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河南省许昌市四校2015-2016学年高二数学上学期第三次联考试题 文


许昌市四校联考高二上学期第三次考试 数学(文)试卷
时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)命题“如果 x ? a2 ? b2 , 那么 x ? 2ab ”的逆否命题是( (A)如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab
2 2


2 2

(B)如果 x ? 2ab ,那么 x ? a ? b
2 2

(C)如果 x ? 2ab ,那么 x ? a ? b
2

2

(D)如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab )

(2) “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的(

(A)充分不必要的条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 (3)命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) (A)所有奇数的立方不是奇数 (B)不存在一个奇数,它的立方是偶数 (C)存在一个奇数,它的立方是偶数 (D)不存在一个奇数,它的立方是奇数 (4)设 M ? 2a(a ? 2), N ? (a ?1)( a ? 3) ,则有( (A) M ? N
2

) (D) M ? N

(B) M ? N )

(C) M ? N

(5)不等式 x ? 2 x ? 5 ? 2 x 的解集是( (A) x | x ? 5或x ? ?1 (C) ?x | ?1 ? x ? 5?
? 2

?

?

(B) x | x ? 5或x ? ?1 (D) ?x | ?1 ? x ? 5? )

?

?

(6)在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则 ?ABC 一定是( (A)锐角三角形 (C)等腰三角形

(B)钝角三角形 (D)等边三角形 )

(7)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? an ? 1( a ? 0 ) ,那么 ?an ? ( (A)一定是等差数列 (B)一定是等比数列 (C)或者是等差数列,或者是等比数列 (D)既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

(8)等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项的和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)260



1

(9)若 a, b, c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数是( (A)0 (10)若双曲线 (B)1 (C)2 (D)0 或 2 )



x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是( 4 k
(B) (?3, 0) (C) (?12,0)

0) (A) (??,

(D) (?60, ?12)

(11)过点 M (?2,0) 的直线 l 与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P 1 2 的中点为 1, P 2 两点,设线段 PP

P,若直线 l 的斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1k2 等于(
(A)-2 (B)2 (C)



1 2

(D) ?

1 2

(12)如果方程 ( (A) )

x2 y 2 ? ? 1 表示双曲线,那么下列椭圆中,与这个双曲线共焦点的是 ?p q

x2 y2 ? ?1 2q ? p q x2 y2 ? ?1 2p ? q q

(B)

x2 y2 ? ? ?1 2q ? p p x2 y2 ? ? ?1 2p ? q p

(C)

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)在 ?ABC 中,已知 b ? 50 3, c ? 150, B ? 30? ,则边长 a ? .

(14)与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 有共同的渐近线,并且经过点 (2, 5) 的双曲线方程 是 .
2 2

(15)若点 O 和点 F 分别为椭圆 3x ? 4 y ? 12 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任意一 点,则 OP ? FP 最大值为
2

??? ? ??? ?

.
2

(16)已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 3 的右支相交于不同的两点,则 k 的取值 范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

?5 x ? 3 y ? 15, ? 若 x, y 满足条件 ? y ? x ? 1, 求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值. ? x ? 5 y ? 3, ?

2

(18) (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? a ? 0.
2

(19) (本小题满分 12 分) 某个体户计划经销 A, B 两种商品, 据调查统计, 当投资额为t (t ? 0) 万元时, 经销 A, B 商品中所获

?10t ? 1 (0 ? t ? 3), ? 得的收益分别为 f (t ) 万元与 g (t ) 万元, 其中 f (t ) ? t ? 1, g (t ) ? ? t ? 1 如果该 2 ??t ? 9t ? 12(3 ? t ? 5). ?
个体户准备投入 5 万元经营这两种商品, 请你帮他制订一个资金投入方案, 使他能获得最大 收益,并求出其最大收益.

(20) (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }满足 a1=1,a3+a7=18,且 an-1 + an+1 =2 an (n≥2) . (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若 cn = 2
n-1

· an ,求数列{ cn }的前 n 项和 Tn . .

(21) (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m? n . 4 4 4

3

(I)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

2? ? x) 的值; 3 1 c?b, 2

(II)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 求 f (2 B) 的取值范围.

(22) (本小题满分 12 分) 已知点 A(? 3,0) , B 是圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ( C 为圆心)上的动点, AB 的 垂直平分线与 BC 交于点 E . (I)求动点 E 的轨迹方程; (II)设直线 l : y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与 E 的轨迹交于 P ,Q 两点,且以 PQ 为对角 线的菱形的一顶点为(-1,0) ,求: ?OPQ 面积的最大值及此时直线 l 的方程.

4

许昌市四校关考高二上学期第三次考试 数学(文)答案 一、选择题 1—5 CBCAB 二、填空题 6—10 DCCAC 11—12 DD

13、 100 3 或 50 3 三、解答题

14、

y 2 x2 ? ?1 4 16

15、6

16、 (?2, ? 3)

17、解:目标函数为 z ? 3x ? 5 y ,可行域如图所示?3 分 作出直线 z ? 3x ? 5 y ,可知,直线经过点 B 时,Z 取得最 大值,直线经过点 A 时,z 取得最小值. 解方程组

? y ? x ? 1, ? y ? x ? 1, 和? ? ? x ? 5 y ? 3, ?5 x ? 3 y ? 15.
可得点 A(?2, ?1) 和点 B(1.5, 2.5) .??????????8 分

zmax ? 17 ??????????9 分
zmin ? ?11 .??????????10 分
18、解(1)若 a ? 0 ,则原不等式为 x ? 0 -2,故解集为 ?x | x ? 0? . (2)若 a ? 0, ? ? 4 ? 4a ????????2 分
2

① 当

? ? 0 , 即 0 ? a ?1 时 , 方 程

ax 2 ? 2 x ? a ? 0 的 两 根 为

x1 ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , , x2 ? a a
? ? 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? a a ? ? ?. ? ?

∴原不等式的解集为 ? x |

? ? ②当 ? ? 0 时,即 a ? 1 时,原不等式的争集为 ? . ③当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,原不等式的争集为 ? .????6 分
(3)若 a ? 0, ? ? 4 ? 4a .
2

①当 ? ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 ,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? a a

? ? ?. ? ?

2 ②当 ? ? 0 时,5373 a ? ?1 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? 0 ,

5

∴原不等式的解集为 ?x | x ? R且x ? ?1 ?. ③当 ? ? 0 ,即 a ? ?1 时,原不等式的解集为 R????????10 分 综上所述,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? ;
2 ? 1 ? 1 ? a2 ? 1? 1? a 当原不等式的解集为 ? x | ?x? a a ? ?

? ? ?; ? ?

当 a ? 0 ,原不等式为 ?x | x ? 0? ; 当 ?1 ? a ? 0 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? a a

? ? ? .; ? ?

当 ? ? 0 时, a ? ?1 时,原不等式的解集为 ?x | x ? R且x ? ?1 ?. 当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 R. 19、解:投入 B 商品的资金为 x 万元( 0 ? x ? 5 ) ,则投入 A 商品的资金为 (5 ? x) 万元,并 设获得的收益为 S ( x) 万元.????????1 分 (1)当 0 ? x ? 3 时 f ( x) ? 6 ? x, g ( x) ?

10 x ? 1 , x ?1 10 x ? 1 9 9 S ( x) ? 6 ? x ? ? 17 ? [( x ? 1) ? ] ? 17 ? 6 ? 11 , 当 且 仅 当 x ? 1 ? ,即 x ?1 x ?1 x ?1 x ? 2 时取“=” ;??????????6 分

2 (2)当 3 ? x ? 5 时 f ( x) ? 6 ? x, g ( x) ? ? x ? 9 x ?12 ,

S ( x) ? 6 ? x ? x2 ? 9x ?12 ? ?( x ? 4)2 ? 10 ? 10 ,当 x ? 4 时,取“=”.
∵ 10 ? 11 ,∴最大收益为 11 万元.??????????11 分 ∴该个体户可对 A 商品投入 3 万元,对 B 商品投入 2 万元,这样可以获得 11 万元的最大收 益.??????????12 分 20、解:⑴由 an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) 知,数列 {an } 是等差数列, 设其公差为 d ,------------------- 2 分

1 (a3 ? a7 ) ? 9 , 2 a ? a1 ? 2 ,----------- 4 分 所以 d ? 5 4
则 a5 ?

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,
即数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.------------------- 6 分 ⑵ cn ? (2n ?1) ? 2
n?1


6

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn =1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1.

2Tn ?
相减得

1? 21 ? 3? 22 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n , ?Tn ? 1 ? 2(21 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ,------------ 9 分
?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 , 1? 2

整理得

所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .------------------- 12 分 21、解:

又 B, C 均为锐角

?B?( , ) 6 2

? ?

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 6 2

? 1 3 ?1 3 , ] ? f (2 B) ? sin( B ? ) ? 的取值范围是: ( 6 2 2 2
| EA | ? | EC |?| EB | ? | EC |? 4 22、解: (1)由题知 | EA |?| EB | ?
(2 分)

| AC |? 2 3 ? 4 又? ? 点 E 的轨迹是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,
x2 ? y2 ? 1 ? E 的轨迹方程为 4
(4 分)

(x , y ) (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,PQ 的中点为 0 0
x2 ? y2 ? 1 2 2 2 将直线 y ? kx ? m 与 4 联立得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 4 ? 0 ? ? 16(4k 2 ? 1 ? m 2 ) ? 0 ,即 4k 2 ? 1 ? m 2 ①

7

x1 ? x 2 y ? y2 ? 4km m ? , y0 ? 1 ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 又 y0 ? 0 1 ?? k ,整理得 3km ? 4k 2 ? 1 依题意有 x0 ? (?1) x0 ?
由①②可得



(6 分)

k2 ?

1 5,

? m ? 0,? k ? 0,

?k ?

5 5

(7 分)

设 O 到直线 l 的距离为 d ,则

S ?OPQ

1 ? k 2 16(4k 2 ? 1 ? m 2 ) 1 1 m ? d ? | PQ |? ? ? 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2

?

2 (4k 2 ? 1)(5k 2 ? 1) 9k
2

?

2 1 1 20 ? 2 ? 4 9 k k

(10 分)

1 1 3 2 ? k ? 2, m ? 2 2 时, ?OPQ 的面积取最大值 1,此时 2 , 当k

? 直线方程为

y ? 2x ?

3 2 2

8


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