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2013届高考数学二轮复习讲案:参数方程和极坐标方程


2013 届高考数学二轮复习讲案:参数方程和极坐标方程 【三年真题重温】
1.【2011 新课标全国理,23】选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 .
(Ⅰ)当求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点

2.【2010 新课标全国理,23】选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

? x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

?
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线。

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【2012 新课标全国理,23】坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ? y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

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【命题意图猜想】
2011 年高考考查了参数方程和极坐标的题目,可化为普通方程求解,涉及到直线和圆的参 数方程;2010 年高考主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参 数方程研究轨迹问题的能力.2012 年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化,以椭 圆的参数方程为背景,意在考查考生利用坐标之间的转化求解。预测 2013 年高考对直线与 圆的参数方程的考查还会继续加强.

【最新考纲解读】
1.坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. (2)通过具体例子,了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. (4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通 过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程, 体会在用方程刻画平面图形时选择 适当坐标系的意义. (5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系 中刻画空间中点的位置的方法, 并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较, 体会它 们的区别. 2.参数方程 (1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物线运动轨迹的参数方程,体 会参数的意义. (2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择恰当的参数写出它们的参数方程. (3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.

【回归课本整合】
1.极坐标和直角坐标的互化公式
? ?x=ρcosθ 若点 M 的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y),则? ?y=ρsinθ ?

ρ =x +y ? ? ? .求曲线的极坐 y tanθ= ,x≠0 ? x ?

2

2

2

标方程 f(ρ,θ)=0 的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同.特别注意的是求极坐标方 程时,常常要解一个三角形. (4)极坐标方程 ρ=ρ(θ)表示的平面图形的对称性: 若 ρ(-θ)=ρ(θ),则图形关于极轴对称;
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π 若 ρ(π-θ)=ρ(θ),则图形关于射线 θ= 对称; 2 若 ρ(π+θ)=ρ(θ),则图形关于极点对称. 2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ①圆心在极轴上点 C(a,0),过极点的圆方程 ρ=2acosθ. ②圆心在极点、半径为 r 的圆的极坐标方程 ρ=r. π? ③圆心在? ?a,2?处且过极点的圆方程为 ρ=2asinθ(0≤θ≤π). ④过极点倾角为 α 的直线的极坐标方程为: θ=α 或 θ=π+α. ⑤过 A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线 ρcosθ=a. π a, ?(a>0)与极轴平行的直线 ρsinθ=a. ⑥过 A? ? 2? 3.参数方程的概念
? ?x=f(t) 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数? (*), ?y=g(t) ?

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,而这条曲线 上任一点 M(x,y)都可以通过(*)式得到,则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数 t 叫 做参数这时,参数 t 的几何意义是:以直线 l 上点 M(x0,y0)为起点,任意一点 N(x,y)为终 点的有向线段的数量为 MN 且|t|=|MN|. 4.圆的参数方程
? ?x=rcosθ (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数); ? ?y=rsinθ ? ?x=a+rcosθ (2)圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数). ?y=b+rsinθ ?

5.参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程:消去参数.常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等 式(三角的或代数的)消去法. (2)化普通方程为参数方程:引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x=f(t)〔或 y =φ(t)〕 ,再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=φ(t)〔或 x=f(t)〕 .

【方法技巧提炼】
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与 x 轴正向重合;③取 相同的单位长度. (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x=ρcosθ 及 y=ρsinθ 直接代入并 化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造 形如 ρcosθ,ρsinθ,ρ2 的形式,进行整体代换.

2.求曲线的极坐标方程
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求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2) 由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;(3)将 列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

3.参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代 入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注 意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价, 即它们二者要表示同一曲线.

4.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; (3)设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的 t1+t2 参数值 tM= 2 (由此可求|M1M2|及中点坐标).

5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、 圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时, 要注意普通方程与参数方程的互化公式, 主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.

【考场经验分享】
1.在极坐标系中,如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R;点的极坐标不惟一,若规定 ρ≥0,0≤θ<2π, 则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外); 曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程,但曲线上一点 P 的无数个极坐标中必 有一个适合曲线的极坐标方程. 2.极坐标方程 θ=θ1 表示一条射线并非直线,只有当允许 ρ<0 时,θ=θ1 才表示一条直线. ? ?x=x0+at 3.只有在 a2+b2=1 时,直线? (t 为参数)中的参数 t 才表示由 M(x0,y0)指向 N(x, ?y=y0+bt ? y)的有向线段的数量,而在 a2+b2≠1 时,|MN|= a2+b2· t. 4.消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量 x(或 y)的取值范围.

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