重庆市大学城第一中学校2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题及精品解析

重庆大一中 18-19 学年下期高 2021 届第一次月考

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.)

1.已知 是第二象限角,

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

cosα=±

=± ,又∵α 是第二象限角,∴cosα=- .

2.已知△ABC 中,a= ,b= ,B=60°,那么角 A 等于( )

A. 135°

B. 90°

C. 45°

D. 30°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理可求出 ,再根据三角形中大边对大角即可知 A 为锐角,由正弦函数值可求出 A.

【详解】由正弦定理可知:

,所以



又因为 ,所以 ,所以

.

【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理的应用,及三角形中大边对大角的性质,属于中档题.

3.向量

﹒化简后等于( )

A.

B. 0

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算,化简即可求解.

【详解】

, 故选 D. 【点睛】本题主要考查了向量的加法运算,注意首尾相接的向量相加等于第一个向量的始点指向最后一个

向量的终点,属于中档题.

4.在 中,若

,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理可知

,即可求出角 B.

【详解】由正弦定理可知

,又因为

,所以



所以

,即

,又

,

所以 , 故选 B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理,及三角函数的基本关系,属于中档题.

5.已知向量

则 ABC=

A. 300

B. 450

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量 与 的夹角公式,即可求出 ABC.

C. 600

D. 1200

【详解】根据向量夹角公式知,





,所以

,故选 A.

【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式,向量的数量积运算,属于中档题.

6.已知向量

,且

,则 m=( )

A. -8

B. -6

C. 6

D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算及向量垂直的条件可知

,即可解出 m.

【详解】因为

,

,且

所以



解得 ,故选 D.

【点睛】本题主要考查了向量加法的坐标运算,向量垂直的坐标运算,属于中档题.

7.在

中,





,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先由三角形内角和定理求得

,再根据正弦定理求出 .

【详解】在 中,







由正弦定理得







故选 A.

【点睛】解三角形时注意三角形中的隐含条件,如三角形的内角和定理,三角形中的边角关系等,解题时

要灵活应用.同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件,选择运用正弦定理还是余弦定理求解.

8.不解三角形,下列判断中正确的是( )

A.

有两解

B.

无解

C.

有两解

D.

有一解

【答案】D

【解析】

本题考查解三角形。观察每个选项,都给了 SSA 的形式。可以根据正弦定理,解出一角,再判断选项是否

正确。

A 中,

,.此时只能有一个解,A 错误。

B 中,

所以,当 为锐角时,三角形有解,B 错误。

C 中,

所以三角形无解,C 错误。

D 中,

。当 为锐角时,

,为一个解。当 为钝角时,不能与 A 构

成三角形,此时三角形无解。所以三角形有一个解。D 正确。 解决本题时也可以画出图形求解。 9.下面给出的关系式中,正确的个数是( )

(1)0·=0 (2) ·= · (3)

(4)

(5)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的相关概念性质逐项分析即可.

【详解】(1)因为数与向量相乘为向量,所以 0·=0 错误 (2)向量的数量积运算满足交换律, 所以 ·= ·

正确(3)根据数量积的定义知

,所以

,正确(4)根据数量积的定义知,数量

积为一实数,所以

为 ,而

为 ,所以

错误 (5)因为



,所以

错误.故选 C.

【点睛】本题主要考查了向量的相关概念,向量的线性运算,数量积的定义及运算,属于中档题.

10.若

,则( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行垂直的条件进行判断.

【详解】因为 因为 所以 B 错误;

不恒等于 0,所以 A 错误;

不恒等于 0,





因为



所以



因为

不恒等于 0,所以 D 错误.

故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量平行与向量垂直的判定,属于中档题.

11.在

中,若

,则

是( )

A. 等腰三角形 【答案】A 【解析】

B. 直角三角形

C. 等边三角形

D. 等腰直角三角形





,则

是 的内角,所以

,即 ,则
,则

,即

,所以

,即

,又

,所以 是等腰三角形。故选 A。

12.在 ,内角 所对的边长分别为

则 ()

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理,可将条件统一为三角函数,再根据两角和的正弦公式即可求解.

【详解】由正弦定理可得:

因为



所以

所以





又因为 , 所以 ,故 B 为锐角, 解得 , 选 A. 【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理的应用,及两角和正弦公式,属于中档题.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.在 中,若



【答案】



,则 的面积 是________.

【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式 【详解】由三角形的面积公式可知

即可求解.

故填 . 【点睛】本题主要考查了三角形中面积公式的应用,属于中档题.

14.若向量 , 满足



且 与 的夹角为 ,则

________

【答案】 【解析】





且 与 的夹角为 ,∴





,故答案为 .

【此处有视频,请去附件查看】

15.已知向量 =(2,-1), =(x,-2), =(3,y),若 ∥ ,( + )⊥( - ),M(x,y),N(y,x),则向量

的模为____

【答案】

【解析】

【分析】

根据 ∥ 向量平行的条件可解出 ,根据( + )⊥( - )

求出 y,由向量模的定义计算即可.

【详解】因为 ∥

所以

,解得

因为 +

,-

,( + )⊥( - )

所以

解得

所以



故填 . 【点睛】本题主要考查了向量平行,向量垂直的条件,及向量的坐标运算,向量的模,属于中档题.

16.在

中,角

的对边分别是

,若

成等差数列,



的面积为 ,则

. 【答案】 【解析】

试题分析:由题

,整理得

,解得

,所以

.

考点:1、等差中项;2、余弦定理;3、三角形面积公式.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)

17.已知向量

其中

.

求:(1)

(2) 与 夹角的余弦值.

【答案】(1) (2)

【解析】 【分析】 (1)根据向量的坐标运算可知



,由向量加法知

量夹角的公式

计算即可.

【详解】(1)

,

即可求出模;(2)根据向

(2)设向量 夹角为

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量的夹角公式,属于中档题.

18.已知向量

,

(1)当 时,求

的值;

(2)求 f(x)= 的最小正周期及最值。

【答案】(1)0(2)最大值为 ,最小值为 周期为

【解析】 【分析】 (1)由 ,可知

,代入

计算即可.

(2)由向量数量积计算可知

,根据正弦型函数周期及最值即可求解.

【详解】(1) ,所以 sinx=cosx,

=

.

(2) f(x)= =sinxcosx+1=

最小正周期

,最小值为

,最大值为

.

【点睛】本题主要考查了向量平行的条件,向量数量积的坐标运算,正弦型三角函数的周期及最值,属于 中档题.

19.在△ABC 中,角 所对的边分别为 ,已知 = .

(1)求 的值;

(2)当

时,求 的长.

【答案】(1) ;(2)



.

【解析】 试题分析:(1)利用二倍角公式得 (2) 由正弦定理,求出 ,由二倍角公式求出

,据此求出 ,即可. ,再利用余弦定理,解出 ,即可.

试题解析:(1)∵cos2C=1-2sin2C=- ,0<C<π,

∴sinC= . (2)当 a=2,2sinA=sinC 时, 由正弦定理 = ,得 c=4.

由 cos2C=2cos2C-1=- 及 0<C<π,

得 cosC=± . 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC, 得 b2± b-12=0(b>0),

解得 b= 或 b=2 .





.

20.在

中,设内角

(1)求角 的大小;

(2)若

,且

的对边分别是

,求

的面积。

【答案】(1) ;(2)16.

【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 先 计 算

的坐标,由

,则

,然后根据

,

,

,且

得关于

的方程,再利用辅助角公式化为

,得 范围,从而求 值,进而确定 ;(2)在

中, , 确定,另外两边 的关系确定,所以利用余弦定理列方程求 ,再利用

试题解析:(1)

又因为

,故

,∴

求面积. ;

(2)由余弦定理得

,即

,解得

,∴ ,∴

.

考点:1、向量的模;2、向量运算的坐标表示;3、余弦定理.

21.在 中,角 的对边分别为 ,且

.

(1)求 (2)若

的值; , ,求向量 在 方向上的投影.

【答案】(1) (2) cosB=

【解析】 试题分析:(1)观察已知式,应用三角形的性质知 的余弦公式形式,从而求得 ,再同角关系式得 积.

,这样

,条件就变为两角和

;(2)只要用余弦定理求得边 ,就可得三角形的面

试题解析:(1)由 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)= ,

得 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB= .

则 cos(A-B+B)= ,即 cosA= ,

又 0<A<π,则 sinA= .

(2)根据余弦定理,有

, 解得 c=1 或 c=-7(负值舍去).



考点:两角和的余弦公式,余弦定理,三角形的面积.

22.在海岸 A 处,发现北偏东 方向,距离 A 为

n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 方

向,距离 A 为 2 n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 n mile / h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10 n

mile / h 的速度从 B 处向北偏东 方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需

时间。(本题解题过程中请不要使用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)

【答案】缉私艇沿北偏东 60°方向行驶才能最快追上走私船,这需 小时

【解析】

【分析】

根据题意,设缉私艇追上走私船需 t 小时,在三角形 ABC 中,由余弦定理可解 BC,由正弦定理求∠ABC=45°,

在△BCD 中,由正弦定理得∠BCD=30°,所以∠BDC=30°,从而

,即

,求解即可.

【详解】设缉私艇追上走私船需 t 小时,

则 BD=10 t n mile CD= t n mile

∵∠BAC=45°+75°=120°

∴在△ABC 中,由余弦定理得



由正弦定理得

∴ ∠ABC=45°, ∴BC 为东西走向 ∴∠CBD=120°
在△BCD 中,由正弦定理得

∴ ∠BCD=30°,∴ ∠BDC=30° ∴ 即



(小时)

答:缉私艇沿北偏东 60°方向行驶才能最快追上走私船,这需 小时. 【点睛】本题主要考查了实际问题中正弦定理余弦定理的应用,涉及方位角的理解,处理问题时应该将条 件尽量集中于一个三角形,属于中档题.


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