3 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线 x=h,由于所给数据都是正数,所以当对称轴在 y 轴的右侧时,比较点 A 和点 B 到对称轴的距离可得到 h<4. 解答: 解:∵抛物线的对称轴为直线 x=h, ∴当对称轴在 y 轴的右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比 B(8,3)到对称轴的距离小, ∴x=h<4. 故选:D. 点评:
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2

2

2

2

2

2

本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣ 称轴直线 x=﹣
2

2



) ,对
2

, 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象具有如下性质: ①当 a>0 时, 抛物线 y=ax +bx+c 时,y 随 x 的增大而减小;x>﹣ 时,y 随 x 的增大而增大;x=﹣

(a≠0)的开口向上,x<﹣

时,y 取得最小值 的开口向下,x<﹣

,即顶点是抛物线的最低点.②当 a<0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0) 时,y 随 x 的增大而增大;x>﹣ 时,y 随 x 的增大而减小;x=﹣ 时,y

2

取得最大值

,即顶点是抛物线的最高点.

9. (2013?徐州)二次函数 y=ax +bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: … … x 0 1 ﹣3 ﹣2 ﹣1

2

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y

﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 则该函数图象的顶点坐标为( ) A.(﹣3,﹣3) B.(﹣2,﹣2) …

﹣11

… D.(0,﹣6)

C.(﹣1,﹣3)

考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可. 解答: 解:∵x=﹣3 和﹣1 时的函数值都是﹣3 相等, ∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2, ∴顶点坐标为(﹣2,﹣2) . 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解 题的关键.
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10. (2013?南宁)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是(

2



A.图象关于直线 x=1 对称 B. 函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 2 C. ﹣1 和 3 是方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根 D.当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况,结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判断. 解答: 解:A、观察图象,可知抛物线的对称轴为直线 x=1,则图象关于直线 x=1 对称,正确,故本选项不 符合题意;
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B、观察图象,可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4) ,又抛物线开口向上,所以函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的最小值是﹣4,正确,故本选项不符合题意; C、由图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0) ,而对称轴为直线 x=1,所以抛物线与 x 轴的 另外一个交点为(3,0) ,则﹣1 和 3 是方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根,正确,故本选项不符合 题意; D、由抛物线的对称轴为 x=1,所以当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,错误,故本选项符合题意. 故选 D. 点评: 此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题. 11. (2012?济南)如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1) , (1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法 正确的是( )
2

2

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A.y 的最大值小于 0 C. 当 x=﹣1 时,y 的值大于 1

B. 当 x=0 时,y 的值大于 1 D.当 x=﹣3 时,y 的值小于 0

考点: 二次函数的图象;二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答. 解答: 解:A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以 y 的最大值大于 1,不小于 0;故本选 项错误; B、由图象知,当 x=0 时,y 的值就是函数图象与 y 轴的交点,而图象与 y 轴的交点在(1,1)点的 左边,故 y<1;故本选项错误; C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大,∵﹣1<1,∴x=﹣1 时,y 的 值小于 x=1 时,y 的值 1,即当 x=﹣1 时,y 的值小于 1;故本选项错误; D、当 x=﹣3 时,函数图象上的点在点(﹣2,﹣1)的左边,所以 y 的值小于 0;故本选项正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答此题时,需熟悉二次函数图象的开口方向、对 称轴、与 x 轴的交点等知识.
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12. (2012?德阳)设二次函数 y=x +bx+c,当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,那么 c 的取值范 围是( ) A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3 考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 因为当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,所以函数图象过(1,0)点,即 1+b+c=0①, 由题意可知当 x=3 时,y=9+3b+c≤0②,所以①②联立即可求出 c 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0, ∴函数图象过(1,0)点,即 1+b+c=0①, ∵当 1≤x≤3 时,总有 y≤0, ∴当 x=3 时,y=9+3b+c≤0②, ①②联立解得:c≥3, 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是由给出的条件得到抛物线过(1,0) ,再代入函数的解 析式得到一次项系数和常数项的关系.
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13. (2009?新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是(



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A.h=m

B.k=n

C.k>n

D.h>0,k>0

考点: 二次函数的图象. 专题: 压轴题. 分析: 借助图象找出顶点的位置,判断顶点横坐标、纵坐标大小关系. 解答: 解:根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为(h,k) , (m,n) , 因为点(h,k)在点(m,n)的上方,所以 k=n 不正确. 故选:B. 点评: 本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用.
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14. (2009?丽水)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;②该函数 的图象关于直线 x=1 对称;③当 x=﹣1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是( )

2

A .3

B.2

C .1

D.0

考点: 二次函数的性质. 分析: 根据抛物线的性质解题. 解答: 解:①抛物线开口向下,a<0,所以①错误; ②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形,所以②该函数的图象关于直线 x=1 对称,正确; ③当 x=﹣1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0,也正确. 故选 B. 点评: 本题考查了抛物线的开口方向,轴对称性和与 x 轴的交点等知识.
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15. (2009?南昌)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是(

2



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A.ac<0 B. 当 x=1 时,y>0 C. 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于 1 的实数根 D.存在一个大于 1 的实数 x0,使得当 x<x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>x0 时,y 随 x 的增大而增大 考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,逐一判断. 解答: 解:A、抛物线开口向上,a>0,抛物线与 y 轴交于正半轴,c>0,所以 ac>0,错误; B、由图象可知,当 x=1 时,y<0,错误;
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C、方程 ax +bx+c=0(a≠0)有一个根小于 1,一个根大于 1,错误; D、存在一个大于 1 的实数 x0,使得当 x<x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>x0 时,y 随 x 的增大 而增大,正确. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系,涉及的知识面比较广. 16. (2008?仙桃)如图,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)的对称轴是直线 x=1,且经过点 P(3,0) ,则 a﹣b+c 的值为( )
2

2

A .0

B.﹣1

C .1

D.2

考点: 二次函数的图象. 专题: 压轴题. 分析: 由“对称轴是直线 x=1,且经过点 P(3,0)”可知抛物线与 x 轴的另一个交点是(﹣1,0) ,代入抛 物线方程即可解得. 解答: 解:因为对称轴 x=1 且经过点 P(3,0) 所以抛物线与 x 轴的另一个交点是(﹣1,0) 2 代入抛物线解析式 y=ax +bx+c 中,得 a﹣b+c=0. 故选 A. 点评: 巧妙利用了抛物线的对称性.
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17. (2007?烟台)下列图中阴影部分的面积相等的是(



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A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 专题: 压轴题. 分析: 根据坐标系的点的坐标特点,分别求出三角形的底和高,计算面积,再比较. 解答: 解:①与坐标轴的两个交点为(0,2) (2,0) ,阴影部分的面积为 2×2÷2=2; ②当 x=1 时,y=3,阴影部分的面积为 1×3÷2=1.5; ③与 x 轴的两个交点的横坐标为﹣1,1,两点间的距离为:1﹣(﹣1)=2,与 y 轴的交点为(0, ﹣1) .阴影部分的面积为 2×1÷2=1; ④当 x=1 时,y=4,阴影部分的面积为 1×4÷2=2. ①④面积相等. 故选 D. 点评: 解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高.
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18. (2007?达州) 已知抛物线 y=ax +bx+c (a<0) 的部分图象如图所示, 当 y>0 时, x 的取值范围是 (

2



A.﹣2<x<2

B.﹣4<x<2

C.x<﹣2 或 x>2

D.x<﹣4 或 x>2

考点: 二次函数的图象. 专题: 压轴题. 分析: 先根据对称轴和抛物线与 x 轴的交点求出另一交点;再根据开口方向,结合图形,求出 y>0 时,x 的取值范围. 解答: 解:因为抛物线过点(2,0) ,对称轴是 x=﹣1, 根据抛物线的对称性可知,抛物线必过另一点(﹣4,0) , 因为抛物线开口向下,y>0 时,图象在 x 轴的上方, 此时,﹣4<x<2. 故选 B. 点评: 解答本题,利用二次函数的对称性,关键是判断图象与 x 轴的交点,根据开口方向,形数结合,得 出结论.
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19. (2007?泰州)已知:二次函数 y=x ﹣4x﹣a,下列说法错误的是( ) A.当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 B. 若图象与 x 轴有交点,则 a≤4 2 C. 当 a=3 时,不等式 x ﹣4x+a<0 的解集是 1<x<3 D.若将图象向上平移 1 个单位,再向左平移 3 个单位后过点(1,﹣2) ,则 a=3

2

ZHY

考点: 二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与 x 轴的交点;二次函数与不等式(组) . 专题: 压轴题. 分析: A、当 x<1 时,在对称轴右侧,由此可以确定函数的单调性; B、若图象与 x 轴有交点,即△ =16+4a≥0,利用此即可判断是否正确; C、当 a=3 时,不等式 x ﹣4x+a<0 的解集可以求出,然后就可以判断是否正确; D、根据平移规律可以求出 a 的值,然后判断是否正确. 解答: 解:二次函数为 y=x ﹣4x﹣a,对称轴为 x=2,图象开口向上.则: A、当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,故选项正确; B、若图象与 x 轴有交点,即△ =16+4a≥0 则 a≥﹣4,故选项错误;
2 2

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C、当 a=3 时,不等式 x ﹣4x+a<0 的解集是 1<x<3,故选项正确; 2 D、原式可化为 y=(x﹣2) ﹣4﹣a,将图象向上平移 1 个单位,再向左平移 3 个单位后所得函数解 2 析式是 y=(x+1) ﹣3﹣a. 函数过点(1,﹣2) ,代入解析式得到:a=3.故选项正确. 故选 B. 点评: 此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系,以及图象的平移规律.这些性质和规 律要求掌握. 20. (2009?塘沽区一模) 下列表格给出的是二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的几组对应值, 那么方程 ax +bx+c=0 的一个近似解可以是( ) x 3.3 3.4 3.5 3.6 y 0.03 0.09 ﹣0.06 ﹣0.02 A.3.25 B.3.35 C.3.45 D.3.55
2 2

2

考点: 图象法求一元二次方程的近似根. 分析: 把三点代入解方程式,则代入 y 等于 0 时,x 的值是多少即可. 解答: 解:代入各点坐标
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解得
2

y=0.5x ﹣2.95x+4.23 解得 x=3.47 左右则 C 最符合, 故选 C. 点评: 本题考查了一元二次方程的近似根,代入求近似值,再进行对比则最接近的即可. 21. (2010?徐汇区一模)已知二次函数 y=ax +bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:则下列判断中正确的是
2





ZHY

A.抛物线开口向上 C. 当 x=3 时,y<0

B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 2 D.方程 ax +bx+c=0 有两个相等实数根

考点: 图象法求一元二次方程的近似根. 专题: 计算题. 分析: 结合图表可以得出当 x=0 或 2 时,y=1,可以求出此函数的对称轴是 x=1,顶点坐标为(1,3) ,借 助(0,1)两点可求出二次函数解析式,从而得出抛物线的性质. 解答: 解:∵由图表可以得出当 x=0 或 2 时,y=1,可以求出此函数的对称轴是 x=1,顶点坐标为(1,3) , 2 ∴二次函数解析式为:y=a(x﹣1) +3, 2 再将(0,1)点代入得:1=a(﹣1) +3, 解得:a=﹣2, 2 ∴y=﹣2(x﹣1) +3, ∵a<0 ∴A,抛物线开口向上错误,故:A 错误;
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∵y=﹣2(x﹣1) +3=﹣2x +4x+1, 与 y 轴交点坐标为(0,1) ,故与 y 轴交于正半轴, 故:B 错误; ∵x=3 时,y=﹣5<0, 故:C 正确; 2 ∵方程 ax +bx+c=0,△ =16+4×2×1=22>0, 此方程有两个不相等的实数根, 故:D.方程有两个相等实数根错误; 故选:C. 点评: 此题主要考查了二次函数解析式的求法,以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根 的判别式的应用. 22. (2013?沙湾区模拟)已知二次函数 y1=ax +bx+c(a≠0)与一次函数 y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点 A (﹣2,4) ,B(8,2) (如图所示) ,则能使 y1<y2 成立的 x 的取值范围是( )
2

2

2

A.x>2

B.x<﹣2

C.x>0

D.﹣2<x<8

考点: 二次函数的性质. 分析: 根据两函数交点坐标得出,能使 y1<y2 成立的 x 的取值范围即是图象 y2 在图象 y1 上面是 x 的取值
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ZHY

范围,即可得出答案. 解答: 解:∵二次函数 y1=ax +bx+c(a≠0)与一次函数 y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点 A(﹣2,4) ,B (8,2) , ∵结合图象, ∴能使 y1<y2 成立的 x 的取值范围是:﹣2<x<8, 故选:D. 点评: 此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系,此题型是中考中考查重点也是难点,同学们 应熟练掌握. 23. (2012?北辰区一模)在﹣3≤x≤0 范围内,二次函数 围内,有结论: ①y1 有最大值 1、没有最小值; ②y1 有最大值 1、最小值﹣3; ③函数值 y1 随 x 的增大而增大; 2 ④方程 ax +bx+c=2 无解; ⑤若 y2=2x+4,则 y1≤y2. 其中正确的个数是( ) (a≠0)的图象如图所示.在这个范
2

A .2

B.3

C .4

D.5

考点: 二次函数的性质;二次函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 根据二次函数的性质,结合图象可判断①②③;根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④; 求出 y2=2x+4 与两坐标轴的交点画出直线 y=2x+4, 求出抛物线的解析式, 根据 y2﹣y1 的符号即可判 断出⑤. 解答: 解:由图象可知,在﹣3≤x≤0 范围内,y1 有最大值 1、最小值﹣3,故①错误,②正确; 由图象可知,当﹣3≤x<﹣1 时,y1 随 x 的增大而增大,当﹣1<x<0 时,y1 随 x 的增大而减小,故 ③错误; 2 2 由于 y1 的最大值是 1,所以 y1=ax +bx+c 与 y=2 没有交点,即方程 ax +bx+c=2 无解,故④正确; 如图所示,由于 y2=2x+4 经过点(0,4) , (﹣2,0) ,
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由图可知,二次函数

(a≠0)中,当 x=1 时,y=﹣1;x=﹣2 时,y=0,

所以

,解得



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故此二次函数的解析式为 y1=﹣x ﹣2x, 2 2 所以 y2﹣y1=2x+4+x +2x=(x+2) , 2 因为=(x+2) ≥0, 所以 y1≤y2,故⑤正确. 故选 B.

2

点评: 本题考查的是二次函数的性质,能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键. 24. (2011?苏州模拟)抛物线 y=﹣x +bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表: x…﹣2﹣1 13 4 … y… 0 4 6 4 0… 根据上表判断下列四种说法:①抛物线的对称轴是 x=1;②x>1 时,y 的值随着 x 的增大而减小:③抛物 线有最高点:④抛物线的顶点、与 x 轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为 36.其中正确说法的个数 有( ) A .1 B.2 C .3 D.4 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线的对称性,抛物线的顶点坐标为(1,6) ,且函数值 6 为最大值,由此判断. 解答: 解:观察表格可知,抛物线的顶点坐标为(1,6) ,且抛物线开口向下,故①②③正确; ∵抛物线与 x 轴的两个交点为(﹣2,0) , (4,0) ,顶点坐标为(1,6) ,
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2

∴抛物线的顶点、与 x 轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为 ×(4+2)×6=18,故④错误. 其中正确说法是①②③. 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数 的性质. 关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标, 开口方向及与 x 轴交点坐标. 25. (2010?河北)如图,已知抛物线 y=x +bx+c 的对称轴为 x=2,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平 行,其中点 A 的坐标为(0,3) ,则点 B 的坐标为( )
2

ZHY

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(3,3)

D.(4,3)

考点: 二次函数的性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 已知抛物线的对称轴为 x=2,知道 A 的坐标为(0,3) ,由函数的对称性知 B 点坐标. 2 解答: 解:由题意可知抛物线的 y=x +bx+c 的对称轴为 x=2, ∵点 A 的坐标为(0,3) ,且 AB 与 x 轴平行, 可知 A、B 两点为对称点, ∴B 点坐标为(4,3) 故选 D. 点评: 本题主要考查二次函数的对称性.
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26.如图为二次函数 y=ax +bx+c 的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程 ax +bx+c=0 的根为 x1=﹣1, x2=3;③a+b+c>0;④当 x<1 时,y 随 x 值的增大而增大;⑤当 y>0 时,x<﹣1 或 x>3.其中,正确 的说法有( )

2

2

A.①②④

B.①②⑤

C.①③⑤

D.②④⑤

考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据二次函数图象反映出的数量关系,逐一判断正确性. 解答: 解:根据图象可知:
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①对称轴﹣
2

>0,故 ab<0,正确;

②方程 ax +bx+c=0 的根为 x1=﹣1,x2=3,正确; ③x=1 时,y=a+b+c<0,错误; ④当 x<1 时,y 随 x 值的增大而减小,错误; ⑤当 y>0 时,x<﹣1 或 x>3,正确. 正确的有①②⑤.故选 B. 点评: 主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.

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27.已知二次函数 y=x +2(a﹣1)x+2.如果 x≤4 时,y 随 x 增大而减小,则常数 a 的取值范围是( A.a≥﹣5 B.a≤﹣5 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3

2



考点: 二次函数的性质. 分析: 抛物线开口向上,由 x≤4 时,y 随 x 增大而减小,可知对称轴 x=1﹣a≥4,解不等式即可. 解答: 解:∵二次函数对称轴为直线 x=1﹣a,开口向上, ∴当 x≤1﹣a 时,y 随 x 增大而减小, ∴1﹣a≥4,解得 a≤﹣3. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的增减性.抛物线开口向上时,在对称轴左边,y 随 x 的增大而减小,右边 y 随 x 的增大而增大;抛物线开口向下时,在对称轴左边,y 随 x 的增大而增大,右边 y 随 x 的增大 而减小.
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28.如图,平行于 y 轴的直线 l 被抛物线 y=0.5x +1,y=0.5x ﹣1 所截,当直线 l 向右平移 3 个单位时,直 线 l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为( )平方单位.

2

2

A .3

B.4

C .6

D.无法可求

考点: 二次函数的性质. 分析: 由于抛物线 y=0.5x2+1 是 y=0.5x2﹣1 向上平移 2 个单位长度得到的,平行于 y 轴的直线 l 与 2 个函 数图象的交点纵坐标是个定值 2,通过截补法可知阴影部分的面积是 6 个单位长度. 解答: 解:抛物线 y=0.5x2+1 是 y=0.5x2﹣1 向上平移 2 个单位长度得到的, 即|y1﹣y2|=2. 当直线 l 向右平移 3 个单位时,阴影部分的面积是:2×3=6. 故选 C. 点评: 主要考查了函数图象动态变化中的不变量,本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个 平行四边形.
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29.已知直线经过点 A(0,2) ,B(2,0) ,点 C 在抛物线 y=x 的图象上,则使得 S△ ABC=2 的点有( 个.

2



A .4 考点: 二次函数的性质.

B.3

C .2

D.1

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专题: 计算题;压轴题. 分析: 解:通过计算发现,当 O 与 C 重合时,S△ ABC=2,据此据此推断出以 AB 为底边的三角形的高,从 图上找到点 C1、C2,再作 CC3∥AB,使得 C3 与 C 到 AB 的距离相等,若求出 C 的坐标,则存在 C3 点,使得以 AB 为底的三角形面积为 2. 解答: 解:∵S△ ABC= ×2×2=2, 可见,当 O 与 C 重合时,S△ ABC=2, 作 CD⊥AB, ∵AO=BO=2, 可见,△ ACB 为等腰直角三角形, CD=2×cos45°=2× = .

由图易得,到 AB 距离为 的点有 C、C1、C2, 作 CC3∥AB, 则 CC3 的解析式为 y=﹣x, 2 将 y=﹣x 和 y=x 组成方程组得, ,

解得,





则 C3 坐标为(﹣1,1) , 可见,有四个点,使得 S△ ABC=2. 故选 A.

点评: 本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题 的关键. 30.如图,已知抛物线 ,直线 y2=3x+3,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1,y2.若

y1≠y2,取 y1,y2 中的较小值记为 M;若 y1=y2,记 M=y1=y2.下列判断:

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①当 x>0 时,y1>y2;②使得 M 大于 3 的 x 值不存在;③当 x<0 时,x 值越大,M 值越小; ④使得 M=1 的 x 值是 其中正确的是( 或 ) .

A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

考点: 二次函数的性质;一次函数的性质. 分析: 若 y1=y2,记 M=y1=y2.首先求得抛物线与直线的交点坐标,利用图象可得当 x<﹣1 时,利用函数
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图象可以得出 y2>y1;当﹣1<x<0 时,y1>y2;当 x>0 时,利用函数图象可以得出 y2>y1;然后 根据当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y2.若 y1≠y2,取 y1、y2 中的较小值记为 M;即可 求得答案. 解答: 解:∵当 y1=y2 时,即﹣3x2+3=3x+3 时, 解得:x=0 或 x=﹣1, ∴当 x<﹣1 时,利用函数图象可以得出 y2>y1;当﹣1<x<0 时,y1>y2;当 x>0 时,利用函数图 象可以得出 y2>y1; ∴①错误; ∵抛物线 y1=﹣3x +3,直线 y2=3x+3,与 y 轴交点坐标为: (0,3) ,当 x=0 时,M=3,抛物线 y1= 2 ﹣3x +3,最大值为 3,故 M 大于 3 的 x 值不存在; ∴使得 M 大于 3 的 x 值不存在, ∴②正确; 2 ∵抛物线 y1=﹣3x +3,直线 y2=3x+3,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y2.若 y1≠y2, 取 y1、y2 中的较小值记为 M; ∴当 x<0 时,根据函数图象可以得出 x 值越大,M 值越大; ∴③错误; ∵如图:当﹣1<x<0 时,y1>y2; ∴使得 M=1 时,y2=3x+3=1,解得:x=﹣ ; 当 x>0 时,y2>y1, 使得 M=1 时,即 y1=﹣3x +3=1,解得:x1= ∴使得 M=1 的 x 值是 或 .
2 2

,x2=﹣

(舍去) ,

∴④正确; 故选 B. 点评: 本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用.注意掌握函数增减性是解题关键,注意数形结合思 想与方程思想的应用.

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