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江苏省2014届高考数学(1)模拟专家卷苏教版


2014 年江苏高考数学模拟试题(一)
数学Ⅰ 必做题部分









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) .本卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必 须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ??1,0, x? , 且 A ? B ,则实数 x 的值为 1.答案: 1 ,解析:根据子集的定义知 x 的值为 1 . 2.已知复数 (1 ? i) ? (1 ? bi) 为纯虚数,则实数 b 的值为 . .

1, ?1 ? b ? 0 , (1 ? i) ? (1 ? bi) ? (1 ? b) ? (1 ? b)i , (1 ? i) ? (1 ? bi) 是纯虚数, 2. 答案: 解析: 且1 ? b ? 0 ,

?b ? 1.
3.一个算法的流程图如下图所示,则输出 s 的结果为 . I←1 While I<6 Y←2I+1 I←I+2 End While Print Y 3.答案: 11 ,解析:第一次循环后, Y ? 3 ,第二次循环后, Y ? 5 ,第三次循环 后, Y ? 7 , ??? ,所以输出 Y ? 11 .

4.如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图,则甲、乙得分的中 位数分别是 a , b ,则 a ? b ? .

4 .答案: 57.5 ,解析:由茎叶图知甲的中位数为 a ? 32 ,乙的中位数为

a ? 25.5 , .? a ? b ? 57.5 .
5.一口袋中放有质地、大小完全相同的 6 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,6,甲先摸出一个球,记下 编号,放回后乙再摸一个球,甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 5.答案: .

5 ,解析: 设“编号不相同”为事件 B ,则“编号相同”为其对立事件 B ,事件 B 包含的基本 6 6 1 ? , 事件为(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) , P( B) ? 36 6 1 5 5 所以 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? ? ,编号不同的概率为 . 6 6 6
1

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? 6.答案: ∴

tan A 2c ? ,则角 A 的大小为 tan B b



π tan A 2c sin A cos B 2sin C sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ,解析: 1 ? ,即 , ? ?1? ? ? 3 tan B b sin B cos A sin B sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C 1 π , ∴ cos A ? .∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? . ? sin B cos A sin B 3 2 7.已知质点 P 在半径为 10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,角速度
是 1rad/s,设 A(10,0) 为起始点,记点 P 在 y 轴上的射影为 M ,则 10 ? 秒 时点 M 的速度是 cm/s.
M O

y P x

A

7 . 答 案 : 10 , 解 析 :运 动 ts 后 , P(1 0 c o t 则)M s , 1 0 sti n , 的位移

S ( t) ? 1 0 s i n t,? v ? S ? ? 10 cos t ,则 10 ? 秒时点 M 的速度是 10cm/s.瞬时变化率就是导数是解题的
关键. 8.如图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴为 AB,短轴为 CD,E 是椭圆弧 a 2 b2
2 2

? EK ? ? EL ? BD 上的一点, AE 交 CD 于 K , CE 交 AB 于 L ,则 ? ? ?? ? 的值 ? AK ? ? CL ?
为 . 8.答案:1 ,解析: 利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比,将线段之比转化为坐标 的绝对值之比,体现坐标法解决问题的思想.如图所示,设点 E ( x0 , y0 ) ,过点 E 分别向 x、y 轴引垂线,垂 足分别为 N、M,由△MKE∽△OKA,故
2 2 2 2 x0 y0 EK ME x0 EL y0 ? EK ? ? EL ? ? ? ? ? ? ? ,同理 ,则 ? , ? ? ? 2 AK AO a CL b b2 ? AK ? ? CL ? a 2 2

又点 E ( x0 , y0 ) 在椭圆上,故有

2 2 x0 y0 ? EK ? ? EL ? ? ? 1 ,即 ? ? ?? ? ? 1. 2 2 a b ? AK ? ? CL ?

9.各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a1a7 ? 4, a6 ? 8 ,若函数 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? 导数为 f ?( x ) ,则 f ?( ) 的值为 9. 答案:

? a10 x10 的

1 2



55 , 解析: 由等比数列的性质知 a42 ? a1a7 ? 4 , 又因为各项均为正数, 所以 a4 ? 2 . 因为 a6 ? 8 , 4 1 1 9 所以 q ? 2, a1 ? , 所以 an ? 2n?3 , 又 f ?( , 其通项公式为 nan x n ?1 , 将x ? x) ? a 1?2 ax2 ? ?1 0 a x1 0 4 2 1 1 1 55 n ?1 代入得 nan x ? n ,所以 f ?( ) ? (1 ? 2 ? ? 10) ? . 4 2 4 4
10.已知 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 1 ? c ? 3 ? b ? 4 ? a ? 9 ,则 ?ABC 的面积 S 最大值为 10.答案: 6 ,解析: S ? .

1 1 bc sin A ? ? 3 ? 4 ? sin 90 ? 6 ,当 b ? 4, c ? 3, a2 ? b2 ? c2 时,等号取得, 2 2

即当 a ? 5, b ? 4, c ? 3 时, ?ABC 的面积 S 的最大值为 6 .
2

11.用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数.已知 f ( x) ? x ? [ x] 的定义域为 [?1,1) ,则函数 f ( x ) 的值域 为 .

11.答案:[?2, ?1) [0,1) ,解析:根据 [ x ] 的定义分类讨论.当 x ? [?1, 0) 时, y ? x ? 1 , ?2 ? y ? ?1 ; 当 x ? [0,1) 时, y ? x , 0 ? y ? 1 ;所以函数 f ( x ) 的值域为 [?2, ?1) [0,1) . 12 .已知点 G 、 H 分别为 ?ABC 的重心(三条中线的交点) 、垂心(三条高所在直线的交点) ,若

AC ? 4, AB ? 6 ,则 HG ? BC 的值为
12.答案: ?



20 1 ,解析: HG ? BC ? ( AG ? AH ) ? BC ? AG ? BC ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) 3 3 2 2 1 20 ? ( AC ? AB ) ? ? .另解:注意到题中的 ?ABC 形状不确定,因此可取特殊情形 ?ACB ? 90 ,则 3 3 点 H 即为点 A ,由此可迅速得到答案.
13.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1



13.答案:

1 ,解析:设 x ? 2 ? s , y ? 1 ? t ,则 s ? t ? 4 . 4

4 1 4 1 x2 y 2 ( s ? 2)2 (t ? 1) 2 ? ? ( s ? 4 ? ) ? (t ? 2 ? ) ? ( s ? t ) ? ( ? ) ? 6 . 所以 = ? s t s t s t x ? 2 y ?1 4 1 4 1 1 4 1 1 4t s 9 4t s ? ( ? ) ? 2 .因为 ? ? ( ? )( s ? t ) ? ( ? ? 5) ? ,等号当且仅当 ? , s ? t ? 4 取得, s t s t 4 s t 4 s t 4 s t 8 4 2 1 1 x2 y2 s ? , t ? ,即当且仅当 x ? , y ? 时, 的取得最小值 . ? 3 3 3 3 4 x ? 2 y ?1
B A C D

14.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若点 P 是棱上一点,则满足
A1 D1 C1

PA ? PC1 ? 2 的点 P 的个数为



B1

14.解析:方法 1:利用椭圆的定义.一方面点 P 在以 A, C1 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上;另一方面, P 可能在 AB , AD , AA1 , C1B1 , C1D1 , C1C 上,或者在 BB1 , DD1, CD, A 1B 1 , BC, A 1D 1 上. 因为 BA ? BC1 ? 1 ? 2 ? 2 ,故点 B 在以 A, C 为焦点,长轴长为 2 的椭圆外,所以椭圆必与线段 AB 相 交,同理在 AD , AA1 , C1B1 , C1D1 , C1C 上各有一点满足条件. 又若点 P 在 BB1 上,则 PA ? PC1 ? 1 ? BP ? 1 ? B1 P ? 2 .
2 2

