当前位置:首页 >> 数学 >>

二次函数中根的分布问题


一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; ? ? f ? n? ? 0

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

例 1、已知二次方程 ? 2m ? 1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。 例 2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数

m 的取值范围。
例 4、已知二次方程 mx2 ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 作业:1.方程 x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的两根均大于 2,求实数 m 的范围。
2 2.方程 x ? 2 px ? 1 ? 0 的两实数一根小于 1,另一根大于 1,求实数 p 的范围。

3.方程 4 x ? (a ? 5) x ? 1 ? 0 的两实根都在(0, 1)内,求实数 a 的范围。
2 2 2 1? ? ? 2。 4.p 为什么数时, 关于 x 的方程 7 x ? ( p ? 13) x ? p ? p ? 2 ? 0 的两根 ? 、? 分别满足 0 ? ? ? 1 ,

5.已知方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有且一根,求实数 m 的取值范围
2


相关文章:
二次函数根的分布专题
二次函数根的分布专题 - 一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布二次函数中的重要内容。 这部分知识在初中代数中虽有所涉及, 但尚不够系统和完整,...
二次函数根的分布和最值
二次函数根的分布和最值 - 二次方程根的分布二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况 2 设方程 ax ? bx ?...
必修一、1.1 6二次函数根的分布问题(选学)_图文
必修一、1.1 6二次函数根的分布问题(选学) - 这是一部系统全面的高中数学教案; 这是一部全是题型的高中数学教案; 这是一部好学易懂的高中数学教案, 它让...
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版) - 二次方程根的分布二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况 2 设...
二次函数根的分布答案
二次函数根的分布答案 - 例 1、已知二次方程 ? 2m ? 1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 取值范围。 解:由 ? 2m ?...
高中二次函数根的分布教案及练习
高中二次函数根的分布教案及练习 - 一元二次方程根的分布问题 设一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的两根为 x1,x2,且 x1 ? x2, k、p、m、n 为常数...
二次函数根的分布专项练习
二次函数根的分布专项练习 - “二次函数根的分布”专项练习, 1.已知方程 x 2 ? [? 9 5 , ] 16 2 3 x = k 在[?1, ]上有实数根,求实数 k ...
二次函数及根的分布-
二次函数及根的分布- - 二次函数 教学目标: 1.掌握二次函数的图像及性质 2.能够求出二次函数在某个区间上的最值 3.能够利用二次函数研究一元二次方程的实...
高中数学 二次函数方程根的分布
高中数学 二次函数方程根的分布 - 课 题 二次函数方程根的分布 1.二次函数的解析式的三种形式:一般式,顶点式,两根式. 2.二次函数的图象及性质; 3.二次...
二次函数根的分布
二次函数根的分布 - 设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ?...
更多相关标签: