当前位置:首页 >> 数学 >>

甘肃省天水一中2016届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016 学年甘肃省天水一中高三(上)第三次月考数学试卷 (文科) (辅导班)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩B=( A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) D. (1,4)
2 x



2.

=(

) C.1﹣2i D.﹣1﹣2i

A.1+2i B.﹣1+2i

3.已知向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A. B.2 C.3 D.4

,则| |=(



4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β D.若 m∥α,n?α,则 m∥n



5.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则“a>b”是“cos2A<cos2B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2



6.已知直线 l:x﹣ky﹣5=0 与圆 O:x +y =10 交于 A,B 两点且 A.2 B.±2 C.± D.

=0,则 k=(



7.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若 am,an 满足 ( ) A.2 B.4

=8a1,则 + 的最小值为

C.6

D.8

8.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

8,则 ab 的最大值为( A.1 B.2 C.3

) D.4

9. 在△ABC 中, AD 是 BC 边上的高, 给出下列结论: ① ③ A.0 ? =| B.1 |sinB.其中结论正确的个数是( C.2 D.3

? ( )



) =0; ②|

+

|≥2|

|;

10.已知函数

的最小正周期为 π,将 y=f(x) )

的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( A. B. C. D.

11.过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为( ) A. B. C. (2,+∞) D. (1,2)

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)=

且 f(x+2)

=f(x) ,g(x)=

,则方程 f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有实根之和为(



A.﹣8 B.﹣7 C.﹣6 D.0

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 .

14.若 M 是抛物线 y =4x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,直线 FM 的倾斜角 为 60°,则|FM|= . 15.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为

2

16.定义方程 f(x)=f'(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,如果函数 g(x)=x, h(x)=ln(x+1) ,φ(x)=cosx( β,γ 的大小关系是 . )的“新驻点”分别为 α,β,γ,那么 α,

三、解答题(共 70 分) 17.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C,所对的边,且满足 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a+c=5,且 a>c,b= ,求 的值. .

18.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (I)求 an 及 Sn; (II)求数列{ }的前 n 项和为 Tn.

19.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 D﹣ABC 的体积.

20.已知圆 C 的圆心 C 与点 A(2,1)关于直线 4x+2y﹣5=0 对称,圆 C 与直线 x+y+2=0 相切. (Ⅰ)设 Q 为圆 C 上的一个动点,若点 P(1,1) ,M(﹣2,﹣2) ,求 ? 的最小值;

(Ⅱ)过点 P(1,1)作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾 斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 21.已知点 A(1,0) ,点 P 是圆 C: (x+1) +y =8 上的任意一点,线段 PA 的垂直平分线 与直线 CP 交于点 E. (1)求点 E 的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径 的圆的内部,求实数 m 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣ a(x﹣1) (a∈R) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若不等式 f(x)<0 对任意 x∈(1,+∞)恒成立.
2 2

(ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)试比较 e
a﹣2

与a

e﹣2

的大小,并给出证明(e 为自然对数的底数,e=2.71828) .

2015-2016 学年甘肃省天水一中高三(上)第三次月考数 学试卷(文科) (辅导班)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 x 1.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) D. (1,4) 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交 集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 A=(﹣1,3) , 由 B 中 y=2 ,x∈[0,2],得到 1≤y≤4,即 B=[1,4], 则 A∩B=[1,3) , 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
x

2.

=(



A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:原式= = =﹣1﹣2i,

故选:D. 【点评】本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

3.已知向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A. B.2 C.3 D.4 【考点】平面向量数量积的运算;向量的模. 【专题】平面向量及应用. 【分析】将|2 ﹣ |=

,则| |=(



平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

【解答】解:因为向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 所以 4
2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) .

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选:C. 【点评】本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程 的思想. 4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( ) A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β D.若 m∥α,n?α,则 m∥n 【考点】平面与平面垂直的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β,可由面面平行的条件判断; B.m∥α,m∥n,则 n∥α,或 n?α; C.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β,可由面面垂直的判断定理作出判断; D.m∥α,n?α,则 m∥n 或 m,n 异面. 【解答】解:A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β;此命题错误,因为两个平面平行于同一条直线 不能保证两个平面平行,故不正确; B.m∥α,m∥n,则 n∥α,或 n?α,故不正确; C.若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β;此命题正确,因为 m∥β,则一定存在直线 n 在 β,使得 m ∥n,又 m⊥α 可得出 n⊥α,由面面垂直的判定定理知,α⊥β,正确; D.m∥α,n?α,则 m∥n 或 m,n 异面,故不正确. 故选:C. 【点评】 本题考查平面与平面之间的位置关系, 空间中两个平面的位置关系主要有相交与平 行, 相交中比较重要的位置关系是两面垂直, 本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力, 是立体几何中的基本. 5.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则“a>b”是“cos2A<cos2B”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】在三角形中,结合正弦定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
2 2



