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广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(理)试题


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2013 届 广东省六校第二次联考 理科数学试题
命题:中山纪念中学
六校分别为:广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中

一.选择填空(本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
有且只有一项是符合题目要求的) 1.复数

i?2 ? 1 ? 2i
B. ?i C. ?





A. i

4 3 ? i 5 5

D. ?

4 3 ? i 5 5
( )

2. a ? 1 ” “ (a ? 1)( a ? 2) ? 0 ” “ 是 成立的

B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ??? ? ??? ? 3. ?OAB ,点 P 在边 AB 上, AB ? 3 AP ,
??? ? ??? ? ??? ? ? ? 设 OA ? a, OB ? b ,则 OP ? 1? 2? 2? 1? A. a ? b B. a ? b 3 3 3 3
1? 2? a? b C. 3 3 2? 1? a? b D. 3 3
( )

A . 充分非必要条件 C. 充要条件

O

a A P

b B

4. 2 log 5 10 ? log 5 0.25 ?





A. 0
5.把函数 y ? sin( x ? 的

B. 1

C. 2

D. 4

?
3

) 图象上所有点向右平移

?
3

个单位, 再将所得图象的横坐标变为原来

1 倍(纵坐标不变) ,得图象的解析式是 y ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? ? ? ) ,则( ) 2 1 ? ? 2? A. ? ? , ? ? ? B. ? ? 2, ? ? D. ? ? 2, ? ? C. ? ? 2, ? ? 0 2 3 3 3

6. 在 ?ABC 中, b ? 5, ?B ?

?

4

, tan A ? 2 ,则 a 的值是





B. 2 10 C. 10 ??? ? 2 7. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A(3, 4) ,将向量 OA 绕点 O 按逆时针 ??? ? 2? 方向旋转 后得向量 OB ,则点 B 的坐标是 ( ) 3 3 3 3 3 y A. (? ? 2 3, ? 2 ? 3) B. (? ? 2 3, ? 2 ? 3) 2 2 2 2 3 3 B C. (? ? 2 3, ? 2 ? 3) D. (?4, 3) 2 2 A. 10 2
O 1

A

x

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8. 已知实数 a、b 满足等式 2a ? 3b ,下列五个关系式:① 0 ? b ? a ③0? a ?b A. 1 个 ④b ? a ? 0 B. 2 个

②a ? b ? 0 ( )

⑤ a ? b ? 0 , 其中有可能成立的关系式有 C. 3 个 D. 4 个

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则命题 ?p 是______________________.

?3 ( x ? 3) ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, 则 ?log 3 x (0 ? x ? 3 ?
实数 k 的取值范围是__________________.

1 , a4 ? ?4 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? ____________ . 2 12. 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD E D
11. 等比数列 {an } 中,若 a1 ? 中, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点, 则 AE ? BD ? ___________ .
A B C

??? ??? ? ?

13. 已知函数 y ? x 3 ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c ? __________ . 14. 对于三次函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0), 给出定义 : 设f ?( x )是函数y ? f ( x ) 的导数,f ??( x) 函数 f ?( x) 的导数, 若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为 函数 y ? f ( x) 的“拐点” ,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任 何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据上面探究结果,解答以下问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 的对称中心坐标为 ______ ; 3 2 12 1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ??? f ( )= (2)计算 f ( __________ . 2003 2013 2013 2013 f ( x) ?

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三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x (1)求 f ( x) 的最大值和最小正周期; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (

?

? 5 ? ? )? , f ( ? ? ) ? 2 ,求 sin(? ? ? ) 的值 2 8 2 2

16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin ? , cos ? ) 、 b ? ( 3,1) (1)若 a // b ,求 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? a ? b , ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的三条边分别为 a 、 b 、 c ,且

?

?

? ?

? ?

??? ???? ? ? ? a ? f (0) , b ? f (? ) , c ? f ( ) ,求 AB ? AC 。 6 3

17. (本小题满分 14 分) 设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

S k , S k ?1 成等差数列.

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18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 , g ? x ? ? x ? 1 . (1)若 ?x ? R ,使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围; (2) F ? x ? ? f ? x ? ? mg ? x ? ? 1 ? m ? m 2 ,且 F ? x ? 在 ? 0 , 1? 上单调递增,求实数 m 的取值范 设 围.

19. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a、b、c、d ? R ) 为奇函数,且在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . (1) 求函数 f ( x) 的表达式. (2) 求曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0,f ( x0 )) 处的切线方程,并求曲线 y ? f ( x) 在点

M ( x0,f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x) 围成封闭图形的面积.
(3) 如果过点 (2,t ) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 t 的取值范围;

20. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0, 函数 f ( x) ?

1 . x ?a
2

(1)证明:存在唯一实数 x0 ? (0,

1 ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; a
*

(2)定义数列 {xn }: x1 ? 0, xn ?1 ? f ( xn ), n ? N

① 对(1)中的 x0 ,求证:对任意正整数 n 都有 x2 n ?1 ? x0 ? x2 n ; ② 当 a ? 2 时,若 0 ? xk ?

1 (k ? 2,3, 4,?) ,证明:对任意 m ? N * 都有 2

xm ? k ? xk ?

1 3 ? 4k ?1

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2013 届高三六校第二次联考(理科)数学试题
参考答案及评分标准
命题: 中山纪念中学 纪希刚 审题:梁世峰

第Ⅰ 卷选择题(满分 30 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C

第Ⅱ 卷非选择题(满分 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 10. (0, 1) 11. 2n?1 ?

1 2
(答对一个不得分)

12. 1 13. c ? ?2

14. 对称中心 ( , 1) ……3 分;

1 2

2012………2 分

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ?

2(

2 2 cos 2 x ? sin 2 x) …………………1 分 2 2

? 2 sin(2 x ? ) ………………………3 分 4
且 x ? R ? f ( x) 的最大值为 2 …………………………4 分 最小正周期 T ? (2)? f (

?

2? ? ? ……………………………………5 分 2

?

? ) ? 2 sin(2( ? ) ? ) ? 2 sin(? ? ) …………………6 分 2 8 2 8 4 2

?

?

?

?

?

? 2 cos ? ?
又? ? ? [0,

5 10 , ? cos ? ? 2 4

…………………7 分

?
2

] ,? sin ? ?

6 …………………8 分 4

?f(

?
2

? ? ) ? 2 sin(2(

?

? ? ) ? ) ? 2 sin( ? ? ? 2? ) …………………9 分 2 4 4

?

?

? 2 sin( ? ? ) ? 2 …………………10 分 4

?

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又? ? ? [0,

?
2

],? ? ?

?

? 3? ? ? ? ? [ , ],? ? ? ? ? ? ? …………………11 分 4 4 4 4 2 4

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? 4 4 4
16. (本小题满分 12 分) 解: (1)? a // b,? sin ? ? 3 cos ? ? 0 …………………2 分

?

?

?

3? 5 …………………12 分 4

? ?

? sin ? ? 3 cos ? ? tan ? ? 3 …………………4 分 ? ? (2)? a ? b ? (sin ? ? 3, cos ? ? 1) …………………5 分

? ? ? a ? b ? (sin ? ? 3) 2 ? (cos ? ? 1) 2 …………………6 分
? 5 ? 2 3 sin ? ? 2 cos ? ? 5 ? 4sin(? ? ) …………………7 分 6 ? a ? f (0) ? 5 ? 4sin

?

?
6

? 7 …………………8 分

? b ? f (? ) ? 5 ? 4sin 0 ? 5 …………………9 分 6

?

? c ? f ( ) ? 5 ? 4sin ? 3 …………………10 分 3 2
由余弦定理可知: cos A ?

?

?

b2 ? c2 ? a 2 7 5 …………………11 分 ? 2bc 30

??? ???? ??? ???? ? ? 7 ? AB ? AC ? AB AC cos A ? bc cos A ? …………………12 分(其它方法酌情给分) 2
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0,q ? 1 ).
2 4 3 由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q .

???3 分

2 由 a1 ? 0,q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1 (舍去) ,所以 q ? ?2 .?7 分

(2)证法一:对任意 k ? N ? ,

S k ? 2 ? S k ?1 ? 2S k ? ? S k ? 2 ? S k ? ? ? S k ?1 ? S k ?

? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1

? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ? ?2 ? ? 0 ,
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所以,对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

S k , S k ?1 成等差数列.

???14 分

证法二:对任意 k ? N ? , 2 S k ?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q ?



???9 分

S k ? 2 ? S k ?1 ?

a1 ?1 ? q k ? 2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q



???12 分

2 S k ? ? S k ? 2 ? S k ?1 ? ?
?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

?

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? ? ? 1? q ?

?

a1q k 2 ? q ? q ? 2? ? 0 , 1? q
S k , S k ?1 成等差数列。
?????14 分

因此,对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

18. (本小题满分 14 分) 解(1)解:由 ?x ? R , 所以, ?

f ? x ? ? bg ? x ? ,得 ?x ? R ,使 x 2 ? bx ? b ? 0 ,???3 分
2

? ? ?b ? ? 4b ? 0 ? b ? 0 或 b ? 4 ;

???7 分 ???10 分

(2)解:由题设得 F

? x ? ? x 2 ? mx ? 1 ? m2

?m ?m ? ?0 ? ?1 或? ? 2 ?? 2 ? f (0) ? 1 ? m 2 ? 0 ? f (0) ? 1 ? m 2 ? 0 ? ?

??? 13 分

??1 ? m ? 0 或 m ? 2

???14 分

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19. (本小题满分 14 分) (1)解: f (? x) ? f ( x) ? 0 ? bx 2 ? d ? 0 恒成立? b ? d ? 0 ? f ( x) ? ax 3 ? cx 又 f ?( x) ? 3ax 2 ? c ?在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? (3a ? c)( x ? 1) ? a ? c ,即

?3a ? c ? 2 ?a ? 1 y ? (3a ? c) x ? 2a ? ? ?? ? f ( x) ? x 3 ? x ??2a ? ?2 ?c ? ?1

……… 5 分

(2)解:设切点为 ( x0 , f ( x0 )) , f ?( x) ? 3 x 2 ? 1 则切线方程是:
3 y ? (3x0 2 ? 1)( x ? x0 ) ?( x0 ? x0 ) , 3 2 3 令 x 3 ? x ? (3 x0 2 ? 1)( x ? x0 ) ? ( x0 ? x0 ) 得 x 3 ? 3 x0 x ? 2 x0 ? 0

????7 分

? ( x ? x0 ) 2 ( x ? 2 x0 ) ? 0 所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是 ?2x0 ?9 分

x0 ? 0 时 S ? ?

1 3 2 2 3 3 ( x 3 ? 3x0 x ? 2 x0 )dx ? ( x 4 ? x0 x 2 ? 2 x0 x) ?2 x0 4 2
x0
?2 x0 x0 2 3 ( x 3 ? 3 x0 x ? 2 x0 )dx ? ? x0 ?2 x0

x0 ?2 x0

?

27 4 x0 4 27 4 x0 4

x0 ? 0 时 S ? ? ?

2 3 ( x 3 ? 3x0 x ? 2 x0 )dx ?

切线与曲线恰有一个公共点,S ? 0 ? x0 ? 0 时,

27 4 综上: 曲线 y ? f ( x) x0 (此步不扣分) 4

在点 M ( x0,f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x) 围成封闭图形的面积

S?

27 4 x0 ( x0 ? R) . 4

……… 10 分

(3)解: 令切线过 (2, t ) ,代入整理得:
3 2 2 x0 ? 6 x0 ? t ? 2 ? 0 关于 x0 有三个不同的解;

设 g ( x) ? 2 x ? 6 x ? t ? 2 即 g ( x) 有三个不同的零点;
3 2

…?? 2 分

又 g ?( x) ? 6 x( x ? 2) ? x ? (0, 2) 时 g ?( x) ? 0 ? g ( x) 递减; x ? (??, 0) ? (2, ? ?)

? g (0) ? t ? 2 ? 0 g ?( x) ? 0, g ( x) 在区间 (??, 0)、 ? ?) 上分别递增,故 ? (2, ? g (2) ? t ? 6 ? 0

??2 ? t ? 6

??? 14 分

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20. (本小题满分 14 分) (1)解:有 f ( x) ?

1 ? x ? x 3 ? ax ? 1 ? 0 令 g ( x) ? x 3 ? ax ? 1 x ?a 1 1 由 g ?( x) ? 3 x 2 ? a ? 0, g (0) ? ?1 ? 0, g ( ) ? 3 ? 0 所 以 有 且 只 有 一 个 实 数 a a 1 ??????5 分 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; a
2

(1) (Ⅰ)(数学归纳法)先证: x2 n ?1 ? x0 ? x2 n 证明: ① x1 ? 0, x2 ?

1 ? x0 ? ( x1 , x2 ) ; a 1 递减性得: x ?a
2

② 假设 x2 k ?1 ? x0 ? x2 k (k ? 1) 由 f ( x) ?

f ( x2 k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 k ), (k ? 1) 即 x2 k ? x0 ? x2 k ?1 (k ? 1)
又 f ( x2 k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 k ?1 ) 所以 n ? k ? 1 时命题成立

? x2 k ?1 ? x0 ? x2 k ? 2

所以 x2 n ?1 ? x0 ? x2 n 对 n ? N * 成立.???? 9 分

(2)(Ⅱ)解:当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 1 4 为减函数,且 x1 ? 0, x2 ? , x3 ? x ?2 2 9
2

1 1 x2 ? x1 ? , x3 ? x2 ? 2 18
由 0 ? xk ?

( x ? x ) x ? xk ?1 1 1 1 ? 2 ? k 2 k ?1 2k (k ? 2,3, 4,?) xk ?1 ? xk ? 2 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk ?1 ? 2) 2
1 1 1 1 1 xk ? xk ?1 ? ( ) k ? 2 x3 ? x2 ? ( ) k ? 2 ? ? ( ) k 4 4 4 18 4

? xk ?1 ? xk ?

xm ? k ? xk ? xm ? k ? xm ? k ?1 ? xm ? k ?1 ? xm ? k ? 2 ? ? ? xk ?1 ? xk
1 1 1 1 ? ( ) k ? ( ) k ?1 ? ? ? ( ) k ? m ?1 ? 4 4 4 3 ? 4k ?1
??????14 分

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