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3.1.1两角和与差的余弦公式学案


3.1.1 两角差的余弦公式
郸城一高 杨祖峰 探究一: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0
0 0 0

, cos 30

, cos15

(2) cos(45 ? 30 ) = cos 45 ? cos 30 是否成立? 探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 α 、 β 、 α ? β 的终边。 ②怎样作出角 α ? β 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。 2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。 例题整理 例1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

π
2

? α ) = sin α ;

(2) cos(2π ? α ) = cos α

例2.已知sinα=

4 π 5 ,α ∈ ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(α ? β)的值 5 2 13

变式训练:已知 sin θ =

15 π ,θ 是第二象限角,求 cos θ ? )的值 。 ( 17 3

一、反思总结 本节主要考察如何用任意角 α,β 的正弦余弦值来表示 cos(α ? β ) ,回顾公 式

C α ? β) 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 α , β (
用心 爱心 专心 1

的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).在求值的过程 中,还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 二、当堂检测 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 75 , cos105 2.求值
0 0

cos 750 cos 30 0 + sin 75 0 sin 30 0
+ β ) cos β + sin(α + β ) sin β

3.化简 cos(α

1 5 4.已知α,β 为锐角, α = , (α + β) cos sin = 3 ,求cosβ 7 14
课后练习与提高 一、选择题 1. cos 50 cos 20 + sin 50 sin 20 的值为
0 0 0 0





A.

1 2

B.

1 3

C.

3 2


D.

3 3

2. cos( ?150 ) 的值为



A.

2? 6 B. 4

6? 2 C. 4

6+ 2 6+ 2 D ? . 4 4


3.已知 cos α =

π 12 ? π? , α ∈ ? 0, ? ,则 cos(α ? ) 的值等于( 4 13 ? 2?
17 2 C. 26 7 2 26
D.

A.

5 2 13

B.

7 2 13

二、填空题 4.化简 cos(α + 300 ) cos α + sin(α + 300 ) sin α = 5.若 a = (cos 60 , sin 60 ), b = (cos 15 , sin 15 ), a ? b =
0 0 0 0

三、解答题、 6.已知 sin α = ?

2 ? 3π ,α ∈ ? π , 3 2 ?

3 π ? 求 ? ,cos β = , β ∈ (0, ) , cos(α ? β ) 的 4 2 ?
2

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值. 课后练习答案 1.C 2.C 3.B 4.

3 2

5.

2 2

6.解:由 sin α = ?

2 ? 3π ,α ∈ ? π , 3 2 ?

5 ? ; ? ,得 cos α = ? 3 ?

又由 cos β =

3 π 7 , β ∈ (0, ) ,得 sin β = ; 4 2 4
3 5+2 7 12

因此, cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = ?

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3


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