【解答】解:在三角形中,cos2A<cos2B 等价为 1﹣2sin A<1﹣2sin B,即 sinA>sinB. 若 a>b,由正弦定理 若 sinA>sinB,则正弦定理 ,得 sinA>sinB.充分性成立. ,得 a>b,必要性成立.

所以,“a>b”是“sinA>sinB”的充要条件. 即 a>b 是 cos2A<cos2B 成立的充要条件, 故选 C. 【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用,利用正弦定理确定边角关系,注意三 角形中大边对大角的关系的应用.
2 2

6.已知直线 l:x﹣ky﹣5=0 与圆 O:x +y =10 交于 A,B 两点且 A.2 B.±2 C.± D.

=0,则 k=(



【考点】平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°,故弦心距等于半径的 直线的距离公式求得 k 的值. 【解答】解:由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°, 故弦心距等于半径的 故有 = 倍,等于 ,求得 k=±2, = , 倍,再利用点到

故选:B. 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,弦长公式、点到直线的距离公式的应用,属于 基础题.

7.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若 am,an 满足 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

=8a1,则 + 的最小值为

【分析】由等比数列的性质易得 m+n=8,可得 + = ( + ) (m+n)= (10+ + 基本不等式求最值可得. 【解答】解:∵正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5, 2 2 ∴q a5=qa5+2a5,即 q ﹣q﹣2=0, 解得公比 q=2,或 q=﹣1(舍去) 又∵am,an 满足
2

) ,由

=8a1,
m+n﹣2 2 2

∴aman=64a1 ,∴q a1 =64a1 , m+n﹣2 ∴q =64,∴m+n﹣2=6,即 m+n=8, ∴ + = ( + ) (m+n)= (10+ + ≥ (10+2 当且仅当 = )=2 即 m=2 且 n=6 时取等号, )

故选:A. 【点评】本题考查基本不等式求最值,涉及等比数列的通项公式,属基础题.

8.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

8,则 ab 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用. 【分析】由题意作出其平面区域,求出目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8 时的 最优解,利用基本不等式求解. 【解答】解:由题意作出其平面区域,

则由目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 8, a+4b=8, 则由 2 ≤ =4 得,

ab≤4, (当且仅当 a=4,b=1 时,等号成立) . 故选 D. 【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

9. 在△ABC 中, AD 是 BC 边上的高, 给出下列结论: ① ③ ? =| |sinB.其中结论正确的个数是(

? ( )



) =0; ②|

+

|≥2|

|;

A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】①利用向量垂直与数量积的关系即可判断出; ②利用向量的平行四边形法则、中线长和高的关系即可得出; ③利用数量积的定义、直角三角形的边角关系即可得出. 【解答】解:①∵AD 是 BC 边上的高, ∴ ?( ﹣ )= =0,因此正确;

②取线段 BC 的中点 M,则 ∴ =2 = ≥

, ,因此正确; = =





.因此正确.

综上可知:①②③正确. 故选:D.

【点评】 本题考查了向量垂直与数量积的关系、 向量的平行四边形法则、 中线长和高的关系、 数量积的定义、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力,属于 中档题.

10.已知函数

的最小正周期为 π,将 y=f(x) )

的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( A. B. C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】先根据函数 ω 的值,再由平移后得到 y= 为偶函数可知 ,即可确定答案. 【解答】解:由已知,周期为 , 的最小正周期为 π 求出

则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数, , 故选 D 【点评】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用. 11.过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为( ) A. B. C. (2,+∞) D. (1,2)

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线方程为 ﹣ =1,作出图形如图,由左顶点 M 在以 AB 为直径的圆的

内部,得|MF|<|AF|,将其转化为关于 a、b、c 的式子,再结合平方关系和离心率的公式, 2 化简整理得 e ﹣e﹣2>0,解之即可得到此双曲线的离心率 e 的取值范围. 【解答】解:设双曲线方程为 ﹣ =1,a>b>0

则直线 AB 方程为:x=c,其中 c= 因此,设 A(c,y0) ,B(c,﹣y0) , ∴ ﹣ =1,解之得 y0= ,得|AF|= ,

∵双曲线的左焦点 M(﹣a,0)在以 AB 为直径的圆内部 ∴|MF|<|AF|,即 a+c<
2 2 2


2 2

将 b =c ﹣a ,并化简整理,得 2a +ac﹣c <0 2 2 两边都除以 a ,整理得 e ﹣e﹣2>0,解之得 e>2(舍负) 故选:C

【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆,当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率,着重 考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)=

且 f(x+2)

=f(x) ,g(x)=

,则方程 f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有实根之和为(



A.﹣8 B.﹣7 C.﹣6 D.0 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】化简 g(x)的表达式,得到 g(x)的图象关于点(﹣2,1)对称,由 f(x)的周 期性,画出 f(x) ,g(x)的图象,通过图象观察[﹣5,1]上的交点的横坐标的特点,求出 它们的和

【解答】解:由题意知 g(x)=

=2+

,函数 f(x)的周期为 2,

则函数 f(x) ,g(x)在区间[﹣5,1]上的图象如右图所示: 由图形可知函数 f(x) ,g(x)在区间[﹣5,1]上的交点为 A,B,C,易知点 B 的横坐标为 ﹣3,若设 C 的横坐标为 t (0<t<1) ,则点 A 的横坐标为﹣4﹣t,所以方程 f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有 实数根之和为﹣3+(﹣4﹣t)+t=﹣7. 故选:B.

【点评】本题考查分段函数的图象和运用,考查函数的周期性、对称性和应用,同时考查数 形结合的能力,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 (1,1+e) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令分母不为 0,被开方数大于等于 0,真数大于 0,得到不等式组,求出 x 的范围 写出区间形式. 【解答】解:要使函数有意义,需满足 ,即

解得 1<x<1+e 故答案为: (1,1+e) . 【点评】本题主要考查函数定义域的求法,同时考查对数的性质,属于基础题. 14.若 M 是抛物线 y =4x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,直线 FM 的倾斜角 为 60°,则|FM|= 4 . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,由直线倾斜角求出斜率,写出直线方程,和 抛物线方程联立求得 M 的坐标,再由抛物线焦半径公式得答案. 【解答】解:如图,
2

由抛物线 y =4x,得 F(1,0) , ∵直线 FM 的倾斜角为 60°,∴ 则直线 FM 的方程为 y= 联立
2

2

, , (舍)或 x2=3.

,即 3x ﹣10x+3=0,解得

∴|FM|=3+1=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数学转化思想方法,是中档题. 15.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;方程思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】几何体为圆柱挖去一个圆锥,根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为 4,高都 为 2,把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案. 【解答】解:由三视图知:几何体为圆柱挖去一个圆锥,且圆锥与圆柱的底面直径都为 4, 高为 2, ∴几何体的体积 V1=π×2 ×2﹣ ×π×2 ×2= 故答案为: .
2 2



【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状.

16.定义方程 f(x)=f'(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,如果函数 g(x)=x, h(x)=ln(x+1) ,φ(x)=cosx( )的“新驻点”分别为 α,β,γ,那么 α,

β,γ 的大小关系是 γ>α>β . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】新定义. 【分析】分别对 g(x) ,h(x) ,φ(x)求导,令 g′(x)=g(x) ,h′(x)=h(x) ,φ′(x) =φ(x) ,则它们的根分别为 α,β,γ,即 α=1,ln(β+1)= 论 β、γ 的取值范围即可. 【解答】解:∵g′(x)=1,h′(x)= 由题意得: α=1,ln(β+1)= ①∵ln(β+1)=
β+1

,γ ﹣1=3γ ,然后分别讨

3

2

,φ′(x)=﹣sinx,

,cosγ=﹣sinγ, ,

∴(β+1) =e, 当 β≥1 时,β+1≥2, ∴β+1≤ <2, ∴β<1,这与 β≥1 矛盾, ∴0<β<1; ②∵cosγ=﹣sinγ, ∴γ>1. ∴γ>α>β. 故答案为:γ>α>β. 【点评】函数、导数、不等式密不可分,此题就是一个典型的代表,其中对对数方程和三次 方程根的范围的讨论是一个难点. 三、解答题(共 70 分) 17.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C,所对的边,且满足 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a+c=5,且 a>c,b= ,求 的值. .

【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinA 不为 0,可得出 sinB 的值,由 B 为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)由 b 及 cosB 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系式,利用完全平方公式变形 后,将 a+c 的值代入,求出 ac 的值,将 a+c=5 与 ac=6 联立,并根据 a 大于 c,求出 a 与 c 的值,再由 a,b 及 c 的值,利用余弦定理求出 cosA 的值,然后将所求的式子利用平面向量 的数量积运算法则化简后,将 b,c 及 cosA 的值代入即可求出值. 【解答】解: (Ⅰ)∵ a﹣2bsinA=0,



sinA﹣2sinBsinA=0,…(2 分) ,…(3 分) ;…(5 分) ,又 b=
2 2

∵sinA≠0,∴sinB= 又 B 为锐角,则 B=

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 B=
2

, ,…(7 分)

根据余弦定理,得 b =7=a +c ﹣2accos 整理得: (a+c) ﹣3ac=7, ∵a+c=5,∴ac=6, 又 a>c,可得 a=3,c=2,…(9 分) ∴cosA= = =
2

,…(11 分)



=|

|?|

|cosA=cbcosA=2×

×

=1.…(13 分)

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算法则,完全平方公式的运用, 以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 18.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (I)求 an 及 Sn; (II)求数列{ }的前 n 项和为 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式即可得 出. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,Sn=n +2n,可得 Sn= 得出. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,
2

=

,利用“裂项求和”即可

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn= =n +2n.
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,Sn=n +2n, ∴Sn= ∴Tn= = , +…+

= = ﹣ .



【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 19.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 D﹣ABC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)解法一:由题中数量关系和勾股定理,得出 AC⊥BC,再证 BC 垂直与平面 ACD 中的一条直线即可,△ADC 是等腰 Rt△,底边上的中线 OD 垂直底边,由面面垂直的 性质得 OD⊥平面 ABC,所以 OD⊥BC,从而证得 BC⊥平面 ACD; 解法二:证得 AC⊥BC 后,由面面垂直,得线面垂直,即证. (Ⅱ) ,由高和底面积,求得三棱锥 B﹣ACD 的体积即是几何体 D﹣ABC 的体积. 【解答】解: (Ⅰ) 【解法一】 :在图 1 中,由题意知, ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC 取 AC 中点 O,连接 DO,则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC, 且平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO?平面 ACD,从而 OD⊥平面 ABC, ∴OD⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩OD=O, ∴BC⊥平面 ACD 【解法二】 :在图 1 中,由题意,得 ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC ∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC?面 ABC,∴BC⊥平面 ACD (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC 为三棱锥 B﹣ACD 的高,且 所以三棱锥 B﹣ACD 的体积为: 由等积性知几何体 D﹣ABC 的体积为: . ,S△ACD= ×2×2=2, ,
2 2 2 2 2 2

【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形,考查空间中的垂直关系,重点是“线线垂直, 线面垂直,面面垂直”的转化;等积法求体积,也是常用的数学方法. 20.已知圆 C 的圆心 C 与点 A(2,1)关于直线 4x+2y﹣5=0 对称,圆 C 与直线 x+y+2=0 相切. (Ⅰ)设 Q 为圆 C 上的一个动点,若点 P(1,1) ,M(﹣2,﹣2) ,求 ? 的最小值;

(Ⅱ)过点 P(1,1)作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾 斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 【考点】直线和圆的方程的应用;直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)根据点与直线的对称性求出圆心,利用数量积的坐标公式即可求 小值; (Ⅱ)利用直线和圆的方程联立,结合直线的斜率公式即可得到结论. 【解答】解:Ⅰ)设圆心 C(a,b) ,则 A,C 的中点坐标为( ∵圆心 C 与点 A(2,1)关于直线 4x+y﹣5=0, ) , ? 的最





解得

, ,

∴圆心 C(0,0)到直线 x+y+2=0 的距离 r= ∴圆 C 的方程为 x +y =2. 2 2 设 Q(x,y) ,则 x +y =2, ?
2 2

=(x﹣1,y﹣1)?(x+2,y+2)=x +y +x+y﹣4=x+y﹣2,

2

2

作直线 l:x+y=0,向下平移此直线,当与圆相切时,x+y 取得最小值, 此时切点坐标为(﹣1,﹣1) , ∴ ? 的最小值﹣4.

(Ⅱ)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA:y﹣1=k(x﹣1) , PB:y﹣1=﹣k(x﹣1) ,由 得(1+k )x +2k(1﹣k)x+(1﹣k) ﹣2=0. 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解, 故可得 ,
2 2 2



同理





=

=kOP

∴直线 AB 和 OP 一定平行. 【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用, 结合直线的对称性和直线的斜率公式是 解决本题的关键. 21.已知点 A(1,0) ,点 P 是圆 C: (x+1) +y =8 上的任意一点,线段 PA 的垂直平分线 与直线 CP 交于点 E. (1)求点 E 的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径 的圆的内部,求实数 m 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用已知条件推出轨迹方程为椭圆,即可轨迹方程. (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则将直线与椭圆的方程联立,消去 y,利用判别式以及 韦达定理,通过数量积小于 0,求出 m、k 的关系式,求出结果即可. 【解答】解: (1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=2 ,∴|CE|+|EA|=2 >2=|CA|, ∴E 的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为: (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则将直线与椭圆的方程联立得: 消去 y,得: (2k +1)x +4kmx+2m ﹣2=0,△>0,m <2k +1…① x1+x2= ,x1x2= …(6 分)
2 2 2 2 2 2 2

…(4 分) ,

因为 O 在以 PQ 为直径的圆的内部,故

,即 x1x2+y1y2<0 …(7 分)

而 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=



由 x1x2+y1y2=

…(9 分)

得:

,∴

,且满足①式 M 的取值范围是

.…(12 分)

【点评】本题考查轨迹方程的求法,椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆位置关系的综合应 用,考查分析问题解决问题的能力.

22.已知函数 f(x)=lnx﹣ a(x﹣1) (a∈R) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若不等式 f(x)<0 对任意 x∈(1,+∞)恒成立. (ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)试比较 e 与 a 的大小,并给出证明(e 为自然对数的底数,e=2.71828) . 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)一求切点,二求切点处的导数,即切线的斜率; (2)只需求出函数 f(x)在区间[1,+∞)上的最大值即可,利用导数研究单调性,进一步 求其最值构造不等式求解;比较大小可将两个值看成函数值,然后利用函数的性质求解. 【解答】解: (Ⅰ) 因为 a=﹣2 时,f(x)=inx+x﹣1, .
a﹣2 e﹣2

所以切点为(1,0) ,k=f′(1)=2. 所以 a=﹣2 时,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x﹣2. ( II) ( i)由 f(x)=lnx﹣ a(x﹣1) , 所以 ,

①当 a≤0 时,x∈(1,+∞) ,f′(x)>0, ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)>f(1)=0, ∴a≤0 不合题意. ②当 a≥2 即 时, 在(1,+∞)上恒成立,

∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,有 f(x)<f(1)=0, ∴a≥2 满足题意. ③若 0<a<2 即 ∴f(x)在 ∴ 时,由 f′(x)>0,可得 上单调递增,在 , ,由 f′(x)<0,可得 x 上单调递减, ,

∴0<a<2 不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是[2,+∞) . ( ii)a≥2 时,“比较 e 与 a 的大小”等价于“比较 a﹣2 与(e﹣2lna)的大小” 设 g(x)=x﹣2﹣(e﹣2)lnx, (x≥2) . 则 .
a﹣2 e﹣2

∴g(x)在[2,+∞)上单调递增,因为 g(e)=0. 当 x∈[2,e)时,g(x)<0,即 x﹣2<(e﹣2)lnx,所以 e <x . x﹣2 e﹣2 当 x∈(e,+∞)时 g(x)>0,即 x﹣2>(e﹣2)lnx,∴e >x . a﹣2 e﹣2 综上所述,当 a∈[2,e)时,e <a ; a﹣2 e﹣2 当 a=e 时,e =a ;
x﹣2 e﹣2

当 a∈(e,+∞)时,e >a . 【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想.

a﹣2

e﹣2


相关文章:
甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考语文试...
高三,月考,试题。免费高三,月考,试题。免费隐藏>> 天水市一中 2008 级 2010-2011 学年度第一学期第三次阶段考试题 语文 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第...
甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考英语试...
甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考英语试题 - taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 2008 2010 2011 学年度第一学期第三阶段 10— 三阶段考试 天水...
更多相关标签: