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2013高考数列知识训练


数列专题
1、等差数列 ①定义式(判断式) an?1 ? an ? d (常数),( n ? N ) : ②通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d (通项公式 an ? f (n) ? kn ? b是关于n的一次函数) ③前 n 项和公式: S n ? ④等差中项: b ?
?

n(a1 ? a n ) 1 1 1 ? na1 ? n(n ? 1)d ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

a?c ( a, b, c 成等差) 2

⑤等差数列的主要性质: (m, n, p, q ? N ? ) 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 特别地,m ? n ? 2 p ,am ? an ? 2a p ;am ? an ? (m ? n)d ; ; 若公差为 d 的等差数列的项数成等差数列, 则相应的项也成等差数列, ak , ak ?m , ak ?2m ,? ? ?(k , m ? N ) 成 即 公差为( )的等差数列。
?

⑥等差数列前 n 项和 S n 的性质:

S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? ? ? 构成的数列是
若 n 为奇数,则 S n ? na中 且 S 奇 - S 偶 ? 2、等比数列 ①定义式(判断式) :
a n ?1 ? ? q ( q ? 0) (常数),( n ? N ) an

;?

? Sn ? ? 是一个 ?n?

数列;

,若 n 为偶数,则 S偶 ? S奇 ?

②通项公式: an ? a1qn ?1 ( n ? N )

?

? na1 (q ? 1) a ? n 2 m?n ③前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ④等比中项: b ? ac ( a, b, c 成等比 ; m ? q (q ? 1) an ? 1? q ?
⑤等比数列的主要性质: (m, n, p, q ? N ) 若 m ? n ? p ? q , am ? an ? a p ? aq 特别地, m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? a p ;如果数列 ?an ? 是等比 ,
2
?

数列,那么其中项数成等差数列的对应的项成等比数列。如: a4 , a7 , a10 ,? ? ? 成等比数列。 ⑥等比数列前 n 项和 S n 的性质: 数列 ?an ? 是等比数列 ? S n ? Aq ? A ( A ? 0, q ? 0,1 );若等比数列 ?an ? 共有 2 n 项,则
n

S偶 S奇

?

数列 ?an ? 是等比数列且 S k ? 0 ? S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? ? ? 成等比数列。
1

3、数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系: a n ? ? 4、数列求和常用方法

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

公式法、裂项法、 错位相减法( q 倍系数法) 、倒序相加法等。 5.已知数列的递推公式,求通项 an ,常见的类型和方法有: ①.累加法: an?1 ? an ? f (n) ,如 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? (an ? an?1 ) ②.累乘法: an?1 ? an ? f (n) ,如 a n ? a1 ?

a a 2 a3 a 4 ? ? ????? n a1 a2 a3 an?1

③构造等比数列:形如 an?1 ? p ? an ? q( p ? 1) ,可构造等比数列 ?a n ?

? ?

q ? ? p ? 1?

④构造等差数列:形如 an?1 ?

?1? qan?1 1 1 p ,即 ? ? ,则 ? ? 为等差数列。 a n a n ?1 q pan?1 ? q ? an ?

例题讲解 例 1: (等差、等比数列的基本性质与运算) (1)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

S6 S ? 3 ,则 9 ? S3 S6

(2)等差数列 ?an ? 中, a4 ? a10 ? a16 ? 30 ,则 a18 ? 2a14 的值为 (3)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 7 ? S8 ? S 6 ,则下列结论: ① a7 ? 0 ③ S13 ? 0 ④ S 14 ? 0 ,其中正确的是( ) A.②③ B.①③ C.①④ ② a8 ? 0 D.②④

例 2:求数列的通项公式 an ①在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 an?1 ? an ? 2 n 。 ,

②在数列 ?an ? 中, a n ?1 ?

n?2 a n , a1 ? 4 。 n

③在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, n?1 ? 2an ? 1。 a

2

例 3: (与 S n 有关的通项)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , ?n ? N ,有 2S n ? (n ? 2)an ? 1 。
?

①求数列 ?an ? 的通项公式; ②设 Tn ?

1 1 1 ,求 Tn ? ? ??? ? a1a3 a 2 a 4 an an?2

例 4: (数列求和)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a 2 ? 3 a3 ? ? ? ? ? 3
2

n ?1

an ?

n ? , n? N ) ( 3

①求数列 ?an ? 的通项公式;②设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 an

例 5:已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ( a ? R ),且 ①求数列 ?an ? 的通项公式;②对 n ? N ,试比较
?

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a2 a4

1 1 1 1 1 与 的大小。 ? ? ? ??? ? a a 2 a 2 2 a 23 a 2n

例 6: (数列的综合运用)数列 ?an ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列,且 S 3,S 2 , S 4 成等差数列。 ①求数列 ?an ? 的通项公式; ②若 bn ? log2 an ,设 Tn 为数列 ? 最小值。

?

1 ? ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?bn?1 对一切 n ? N 恒成立,求实数 ? 的 bn bn ?1 ? ?

3

基础训练 A 组 一、选择题

, 1.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21 34,55 中, x 等于(



A. 11

B. 12

C. 13

D. 14 )

2.等差数列 {an } , a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 an }前9 项的和 S9 等于( 中 { A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 ) 3.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 则 ?an ? 的前 4 项和为( , A. 81 B. 120 C. 168 ) D. 192 A. 1 B. ?1 C. ? 1

4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是(

D. )项

1 2

5.已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ,那么 ? 13 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

1 是此数列的第( 2

6.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和为( A. 513 二、填空题 1.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?an ? 的公差为______________。 2.数列{ an }是等差数列, a4 ? 7 ,则 s7 ? _________ 3.两个等差数列 ?an ? ? n ? ,b , B. 512 C. 510 D.



225 8

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5

4.在等比数列 ?an ? 中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________. 5.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =___________.
2

三、解答题 1. 成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数。

2. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0.3, a12 ? 3.1, 求 a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 的值。

3. 求和: (a ? 1) ? (a ? 2) ? ... ? (a ? n), (a ? 0)
2 n

4

综合训练 B 组 一、选择题 1.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10 )

2.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 B. ?1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
1 2



A. 1

C. 2

D.

3.若 lg 2, lg(2 x ? 1), lg(2 x ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A. 1 B. 0 或 32 C. 32 D. log2 5



4.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? ( A. 12 二、填空题 1.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________。 2.在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______。 B. 10 C. 1 ? log3 5 D. 2 ? log3 5



3.已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 , 则 k ? _________。 三、解答题 1.求和: 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? nx
2 n ?1

2.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。

3.在等比数列 ?a n ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 求 n 的范围。 ,

5

提高训练组 C 一、选择题 1.数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 B. 99 C. 96

1 n ? n ?1

,则该数列的前(

)项之和等于 9 。

D. 97 )

2.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 ) 3.在等比数列 ?an ? 中,若 a 2 ? 6 ,且 a5 ? 2a4 ? a3 ? 12 ? 0 则 an 为( A. 6 B. 6 ? (?1) n?2 C. 6 ? 2
n?2

D. 6 或 6 ? (?1) n?2 或 6 ? 2

n?2

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200 a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700,则 a1 为( , A. ?22.5 B. ?21.5 C. ?20.5 D. ?20



2 5.已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m 等于(



A. 38

B. 20

C. 10

D. 9

6.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn
D.



A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4

二、填空题 1.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________。 2.若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 S13 ? __________. 3. 在等差数列 ?a n ?中,公差 d ?

1 ,前 100 项的和 S100 ? 45 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________。 2

4.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 附:高考真题 一.选择 1.(2012 安徽 5)公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 =( (A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8 ) )

2.(2012 全国 6)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )
n

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1


3.(2012 新课标 12)数列 {an } 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ? 1,则数列 {an } 的前 60 项和为( (A)3690 (B)3660 (C)1845
6

(D)1830

4.(2012 辽宁 4)在等差数列 {an } 中,已知? a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? ( (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24



5. ( 2012 四 川 12 ) 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 , 数 列 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? (
A、0 B、7 C、14

) D、21 )

6.(2102 福建 11)数列 {an } 的通项公式为 a n ? n cos A.1006 B.2012

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012 = ( 2
D.0 )

C.503

7.(2102 北京 6)已知为等比数列,下面结论种正确的是(

A . a1 ? a3 ? 2a 2
二.填空题

2 2 B. a12 ? a3 ? 2a2

C. 若 a1 ? a3 , 则 a1 ? a 2

D. 若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a21

8.(2012 重庆 11)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 9. (2012 新课标 14)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S 3 ? 3S 2 ? 0 ,则公比 q ? 10.(2012 江西 13)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N ,都有
?

an ? 2 ? an ?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 =
11.(2012 上海 14)已知 f ( x ) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an? 2 ? f (an ) ,若 1? x

a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是
12.(2012 辽宁 14)已知等比数列 {an } 为递增数列,若 a1 ? 0, 且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则公比 q ? 13.(2102 北京 10)已知数列 {an } 为等差数列,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ?

1 , S 2 ? a3 ,则 a 2 ? 2

Sn =
14.(2012 广东 12)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 三、解答题 15(2012 全国 18)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2 n?2 an 。 3

.

7

16.(2011 全国)6.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差为 d ? 2, Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k= ( ) A.8 B.7 C.6 D.5

17.(2011 全国文)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, 求 an 和 Sn

18.(2011 全国理) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n?1 1 ? a n

(Ⅰ )求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

19.(2011 课标文)已知等比数列 {an} 中, a1 ? (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ?

1 1 ,公比 q ? . 3 3

1 ? an 2

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.

20.(2011 课标理)已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和.

1 bn

21.(2010 课标文)设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。

8

22.(2010 课标理)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

23.(2010 大纲) (4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4 a5a6 =( )

24.(2010 大纲文)记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,设 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列,求 Sn .

9


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