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江苏省无锡市江阴市南菁中学2015-2016学年度八年级数学上学期第一次月考试题(含解析) 苏科版


江苏省无锡市江阴市南菁中学 2015-2016 学年度八年级数学上学期第一次 月考试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项 是正确的,请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1.4 的平方根是( ) A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 2.下列图形中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D. )

3.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是(

A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 4.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的 距离相等,凉亭的位置应选在( )

A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 5.如图 OP 平分∠AOB,PC⊥OA 于 C,D 在 OB 上,PC=3,则 PD 的大小关系是(



A.PD≥3 B.PD=3 C.PD≤3 D.不能确定 6.等腰三角形两边长为 3 和 6,则周长为( ) A.12 B.15 C.12 或 15 D.无法确定 7.如图,在平面内,把矩形 ABCD 沿 EF 对折,若∠1=50°,则∠AEF 等于(



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A.115° B.130° C.120° D.65° 8.如图,将一正方形纸片沿图(1) 、 (2)的虚线对折,得到图(3) ,然后沿图(3)中虚线的剪去 一 个 角 , 展 开 得 平 面 图 形 ( 4 ), 则 图 ( 3 ) 的 虚 线 是 ( )

A.

B.

C.

D.

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°,则顶角的度数为( ) A.45°或 135° B.45° C.135° D.90° 10.如图,已知∠MON=30°,点 A1,A2,A3,?在射线 ON 上,点 B1,B2,B3,?在射线 OM 上.△A1B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4,?均为等边三角形,若 OA1=4,则△A6B6A7 的边长为( )

A.16

B.32

C.64

D.128

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.不需写出解答过程,只需把答案直接填写在 答题卡上相应的位置) 2 2 11.下列各数:0,﹣4, (﹣3) ,﹣3 ,﹣(﹣2) ,有平方根的数有 个. 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 中点,∠BAD=35°,则∠C 的度数为 .

13.如图,∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件:

,能使△ABD≌△BAC(只添一个即可) .

14.如图,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点,交边 AC 于 E 点,若△ABC 与△EBC

2

的周长分别是 40cm,24cm,则 AB=

cm.

15 . 若直 角三 角形 斜边上 的 高和 中线 分别是 5cm 和 6cm ,则 斜边 长为 ,面 积 为 . 16.①有两个锐角相等的两个直角三角形全等;②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等;③顶 角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;④两个等边三角形全等.以上几个命题中正确的是 (填序号) 17.如图,AE⊥AB,且 AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成 的图形的面积 S 是 .

18.如图是两块完全一样的含 30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点 M 转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 C.已知 AC=5,则这块直角三角 板顶点 A、A′之间的距离等于 .

三、解答题(本大题共 9 小题,共 54 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 19.如图,在所给网格图(每小格均为边长是 1 的正方形)中完成下列各题: (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线 DE 对称的△A1B1C1; (2)在 DE 上画出点 Q,使 QA+QC 最小.

20.如图,两个班的学生分别在 M、N 两处参加植树劳动,现要在道路 AB、AC 的交叉区域内设一个 冷饮供应点 P,使 P 到两条道路的距离相等,且到 M、N 两劳动处的距离也相等.请在图中找到这个

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点的位置. (保留作图痕迹,不写作法)

21.如图,已知在△ABC 中,D 为 BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.求证:AB=AC.

22.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=DE=EB,BD=BC,试求∠A 的度数.

23.已知:如图,∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F. ①求证:BE=CF; ②若 AF=5,BC=6,求△ABC 的周长.

24.如图,在△ABC 中,D 是∠BAC 的平分线上一点,BD⊥AD 于 D,DE∥AC 交 AB 于 E,请说明 AE=BE.

25.如图,点 O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=100°,∠BOC=α .以 OC 为一边作等边三角形 OCD,连 接 AC、AD.

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(1)当 α =150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由; (2)当△AOD 是等腰三角形时,求 α 的度数.

26.如图,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等? (2) 若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发, 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发, 都逆时针沿△ABC 三边运动,则经过 后,点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的 边上相遇?(在横 线上直接写出答案,不必书写解题过程)

27. 【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判 定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

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【深入探究】 第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC≌△DEF. ( 1 )如图①,在△ABC 和△DEF, AC=DF , BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC≌△DEF. (2) 如图②, 在△ABC 和△DEF, AC=DF, BC=EF, ∠B=∠E, 且∠B、 ∠E 都是钝角, 求证: △ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等. (3)在△ABC 和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是锐角,请你用尺规在图③中作出 △DEF,使△DEF 和△ABC 不全等. (不写作法,保留作图痕迹) (4) ∠B 还要满足什么条件, 就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论: 在△ABC 和△DEF 中, AC=DF, BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是锐角,若 ,则△ABC≌△DEF.

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江苏省无锡市江阴市南菁中学 2015~2016 学年度八年级上学期第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项 是正确的,请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1.4 的平方根是( ) A.﹣2 B.2 C.±2 D.4 【考点】平方根. 【分析】首先根据平方根的定义求出 4 的平方根,然后就可以解决问题. 【解答】解:∵±2 的平方等于 4, ∴4 的平方根是:±2. 故选 C. 【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质,根据平方根的定义得出是解决问题的关键. 2.下列图形中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项正确; B、是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项错误. 故选 A. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重 合. 3.如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是( )

A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 【考点】全等三角形的判定. 【分析】 本题要判定△ABC≌△ADC, 已知 AB=AD, AC 是公共边, 具备了两组边对应相等, 故添加 CB=CD、 ∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判定△ABC≌△ADC,而添加∠BCA=∠DCA 后则不能. 【解答】解:A、添加 CB=CD,根据 SSS,能判定△ABC≌△ADC,故 A 选项不符合题意; B、添加∠BAC=∠DAC,根据 SAS,能判定△ABC≌△ADC,故 B 选项不符合题意;

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C、添加∠BCA=∠DCA 时,不能判定△ABC≌△ADC,故 C 选项符合题意; D、添加∠B=∠D=90°,根据 HL,能判定△ABC≌△ADC,故 D 选项不符合题意; 故选:C. 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一 角对应相等时,角必须是两边的夹角. 4.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的 距离相等,凉亭的位置应选在( )

A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 【考点】角平分线的性质. 【专题】应用题. 【分析】 由于凉亭到草坪三条边的距离相等, 所以根据角平分线上的点到边的距离相等, 可知是△ABC 三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置. 【解答】解:∵凉亭到草坪三条边的距离相等, ∴凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点. 故选 C. 【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了到线段的两个端点 的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 5.如图 OP 平分∠AOB,PC⊥OA 于 C,D 在 OB 上,PC=3,则 PD 的大小关系是( )

A.PD≥3 B.PD=3 C.PD≤3 D.不能确定 【考点】角平分线的性质;垂线段最短. 【分析】过点 P 作 PE⊥OB 于 E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PE=PC,再根据垂线 段最短解答. 【解答】解:如图,过点 P 作 PE⊥OB 于 E, ∵OP 平分∠AOB,PC⊥OA, ∴PE=PC=3, ∵D 在 OB 上, ∴PD≥PE,

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∴PD≥3. 故选 A.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是 解题的关键,作出辅助线更形象直观. 6.等腰三角形两边长为 3 和 6,则周长为( ) A.12 B.15 C.12 或 15 D.无法确定 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 6,而没有明确腰是多少,所以要进行讨论,还要 应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【解答】解:∵三角形中任意两边之和大于第三边 ∴当另一边为 3 时 3+3=6 不符, ∴另一边必须为 6, ∴周长为 3+6+6=15. 故选 B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要 想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也 是解题的关键 7.如图,在平面内,把矩形 ABCD 沿 EF 对折,若∠1=50°,则∠AEF 等于( )