P. 故 BB1 上不存在满足条件的点 P ,同理 DD1 , CD, A 1B 1 , BC, A 1D 1 上不存在满足条件的点
故满足题设条件的点 P 的个数为 6 .

3

方法 2:若 P 在 AB 上,设 AP ? x ,有 PA ? PC1 ? x ? (1 ? x) ? ( 2) ? 2, 解得 x ?
2 2

1 . 2

故 AB 上有一点 P ( AB 的中点)满足条件. 同理在 AD , AA1 , C1B1 , C1D1 , C1C 上各有一点满足条件. 又若点 P 在 BB1 上,则 PA ? PC1 ? 1 ? BP ? 1 ? B1 P ? 2 .
2 2

P. 故 BB1 上不存在满足条件的点 P ,同理 DD1 , CD, A 1B 1 , BC, A 1D 1 上不存在满足条件的点
故满足题设条件的点 P 的个数为 6 . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ? ABC 15. (本小题满分 14 分)如图 2,点 P 在 内, AB ? CP ? 2, BC ? 3,
?P ? ?B ? π ,记 ?B ? ? .

(1)试用 ? 表示 AP 的长; (2)求四边形 ABCP 的面积的最大值,并求出此时 ? 的值.

15.解: (1)△ ABC 与△ APC 中,由余弦定理得, AC 2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos ? ,



AC 2 ? AP2 ? 22 ? 2 ? AP ? 2cos ? ? ? ? ? , ②
由①②得 AP2 ? 4 AP cos? ? 12cos ? ? 9 ? 0, ? ? ? 0, ?? ,解得 AP ? 3 ? 4 cos ? ;
?? (2) S ? S?ABC ? S?APC ? 1 ? 2 ? 3sin ? ? 1 ? 2 ? AP sin ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, 2 2

? ? ,所以当 ? ? ? 时, Smax ? 2 . 由(1)得 S ? 4sin? ? cos? ? 2sin2?,? ? ? 0, 4

16. (本小题满分 14 分)已知 PA ? 菱形 ABCD 所在平面,点 E 、 F 分别为线段 BC 、 PA 的中点. (1)求证: BD ? PC ; (2)求证: BF ∥平面 PDE . 16.证明: (1)

P

F A D

PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,
B E C

? PA ? BD ,


P

ABCD 是菱形,? AC ? BD ,

又 PA, AC ? 平面 PAC , PA

AC ? A ,

F A

G

? BD ? 平面 PAC ,
又 PC ? 平面 PAC ,

D

? BD ? PC .
(2)取线段 PD 的中点 G ,连结 EG, FG ,

B

E

C

4

则 FG ∥ AD ,且 FG ?

1 1 AD ,又 BE ∥ AD ,且 BE ? AD , 2 2

? FG ∥ BE , FG ? BE ,? 四边形 BEGF 是平行四边形,
? BF ∥ EG ,
又 BF ? 平面 PDE , EG ? 平面 PDE ,

? BF ∥平面 PDE .
17. ( 本小题满分 14 分) 某商场分别投入 x 万元,经销甲、乙两种商品,可分别获得利润 y1 、 y2 万元, 利润曲线分别为 C1: y2 =cx ,其中 m, a, b,c 都为常数.如图所示: y1 =m ? a x ? b , C2: (1)分别求函数 y1 、 y2 的解析式; (2)若该商场一共投资 12 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最小值. (可能要用的数 ln 2 ? 0.7 )

17.解(1)由函数 y1 =m ? a x ? b 过点 (0, 0), (2,

5 25 ), (4, ) 可得 16 16

? ? m?b ? 0 ? 5 ? 2 ?m ? a ? b ? , 16 ? 25 ? m ? a4 ? b ? ? 16 ?

? ? a?2 ? 5 x 5 5 ? ?2 ? 可得 ?b ? ? ,? y1 ? 48 48 48 ? 5 ? m? ? 48 ?

7 7 7 x 由函数 y2 =cx 过点 (3, ) 可得 c ? ,? y2 = 12 4 12
(2)设该商场经销甲商品投入 x 万元,乙商品投入 12 ? x 万元,该商场所获利润为 y 万元 则 y ? y1 ? y2 ?
y? ? 5 x 5 7 5 7 331 ? 2 ? ? (12 ? x) ? ? 2x ? x ? 48 48 12 48 12 48

5 x 7 5 7 7 7 7 ? 2 ln 2 ? ? ? ? 2x ? ? ? 2x ? 48 12 48 10 12 96 12

令 y ? ? 0 可得 x ? 3 , (11 分) y ? 在 (0,3) 单调递增,
5

? 当 x ? (0,3), y ? ? 0, y 在 (0,3) 单调递减,当 x ? (3, ??),y ? ? 0, y 在 (3, ??) 单调递增,
287 . 48 287 答:该商场所获利润的最小值 . 48

当 x ? 3 时,利润 y 有最小值

18. (本小题满分 16 分)已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 . (1)过圆心 C1 作倾斜角为 ? 的直线 l 交圆 C2 于 A, B 两点,且 A 为 C1B 的中点,求 sin ? ; (2)过点 P (m,1) 引圆 C2 的两条割线 l1 和 l2 ,直线 l1 和 l2 被圆 C2 截得的弦的中点分别为 M , N .试问过点

P, M , N , C2 的圆是否过定点(异于点 C2 )?若过定点,求出该定点;若不过定点,说明理由;
(3)过圆 C2 上任一点 Q( x0 , y0 ) 作圆 C1 的两条切线,设两切线分别与 y 轴交于点 S 和 T ,求线段 ST 长 度的取值范围. 18.解: (1)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则圆心 C2 到直线 l 的距离 d ? 设 AB 的中点为 R ,则 AR ? 则d ?
2

5k 1? k 2

4?d2 ?

1 1 1 AB ? C1R ? 25 ? d 2 2 3 3

11 CR d 22 ,所以在 Rt ?C1RC2 中, sin ? ? 2 ? ? . 8 C1C2 5 20

(2)依题意,过点 P, M , N , C2 的圆即为以 PC2 为直径的圆, 所以 ( x ? 4)( x ? m) ? ( y ? 1)( y ? 0) ? 0 ,即 x ? (m ? 4) x ? 4m ? y ? y ? 0
2 2

整理成关于实数 m 的等式 (4 ? x)m ? x ? 4 x ? y ? y ? 0 恒成立
2 2

则?

?4 ? x ? 0 ?x ? 4x ? y ? y ? 0
2 2

,所以 ?

?x ? 4 ?x ? 4 或? ?y ? 0 ?y ?1

即存在定点 (4,1) . (3)设过 Q( x0 , y0 ) 的直线与圆 C1 切线,则 d ?

| ?k ? kx0 ? y0 | 1? k
2

? 1 ,即 (k ? kx0 ? y0 )2 ? 1 ? k 2 ,
(☆)

整理成关于 k 的方程 ( x02 ? 2x0 )k 2 ? (2 y0 ? 2x0 y0 )k ? y02 ?1 ? 0 , 判别式 ? ? (2 y0 ? 2x0 y0 )2 ? 4( y02 ?1)( x02 ? 2x0 ) ? 4x02 ? 4 y02 ? 8x0 , 所以 k ?

2 y0 ? 2 x0 y0 ? 4 x0 2 ? 4 y0 2 ? 8 x0 . 2( x0 2 ? 2 x0 )
6

直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与 y 轴的交点为 (0, y0 ? kx0 ) , 不妨设 S (0, y0 ? k1 x0 ) , T (0, y0 ? k2 x0 ) ,则 ST ?| k2 ? k1 | x0 . 而 k1 , k2 是(☆)方程的两根, 则 ST ?| k 2 ? k1 | x0 ?

4 x0 2 ? 4 y0 2 ? 8 x0 ,又 ( x0 ? 4)2 ? y02 ? 4 , x0 ? 2

4 x0 2 ? 4 y0 2 ? 8 x0 40 x0 ? 48 5 x0 ? 6 ? ?2 2? 所以 ST ? . x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
令 5x0 ? 6 ? t (t ?[2, 2 6]) ,则 ST ? 2 2 ?

5t 10 2 ? , 2 16 16 ? t t? t

考察关于 t 的函数 f (t ) ? t ?

16 t

? (t ? [2, 2 6]) ,函数 f (t ) 在区间 ? 2.4? 是单调递减,在区间 ? ? 4, 2 6 ? 上

单调递增,所以 ( f (t ))max ? 10 , ( f (t ))min ? 8 . 所以 ST ? ? 2,

? ?

5 2? ?. 4 ?
2

19. (本小题满分 16 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, a2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? cos (1)求 a3 , a4 , a5 , a6 ; (2)设 Sk ? a1 ? a3 ? (3)设 Wk ?

n? n? )a n ? 4 sin 2 , n ? 1,2,3,?, 2 2

? a2 k ?1 , Tk ? a2 ? a4 ? ? ? a2k ,分别求 Sk , Tk 关于 k 的表达式;

2Sk ,求使 Wk ? 1 的所有 k 的值,并说明理由. 2 ? Tk
2

19.解: (1)∵ a1 ? 0, a2 ? 2 ,∴ a 3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? 4 sin 2

?
2

? 4,

2? 2? 3? 3? )a 2 ? 4 sin 2 ? 4 , a5 ? (1 ? cos 2 )a3 ? 4sin 2 ?8, 2 2 2 2 4? 4? a6 ? (1 ? cos 2 )a4 ? 4sin 2 ? 8. 2 2 a 4 ? (1 ? cos 2
(2)当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时,
*

a 2 k ?1 ? (1 ? cos 2

2k ? 1 2k ? 1 ? )a 2 k ?1 ? 4 sin 2 ? ? a 2 k ?1 ? 4 , 2 2

∴ ?a2 k ?1 ? 是以 0 为首项, 4 为公差的等差数列,则 a2k ?1 ? 4(k ? 1) , 当 n ? 2k (k ? N ) 时,
*

7

a 2 k ? 2 ? (1 ? cos 2

2k 2k ? )a 2 k ? 4 sin 2 ? ? 2a 2 k , 2 2

∴ ?a 2 k ?是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,则 a2k ? 2 k ,

?2(n ? 1), n ? 2k ? 1(k ? N * ) ? ∴ ?an ? 的通项公式为 a n ? ? n . * 2 ? ?2 , n ? 2 k ( k ? N )

S k ? a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 ? 4 ? ? ? 4(k ? 1) ? 2k (k ? 1) ,

Tk ? a2 ? a4 ? ? ? a2k ? 2 ? 22 ? ? ? 2k ? 2k ?1 ? 2 ,
(3) Wk ?

2S k 4k (k ? 1) k (k ? 1) , ? ? 2 ? Tk 2 k ?1 2 k ?1
3 3 5 15 , W4 ? ,W5 ? ,W6 ? . 2 2 4 16

于是 W1 ? 0, W2 ? 1, W3 ?

下面证明:当 k ? 6 时, Wk ? 1 . 事实上,当 k ? 6 时, Wk ?1 ? Wk ?

(k ? 1)k k (k ? 1) k (3 ? k ) ? ? ? 0 ,即 Wk ?1 ? Wk , 2k 2 k ?1 2k

又 W6 ? 1 ,∴当 k ? 6 时, Wk ? 1 . 故满足 Wk ? 1 的 k 的值为 3,4,5 . 20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? | x ? a | ( a ? R ) .
3

(1)是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) 在 (??,0] 上单调递减,在 [0,??) 上单调递增?请说明理由; (2)若 0 ? a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值; (3)求证:对任意的实数 a ,存在 x0 ,恒有 f ( x0 ) ? 0 ,并求出符合该特征的 x0 的取值范围. 20.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?
3

?ax3 ? x ? a 3 ?ax ? x ? a

( x ? a) ( x ? a)



令 g ( x) ? ax ? x ? a ( x ? a ) , h( x) ? ax ? x ? a ( x ? a ) ,
3

g ?( x) ? 3ax2 ? 1 , h?( x) ? 3ax2 ? 1 ,
无论 a ? 0 还是 a ? 0 均不符合要求;

?ax3 ? x ? a (2)若 0 ? a ? 1 , f ( x) ? ? 3 ?ax ? x ? a

( x ? a) ( x ? a)
2



2 当 x ? a 时, f ?( x) ? 3ax ? 1 , f ?( x) ? 3ax ? 1 ? 0 ? x ? ?

1 , 3a
8

当 x ? a 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 1 , ①当 0 ? a ?

1 1 , ? 1 ,此时 f ( x) 在 [?1, a] 上单调减,在 [a,1] 上单调 3 3a

增,则在 [ ?1,1] 上 f ( x) max ? f (?1) ? f (1) ? 1 ;

②当

1 1 1 1 ? a ? 3 ,此时 ? a ,此时 f ( x) 在 [?1,? ] 上单调增, 3 3 3a 3a 1 , a] 上单调减,在 [a,1] 上单调增, 3a 1 ) ? f (?1) ? f (1) , 3a 1 2 1 )?a? ; 3a 3 3a

在 [?

由于 f (?

则在 [ ?1,1] 上 f ( x) max ? f (?

③当 3

1 1 1 ? a ? 1 ,此时 ? a ,则此时 f ( x) 在 [?1,? ] 上单调增, 3 3a 3a 1 1 1 , ] 上单调减,在 [? , a] 上单调增,在 [a,1] 上单调增, 3a 3a 3a 1 2 1 )?a? ; 3a 3 3a
1 时, f ( x) max ? 1 ; 3

在 [?

则在 [ ?1,1] 上 f ( x) max ? f (? 综合①②③有 当0 ? a ?



2 1 2 3a 1 ? a ? 1 时, f ( x) max ? a ? ?a? . 3 3 3a 9a

(3) ①当 a ? 0 时, f ( x) ?| x | ,方程 f ( x) ?| x |? 0 只有 0 根;
3 ②当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? ax ? | x ? a |? 0 没有 0 根和正根, 3 当 a ? 0 , x ? 0 时, f ( x) ? ax ? x ? a , 3 由方程 f ( x) ? ax ? x ? a ? 0 得 a ?

x , x ?1
3

则?

x?0 ? ? x ? x 3 ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ; a? 3 ?0 ? x ?1 ?

3 ③当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? ax ? | x ? a |? 0 没有 0 根和负根,

9

当 a ? 0 , x ? 0 时, f ( x) ? ax3 ? x ? a , 由方程 f ( x) ? ax3 ? x ? a ? 0 得 a ? ? 则?

x , x ?1
3

x?0 ? ? x ? x 3 ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ; a?? 3 ?0 ? x ?1 ?

综上可知,对任意的实数 a ,存在 x0 ? [?1,0) ? (0,1] ,恒有 f ( x0 ) ? 0 . 数学附加题 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内 .......... 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,PA 切⊙O 于点 A ,D 为 PA 的中点,过点 D 引 割线交⊙O 于 B 、 C 两点.求证: ?DPB ? ?DCP . A.证明:因为 PA 与圆相切于 A , 所以 DA2 ? DB ? DC , 因为 D 为 PA 中点,所以 DP=DA,
2 所以 DP =DB·DC,即 PD ? DB . DC PD

P D A B O·

C

因为 ?BDP ? ?PDC , 所以 ?BDP ∽ ?PDC , 所以 ?DPB ? ?DCP . B.选修 4—2:矩阵与变换
?1 0 ? ? ?4 3 ? B?? 已知 ? ? ? , 求矩阵 B. ?1 2? ? 4 ? 1? b ? ?a b ? ?1 0 ? ?a , 则? B?? B.解:设 B ? ? ? ? ?, ?c d ? ?1 2? ? a ? 2c b ? 2d ?
?a ? ?4, ?a ? ?4, ?b ? 3, ?b ? 3, ? ?4 3 ? ? 解得? 故B ? ? 故? ? ?. ? 4 ? 2? ?a ? 2c ? 4, ?c ? 4, ? ? ?b ? 2d ? ?1, ?d ? ?2.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴 与 x 轴的正半轴重合.曲 线 C 的极坐标方程为
2 ,直线 l 的参数方程为 ? ? 2 cos2 ? ? 3 ? 2 sin ?? 3

? x ? ? 3t , ? (t 为参数,t∈R).试在曲线 C 上求一点 M,使 ? ?y ?1? t

它到直线 l 的距离最大. C.解:曲线 C 的普通方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3
10

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

d?

3 cos? ? 3 sin ? ? 3 2

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 . ? 2

因为 ? 2 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ,所以 4

?

π π π 3π 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z),即 ? ? 2kπ ? (k ? Z)时,d 取得最大值. 4 4 2 4
此时 3 cos ? ? ?
6 2 ,sin ? ? ? . 2 2

综上,点 M 的极坐标为 ( 2, D.选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?

6 2 7π ,? ) 时,该点到直线 l 的距离最大. ) 或点 M 的直角坐标为 (? 2 2 6

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围. D.解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示),知定义域为 ? ??, ?2?
5 y=5 4 3 2 1 y y= x+1 + x-2

?3, ?? ? .

(2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3, ?a ? ?3 .

-3 -2 -1

O 1

2

3

x

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、 .......... 证明过程或演算步骤. 22.求证:对于任意的正整数 n , (2 ? 3)n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? . 22.解:由二项式定理可知,
0 n (2 ? 3)n ? Cn 2

? 3?

0

1 n ?1 ? Cn 2

? 3? ? C 2 ? 3?
1 2 n n?2

2

?

n 0 ? Cn 2

? 3? ,
n

设 (2 ? 3)n ? x ? 3y ? x2 ? 3y2 , 而若有 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? , 则 (2 ? 3)n ? a ? b , a, b ? N ? , ∵ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (2 ? 3)n ? (2 ? 3)n ? 1 , ∴令 a ? s, s ? N ? ,则必有 b ? s ? 1 . ∴ (2 ? 3)n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? . 注:本题也可用数学归纳法证明,证明正确的也给相应的分数.
11

23.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A 在抛物线 C 上,设以 F 为圆心, FA 为 半径的圆 F 交准线 l 于 M , N 两点. (1)若 ?MFN ? 90? ,且 ?AMN 的面积为 4 2 ,求 p 的值; (2)若 A, F , M 三点共线于直线 m ,设直线 m 与抛物线 C 的另一个交点为 B ,记 A 和 B 两点间的距离 为 f ( p ) ,求 f ( p ) 关于 p 的表达式. 23.解: (1)由对称性可知, ?MFN 为等腰直角三角形,则斜边 MN ? 2 p , 且点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FM ? 2 p .

S?AMN ?

1 1 MN ? d ? ? 2 p ? 2 p ? 4 2 ,即 p ? 2 . 2 2

(2) 由对称性可设 A(

y0 2 ?p ? , y0 ) ( y0 ? 0) , F ? ,0 ? . 2p ?2 ?

? ? y0 2 , ? y0 ? , 由点 A , M 关于点 F 对称,得 M ? p ? 2p ? ?

y0 2 p ? 3p ? 所以 p ? ? ? ,解得 y0 ? 3 p ,即 A ? , 3 p ? . 2p 2 ? 2 ?
? y 2 ? 2 px p? ? ? 直线 m 的方程为 y ? 3 ? x ? ? ,与抛物线方程联列 ? p? ? 2? ? ?y ? 3? x ? 2 ? ? ? ?
得y ?
2

2 3 3 py ? p 2 ? 0 ,解得 y1 ? 3 p , y2 ? ? p. 3 3

所以 B ?

?p 3 ? , ? p? ?6 ?. 3 ? ?
2

2 3 ? 8 ? 3p p ? ? 这样 f ( p) ? AB ? ? ? ? ?? 3 p ? p? ? p. ? ? 3 ? 3 ? 2 6? ?

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