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第一章反正法、数学归纳法同步练习题(理科)(教师版)


第一章反正法、数学归纳法同步练习题(理科)
1. 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( D ) ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾 A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④ 2. 否定:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( D ) A.a,b,c 都是偶数 B.a,b,c 都是奇数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 3. 有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y 或 x<y”; ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”; ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有 ( B ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4. 用反证法证明命题:“a、b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内 容应为 ( B ) A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 5.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( B ) A.假设三内角都不大于 60 度; B.假设三内角都大于 60 度; C.假设三内角至多有一个大于 60 度; D.假设三内角至多有两个大于 60 度。 [来源:学§科§网 Z§X§ 1 1 1 * 6. 若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),则 n=1 时 f(n)是( C ) 2 3 2n+1 1 1 1 A.1 B. C.1+ + D.以上答案均不正确 3 2 3 (n+3)(n+4) * 7. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n∈N ),验证 n=1 时,左边应取的项 2 是( D ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 n 2 8. 用数学归纳法证明 “2 >n +1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立” 时, 第一步证明中的起始值 n0 应取( C ) A.2 B.3 C.5 D .6 9. 用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,假设正确的是( D ) A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2+ 3是有理数 1 1 1 2n 10. 用数学归纳法证明:1+ + +?+ = 时,由 n=k 到 n=k+1 左边需 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n n+1 要添加的项是( D ) 2 1 1 2 A. B. C. D. k? k+2? k? k+1? ? k+1? ? k+2? ? k+1? ? k+2? 11.用数学归纳法证明“ (n ? 1)( n ? 2) ?(n ? n) ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ” ( n ? N ? )时,
n

从 “ n ? k到n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是( B ) A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 2 k ?1

1 12.设 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2) ,f(5)=( C ) 2

A.0

B.1

C.

5 2

D.5

13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖 __ 4n ? 8 ____块. (用含 n 的代数式表示)

1

14.已知 a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1, 求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数. 证明:假设 a,b,c,d 都是非负数,因为 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1, 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd>1,这与上式相矛盾,所以 a,b,c,d 中至少有一个是负数. 15.已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证: 证明:假设 ∴

1 1 1 , , 不可能是等差数列。 a b c

1 1 1 , , 为等差数列,则 2/b=1/a+1/c,∴ a b c

2ac=b(c+a)=2 ,∴ d
2

b

2

,∴

ac=

b

2

(b-d)(b+d)=

b

2

,∴

b

2

+bd-bd- d

2

=

b

2

=0

即 d=0 这与已知 d ? 0 矛盾

故 假设错误,原命题成立。 16. 已知△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,求证: 证明:要证
2 2

1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

1 1 3 a+b+c a+b+c + = 需证: + =3,即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c), a+b b+c a+b+c a+b b+c
2 0 2 2 2

即证:c +a =ac+b ,因为△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,所以 B=60 ,由余弦定理 b = c +a -2cacosB, 即 b = c +a -ca 所以 c +a =ac+b ,因此 17.在△ABC 中,证明:
2 2 2 2 2 2

1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2? 2 。 2 2 a b a b

证明:

? sin 2 A sin 2 B ? 1 1 cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B ? ? ? ? 2 ? ? ? ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?

cos 2 A cos 2 B 1 1 sin 2 A sin 2 B ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 由正弦定理得: a2 b2
1 1 1 1 2 * 18.用数学归纳法证明:(1- )(1- )(1- )?(1- )= (n∈N ). 3 4 5 n+2 n+2 1 2 2 2 证明: (1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= = ,等式成立. 3 3 1+2 3 1 1 1 1 2 * (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时等式成立,即(1- )(1- )(1- )?(1- )= , 3 4 5 k+2 k+2 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,(1- )(1- )(1- )?(1- )·(1- ) 3 4 5 k+2 k+3 2 1 2? k+2? 2 = (1- )= = ,所以当 n=k+1 时等式也成立. k+2 k+3 ? k+2? ? k+3? k+ 3 * 由(1)(2)可知,对于任意 n∈N 等式都成立. 19.用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? n ? n; 2 3 4 2 ?1

1 1 11 + = ,右=2,左<右,所以命题成立; 2 3 6 1 1 1 1 (2)当 n ? k ? 1时,左边 ? (1 ? ? ? ? k ) ? ( k ? ? ? k ?1 ) ? k ? 2 2 ?1 2 2 ?1 1 1 1 1 ( k ? k ??? ) ? k ? 2 k ? k ? k ? 1 =右边, 所以 n ? k ? 1 时命题正确 2k 项 2 2 2k 2
证明:(1)当 n=1 时,左=1,右=1,左=右,当 n=2 时,左=1+ 由(1) (2)可知对命题正确 n∈N
+

2

1 n? n+1? 20.数列{an}满足 a1= ,前 n 项和 Sn= an 6 2 (1)写出 a2,a3,a4;(2)猜出 an 的表达式,并用数学归纳法证明. 1 2×? 2+1? 1 3×? 3+1? 解:(1)令 n=2,∵a1= ,∴S2= a2,即 a1+a2=3a2.∴a2= .令 n=3,得 S3= a3, 6 2 12 2 1 4×? 4+1? 1 即 a1+a2+a3=6a3,∴a3= .令 n=4,得 S4= a4,即 a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4= . 20 2 30 1 1 1 (2)猜想 an= ,下面用数学归纳法给出证明.①当 n=1 时,a1= = , ? n+1? ? n+2? 6 ? 1+1? ? 1+2? 1 结论成立.②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak= , ? k+1? ? k+2? k? k+1? k? k+1? 1 k 则当 n=k+1 时,Sk= ak= · = , 2 2 ? k+1? ? k+2? 2? k+2? ? k+1? ? k+2? ? k+1? ? k+2? Sk+1= ak+1,即 Sk+ak+1= ak+1. 2 2 k ? k+1? ? k+2? ∴ +ak+1= ak+1. 2? k+2? 2

k 2? k+2? ∴ak+1= ? k+1? ? k+2?
2

= k? k+3? ? -1

k k+2?

1 = . ? k+2? ? k+3?

1 * 当 n=k+1 时结论成立.由①②可知,对一切 n∈N 都有 an= . ? n+1? ? n+2? 21 已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 解:(1) a1=

3 7 15 1 , a2= , a3= ,猜测 an=2- n 2 4 8 2 1 , 2k
,

(2) ①由(1)已得当 n=1 时,命题成立; ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

当 n=k+1 时, a1+a2+??+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+??+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴2ak+1=2+2- 即当 n=k+1 时,命题成立.

1 , 2k
+

ak+1=2-

1

根据①②得 n∈N

2 k ?1 1 , an=2- n 都成立 2

3


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