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二次函数中根的分布问题


一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; ? ? f ? n? ? 0

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

例 1、已知二次方程 ? 2m ? 1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。 例 2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数

m 的取值范围。
例 4、已知二次方程 mx2 ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 作业:1.方程 x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的两根均大于 2,求实数 m 的范围。
2 2.方程 x ? 2 px ? 1 ? 0 的两实数一根小于 1,另一根大于 1,求实数 p 的范围。

3.方程 4 x ? (a ? 5) x ? 1 ? 0 的两实根都在(0, 1)内,求实数 a 的范围。
2 2 2 1? ? ? 2。 4.p 为什么数时, 关于 x 的方程 7 x ? ( p ? 13) x ? p ? p ? 2 ? 0 的两根 ? 、? 分别满足 0 ? ? ? 1 ,

5.已知方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有且一根,求实数 m 的取值范围
2


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