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【数学】1.4《导数在实际生活中的应用⑵》课件(苏教版选修2-2) (2)


一、知识回顾:
1、求函数最值的常用方法:

(1)利用函数的单调性;
(2)利用函数的图象; (3)利用函数的导数.

2、用导数求函数f(x)的最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值 (极大值或极小值); (2) 将 y=f(x) 的 各 极 值 与 f(a) 、 f(b)比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.
注意:若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值),则该极大值(或极小值)即为函数

f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值).

实际应用问题

审 题 (设)

分析、联想、抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

解答数学问题

寻找解题思路 (解)

构建数学模型

解答应用题的基本流程

导数在实际生活中的应用

1.几何方面的应用:

二、新课讲授

例1:在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做 成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大?最大容积是多少?
x
x
60

x

x

60

60 ? x 解:设箱底边长为xcm,则箱高 h ? cm, 2
2 3 60 x ? x 得箱子容积 V ( x) ? x 2 h ? (0 ? x ? 60) 2

3x 令 V ?( x) ? 60 x ? ? 0 ,解得 2
'

3x 2 V ?( x) ? 60 x ? 2 2

x=0(舍去),x=40,

并求得:V(40)=16000

当x ? ?0,40?时v ?x ? ? 0; 当x ? ?40,60?时v ?x ? ? 0
'

因此,16000是最大值。 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm3 .

例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与 底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则 表面积 S=2π Rh+2π R2

由V=π

R2h,得

V ,则 h? 2 ?R

V 2V 2 2 S ( R) ? 2? R ? 2? R ? ? 2? R 2 ?R R 2V V 3 令 S '( R) ? ? 2 ? 4? R ? 0 解得,R ? 2? ,从而 R

V h? ? 2 ?R

V ? V 2 3 ?( ) 2?

3

4V

?

?2

3

V

?

即: h=2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

例3 有甲乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的 岸边A处,乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB处, 乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸 边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的 水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C 在何处才能使水管费用最省?

B

A

C X D

解:设供水站C建在AD间距D点xkm处能使水管费 B 用最省,设水管费用为y元 .则

y ? 3a ? (50 ? x) ? 5a ? x ? 40 x ' ? y ? 5a ? ? 3a 2 2 x ? 40 A C X D x ' 令y ? 5a ? ? 3a ? 0, 得 : 2 2 x ? 40 x1 ? 30 ,x2 ? -30 , 又0≤ x ≤50, ? x ? 30 ,为唯一极值点, ??
2 2

答:供水站C建在AD间距D点30km处能使水管费用最省.

2.物理方面的应用:
例4 在如图所示的电路中,已知电源的内阻为 r,电动势为ε,外电阻R为多大时,才能使电 功率最大?最大电功率是多少?


R

例2 强度分别为a,b的两个点光源A,B,它们间 的距离为d,试问在连接这两个光源的线段AB 上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上 述问题(照度与光的强度成正比,与光源距离 的平方成反比).

A X

P 3-X

B

例5 在经济学中,生产x单位产品的成本称为成 本函数,记为C(x);出售x单位产品的收益称为收 益函数,记为R(x); R(x)- C(x)称为利润函数, 记为P(x). (1)设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,生产多 少单位产品时,边际成本C’(x) 最低? (2)设C(x)=50x+10000,产品的单价p =1000.01x,怎样定价可使利润最大?

四、课堂小结
1、用导数求函数f(x)的最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值; (极大值或极小值); (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的

一个为最小值.
注意:若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值),则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值).

实际应用问题

审 题 (设)

分析、联想、抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

解答数学问题

寻找解题思路 (解)

构建数学模型

2、解答应用题的基本流程

3、导数在实际生活中的应用:
1).几何方面的应用 (面积和体积等的最值)

2).物理方面的应用 (功和功率等最值) 3).经济学方面的应用 (利润方面最值)


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