A.115° B.130° C.120° D.65° 【考点】翻折变换(折叠问题) . 【专题】压轴题. 【分析】根据折叠前后角相等可知. 【解答】解:∵∠1=50°, ∴∠AEF=180°﹣∠BFE=180°﹣(180°﹣50°)÷2=115° 故选 A. 【点评】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据 轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等. 8.如图,将一正方形纸片沿图(1) 、 (2)的虚线对折,得到图(3) ,然后沿图(3)中虚线的剪去 一 个 角 , 展 开 得 平 面 图 形 ( 4 ), 则 图 ( 3 ) 的 虚 线 是 ( )

9

A.

B.

C.

D.

【考点】剪纸问题. 【分析】对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现. 【解答】解:由于得到的图形的中间是正方形,那么它的四分之一为等腰直角三角形. 故选 D. 【点评】本题主要考查剪纸问题,关键是培养学生的空间想象能力和动手操作能力. 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°,则顶角的度数为( ) A.45°或 135° B.45° C.135° D.90° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】 首先根据题意画出图形, 一种情况等腰三角形为锐角三角形, 即可推出顶角的度数为 45°. 另 一种情况等腰三角形为钝角三角形,由题意,即可推出顶角的度数为 135°. 【解答】解:①如图,等腰三角形为锐角三角形, ∵BD⊥AC,∠ABD=45°, ∴∠A=45°, 即顶角的度数为 45°. ②如图,等腰三角形为钝角三角形, ∵BD⊥AC,∠DBA=45°, ∴∠BAD=45°, ∴∠BAC=135°. 故选 A.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质.此题难度适中,解题的关键在于 正确的画出图形,结合图形,利用数形结合思想求解.

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10.如图,已知∠MON=30°,点 A1,A2,A3,?在射线 ON 上,点 B1,B2,B3,?在射线 OM 上.△A1B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4,?均为等边三角形,若 OA1=4,则△A6B6A7 的边长为( )

A.16 B.32 C.64 D.128 【考点】等边三角形的性质. 【专题】规律型. 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 A1B1∥A2B2∥A3B3 ,以及 A2B2=2B1A2 ,得出 A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2?进而得出答案. 【解答】解:∵△A1B1A2 是等边三角形, ∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°, ∴∠2=120°, ∵∠MON=30°, ∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°, 又∵∠3=60°, ∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°, ∵∠MON=∠1=30°, ∴OA1=A1B1=1, ∴A2B1=1, ∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形, ∴∠11=∠10=60°,∠13=60°, ∵∠4=∠12=60°, ∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3, ∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°, ∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3, ∴A3B3=4B1A2=4, A4B4=8B1A2=8, A5B5=16B1A2=16, n+1 以此类推:△AnBnAn+1 的边长为 2 , 6+1 ∴△A6B6A7 的边长为:2 =128. 故选 D.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出 A3B3=4B1A2 , A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2 进而发现规律是解题关键.

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二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.不需写出解答过程,只需把答案直接填写在 答题卡上相应的位置) 2 2 11.下列各数:0,﹣4, (﹣3) ,﹣3 ,﹣(﹣2) ,有平方根的数有 3 个. 【考点】平方根. 【分析】 先求得各数的值, 然后根据正数有两个平方根, 0 的平方根是 0, 负数没有平方根解答即可. 2 【解答】解: (﹣3) =9; 2 ﹣3 =﹣9; ﹣(﹣2)=2 ∵正数和零有平方根, 2 ∴有平方根的是:0, (﹣3) ,﹣(﹣2) ,共 3 个. 故答案为:3. 【点评】本题主要考查的是平方根的性质,掌握平方根的性质是解题的关键. 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 中点,∠BAD=35°,则∠C 的度数为 55° .

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°,再由三角形内角和定理和等腰三角形两底 角相等的性质即可得出结论. 【解答】解:AB=AC,D 为 BC 中点, ∴AD 是∠BAC 的平分线,∠B=∠C, ∵∠BAD=35°, ∴∠BAC=2∠BAD=70°, ∴∠C= (180°﹣70°)=55°. 故答案为:55°. 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键. 13.如图,∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件: BD=AC ,能使△ABD≌△BAC(只添一个即可) .

【考点】全等三角形的判定. 【专题】开放型. 【分析】本题要判定△ABD≌△BAC,已知 AB 是公共边,∠BAC=∠ABD 具备了一组边、一对角对应相 等,故添加 AC=BD 后可以根据 SAS 判定△ABD≌△BAC. 【解答】解:∠BAC=∠ABD(已知) ,AB=BA(公共边) ,BD=AC, ∴△DAB≌△CBA(SAS) ; 故答案为:BD=AC.本题答案不唯一.

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【点评】本题考查了全等三角形的判定.三角形全等的判定是 2016 届中考的热点,一般以考查三角 形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据 三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 14.如图,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点,交边 AC 于 E 点,若△ABC 与△EBC 的周长分别是 40cm,24cm,则 AB= 16 cm.

【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】首先根据 DE 是 AB 的垂直平分线,可得 AE=BE;然后根据△ABC 的周长=AB+AC+BC,△EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC 的周长﹣△EBC 的周长=AB,据此求出 AB 的长度是多 少即可. 【解答】解:∵DE 是 AB 的垂直平分线, ∴AE=BE; ∵△ABC 的周长=AB+AC+BC,△EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC, ∴△ABC 的周长﹣△EBC 的周长=AB, ∴AB=40﹣24=16(cm) . 故答案为:16. 【点评】 (1)此题主要考查了垂直平分线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:垂直平 分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. (2)此题还考查了等腰三角形的性质,以及三角形的周长的求法,要熟练掌握. 15.若直角三角形斜边上的高和中线分别是 5cm 和 6cm,则斜边长为 12cm ,面积为 30cm 【考点】直角三角形斜边上的中线. 【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出 AB,根据三角形的面积公式求出即可.
2



【解答】解: ∵CD 是 Rt△ACB 斜边 AB 上的中线, ∴AB=2CD=2×6cm=12cm, ∴Rt△ACB 的面积 S= AB×CE= 12cm×5cm=30cm , 2 故答案为:12cm,30cm . 【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用,解此题的关键是根据性质求出 AB 的长,注 意:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2

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16.①有两个锐角相等的两个直角三角形全等;②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等;③顶 角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;④两个等边三角形全等.以上几个命题中正确的是 ③ (填序号) 【考点】命题与定理. 【分析】根据三角形的判定方法和直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质分别对每一项进行 判断即可. 【解答】解:∵①有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等,原命题错误; ②一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等,原命题错误; ③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等,正确; ④两个等边三角形不一定全等,原命题错误; 以上几个命题中正确的是③; 故答案为:③. 【点评】此题考查命题与定理,用到的知识点是全等三角形的判定,关键是熟练掌握直角三角形、 等腰三角形、等边三角形的性质. 17.如图,AE⊥AB,且 AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成 的图形的面积 S 是 50 .

【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理. 【专题】计算题. 【分析】由 AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥AG,可以得到∠EAF=∠ABG,而 AE=AB,∠EFA=∠AGB,由此可以 证 明 △EFA≌△ABG , 所 以 AF=BG , AG=EF ; 同 理 证 得 △BGC≌△DHC , GC=DH , CH=BG , 故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积. 【解答】解:∵AE⊥AB 且 AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH?∠FED=∠EFA=∠BGA=90°, ∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°?∠EAF=∠ABG, ∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG?△EFA≌△ABG ∴AF=BG,AG=EF. 同理证得△BGC≌△DHC 得 GC=DH,CH=BG. 故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 故 S= (6+4)×16﹣3×4﹣6×3=50. 故答案为 50.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识.作辅助线是本题的关键. 18.如图是两块完全一样的含 30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点 M 转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 C.已知 AC=5,则这块直角三角 板顶点 A、A′之间的距离等于 2.5 .

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【考点】等边三角形的判定与性质. 【分析】连接 AA′,先由点 M 是线段 AC、线段 A′C′的中点可知,AM=MC=A′M=MC′=2.5,故可得 出∠MCA′=∠MA′C=30°, 故可得出∠MCB′的度数, 根据四边形内角和定理可得出∠C′MC 的度数, 进而可判断出△AA′M 的形状,进而得出结论. 【解答】解:连接 AA′, ∵点 M 是线段 AC、线段 A′C′的中点,AC=5, ∴AM=MC=A′M=MC′=2.5, ∵∠MA′C=30°, ∴∠MCA′=∠MA′C=30°, ∴∠MCB′=180°﹣30°=150°, ∴∠C′MC=360°﹣(∠MCB′+∠B′+∠C′)=180°﹣(150°+60°+90°)=60°, ∴∠AMA′=∠C′MC=60°, ∴△AA′M 是等边三角形, ∴AA′=AM=2.5. 故答案为:2.5.

【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出等边三角形是解答 此题的关键. 三、解答题(本大题共 9 小题,共 54 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 19.如图,在所给网格图(每小格均为边长是 1 的正方形)中完成下列各题: (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线 DE 对称的△A1B1C1; (2)在 DE 上画出点 Q,使 QA+QC 最小.

【考点】作图-轴对称变换;轴对称-最短路线问题.

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【专题】作图题. 【分析】 (1)根据网格结构找出点 A、B、C 关于直线 DE 对称点 A1、B1、C1 的位置,然后顺次连接即 可; (2)根据轴对称确定最短路线问题连接 A1C 与 DE 的交点即为所求点 Q. 【解答】解: (1)△A1B1C1 如图所示; (2)点 Q 如图所示.

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,轴对称确定最短路线问题,熟练掌握网格结构准确找出 对应点的位置是解题的关键. 20.如图,两个班的学生分别在 M、N 两处参加植树劳动,现要在道路 AB、AC 的交叉区域内设一个 冷饮供应点 P,使 P 到两条道路的距离相等,且到 M、N 两劳动处的距离也相等.请在图中找到这个 点的位置. (保留作图痕迹,不写作法)

【考点】作图—应用与设计作图. 【专题】作图题. 【分析】根据题意可知,∠BAC 的角平分线和线段 NM 的垂直平分线的交点即为 P 点. 【解答】解:所画图形如下所示:

点 P 即为所求. 【点评】此题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质,以及作法,难度中等. 21.如图,已知在△ABC 中,D 为 BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.求证:AB=AC.

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【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】 根据 SAS 得出△ADE≌△ADC, 得出∠E=∠C, 再根据∠E=∠B, 得出∠B=∠C, 进而证出 AB=AC. 【解答】证明:∵AD 平分∠EDC, ∴∠ADE=∠ADC, 在△ADE 和△ADC 中,

, ∴△ADE≌△ADC (SAS) , ∴∠E=∠C, 又∵∠E=∠B, ∴∠B=∠C, ∴AB=AC. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,用到的知识点是全等三角形的判定、全等三角形的 性质以及等腰三角形的性质,关键是证出△ADE≌△ADC. 22.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=DE=EB,BD=BC,试求∠A 的度数.

【考点】等腰三角形的判定与性质. 【专题】方程思想. 【分析】题中给出了多组相等的边,而让求角的度数,这实际上就是由边相等关系转化为角相等关 系的题,可以利用方程来解决. 【解答】解:设∠A=x,则 ∵AD=DE,∴∠AED=∠A=x; ∵DE=BE,∴∠EDB=∠EBD= x; 又∵BD=BC, ∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=1.5x; ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=1.5x; 在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°, ∴∠A=x=45°.

17

故答案为:45°. 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,这类题一般把底角和顶角的数量关系转化为方程来求 解. 23.已知:如图,∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线 DG 交于点 D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F. ①求证:BE=CF; ②若 AF=5,BC=6,求△ABC 的周长.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】①连接 CD,根据垂直平分线性质可得 BD=CD,可证 RT△BDE≌RT△CDF,可得 BE=CF; ②根据 Rt△ADE≌Rt△ADF 得出 AE=AF 解答即可. 【解答】①证明:连结 CD,

∵D 在 BC 的中垂线上 ∴BD=CD ∵DE⊥AB,DF⊥AC AD 平分∠BAC ∴DE=DF ∠BED=∠DCF=90° 在 RT△BDE 和 RT△CDF 中,

, ∴RT△BDE≌RT△CDF(HL) , ∴BE=CF; ②解:由(HL)可得,Rt△ADE≌Rt△ADF, ∴AE=AF=5, ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC, =(AE+BE)+BC+(AF﹣CF) =5+6+5 =16.

18

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定,考查了垂直平分线的性质,考查了角平分线的性质, 本题中求证 RT△BDE≌RT△CDF 是解题的关键. 24.如图,在△ABC 中,D 是∠BAC 的平分线上一点,BD⊥AD 于 D,DE∥AC 交 AB 于 E,请说明 AE=BE.

【考点】平行线的性质;角平分线的定义;等腰三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据两直线平行,内错角相等求出∠ADE=∠CAD,根据 AD 是∠BAC 的平分线可以得到 ∠EAD=∠CAD , 所 以 ∠ADE=∠EAD , 根 据 等 角 对 等 边 的 性 质 得 AE=DE , 又 ∠ADE+∠BDE=90° , ∠EAD+∠ABD=90°,根据等角的余角相等的性质∠ABD=∠BDE,所以 BE=DE,因此 AE=BE. 【解答】证明:∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠CAD, ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠EAD=∠CAD, ∴∠ADE=∠EAD, ∴AE=DE, ∵BD⊥AD, ∴∠ADE+∠BDE=90°,∠EAD+∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠BDE, ∴BE=DE, ∴AE=BE. 【点评】本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,等角的余角相等的性质,熟练掌握性质是 解题的关键. 25.如图,点 O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=100°,∠BOC=α .以 OC 为一边作等边三角形 OCD,连 接 AC、AD. (1)当 α =150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由; (2)当△AOD 是等腰三角形时,求 α 的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的性质.

19

【分析】 (1)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO 的度数,由此即可判定△AOD 的形状; (2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解. 【解答】解: (1)∵△OCD 是等边三角形, ∴OC=CD, ∵△ABC 是等边三角形, ∴BC=AC, ∵∠ACB=∠OCD=60°, ∴∠BCO=∠ACD, 在△BOC 与△ADC 中,

, ∴△BOC≌△ADC, ∴∠BOC=∠ADC, ∵∠BOC=α =150°,∠ODC=60°, ∴∠ADO=150°﹣60°=90°, ∴△ADO 是直角三角形; (2)∵∠COB=∠CAD=α ,∠AOD=200°﹣α ,∠ADO=α ﹣60°,∠OAD=40°, ①要使 AO=AD,需∠AOD=∠ADO, ∴200°﹣α =α ﹣60°, ∴α =130°; ②要使 OA=OD,需∠OAD=∠ADO, ∴α ﹣60°=40°, ∴α =100°; ③要使 OD=AD,需∠OAD=∠AOD, ∴200°﹣α =40°, ∴α =160°. 所以当 α 为 130°、100°、160°时,△AOD 是等腰三角形. 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定,以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识, 根据旋转前后图形不变是解决问题的关键. 26.如图,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等? (2) 若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发, 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发, 都逆时针沿△ABC 三边运动,则经过 24 秒 后,点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的 AC 边上相遇?(在横线上直接写 出答案,不必书写解题过程)

20

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质. 【专题】计算题;动点型. 【分析】 (1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中 BP、CQ 和 BD、PC 边的长,根据 SAS 判定两 个三角形全等. ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点 P 运动 的时间,再求得点 Q 的运动速度; (2)根据题意结合图形分析发现:由于点 Q 的速度快,且在点 P 的前边,所以要想第一次相遇,则 应该比点 P 多走等腰三角形的两个边长. 【解答】解: (1)①全等,理由如下: ∵t=1 秒, ∴BP=CQ=1×1=1 厘米, ∵AB=6cm,点 D 为 AB 的中点, ∴BD=3cm. 又∵PC=BC﹣BP,BC=4cm, ∴PC=4﹣1=3cm, ∴PC=BD. 又∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴△BPD≌△CQP; ②假设△BPD≌△CQP, ∵vP≠vQ, ∴BP≠CQ, 又∵△BPD≌△CQP,∠B=∠C,则 BP=CP=2,BD=CQ=3, ∴点 P,点 Q 运动的时间 t= ∴vQ= = =1.5cm/s; =2 秒,

(2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇, 由题意,得 1.5x=x+2×6, 解得 x=24, ∴点 P 共运动了 24s×1cm/s=24cm. ∵24=2×12, ∴点 P、点 Q 在 AC 边上相遇, ∴经过 24 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AC 上相遇.

21

【点评】此题主要是运用了路程=速度×时间的公式.熟练运用全等三角形的判定和性质,能够分析 出追及相遇的问题中的路程关系. 27. 【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判 定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】 第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC≌△DEF. ( 1 ) 如 图 ① , 在 △ABC 和 △DEF , AC=DF , BC=EF , ∠B=∠E=90° , 根 据 HL , 可 以 知 道 Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC≌△DEF. (2) 如图②, 在△ABC 和△DEF, AC=DF, BC=EF, ∠B=∠E, 且∠B、 ∠E 都是钝角, 求证: △ABC≌△DEF. 第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等. (3)在△ABC 和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是锐角,请你用尺规在图③中作出 △DEF,使△DEF 和△ABC 不全等. (不写作法,保留作图痕迹) (4) ∠B 还要满足什么条件, 就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论: 在△ABC 和△DEF 中, AC=DF, BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是锐角,若 ∠B≥∠A ,则△ABC≌△DEF. 【考点】全等三角形的判定与性质;作图—应用与设计作图. 【专题】压轴题;探究型.

22

【分析】 (1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明; (2)过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于 G,过点 F 作 FH⊥DE 交 DE 的延长线于 H,根据等角的补角 相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等,根据全等三角形对应边相等可 得 CG=FH,再利用“HL”证明 Rt△ACG 和 Rt△DFH 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D, 然后利用“角角边”证明△ABC 和△DEF 全等; (3)以点 C 为圆心,以 AC 长为半径画弧,与 AB 相交于点 D,E 与 B 重合,F 与 C 重合,得到△DEF 与△ABC 不全等; (4)根据三种情况结论,∠B 不小于∠A 即可. 【解答】 (1)解:HL; (2)证明:如图,过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于 G,过点 F 作 FH⊥DE 交 DE 的延长线于 H, ∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF 都是钝角, ∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF, 即∠CBG=∠FEH, 在△CBG 和△FEH 中,

, ∴△CBG≌△FEH(AAS) , ∴CG=FH, 在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中,

, ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL) , ∴∠A=∠D, 在△ABC 和△DEF 中,

, ∴△ABC≌△DEF(AAS) ; (3)解:如图,△DEF 和△ABC 不全等;

(4)解:若∠B≥∠A,则△ABC≌△DEF.

23

故答案为: (1)HL; (4)∠B≥∠A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法 是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细.

24


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