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【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】2.3


§ 2.3
2014 高考会这样考

函数的奇偶性与周期性

1.判断函数的奇偶性; 2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围;3.函数

的奇偶性、周期性和单调性的综合应用. 复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、 周期性;2.注意函数奇偶性和周

期性的小综合问题;3.利用函数的性质解决有关问题.

1. 奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫 做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2. 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反. (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3. 周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. [难点正本 疑点清源] 1. 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

2. 函数奇偶性的性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

1. (课本改编题)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 ________. 答案 1 3

解析 由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x), 即 ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0. 又 f(x)的定义域应关于原点对称, 1 1 即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3 2. (2011· 广东)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 答案 -9 解析 令 g(x)=f(x)-1=x3cos x, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数.又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

解析 画草图,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为(- 1,0)∪(1,+∞).

4. 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) 答案 D 解析 因为 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

(

)

所以 f(-x+1)=-f(x+1), 即 f(-x)=-f(2+x),f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(-x)=-f(-2+x),于是 f(x+2)=f(x-2), 即 f(x)=f(x+4), 所以函数 f(x)是周期 T=4 的周期函数. 所以 f(-x-1+4)=-f(x-1+4), f(-x+3)=-f(x+3), 即 f(x+3)是奇函数. 5? 5. (2011· 大纲全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?等 于 1 A.- 2 答案 A 解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5? ? 5 ? ∴f? ?-2?=f?-2+2? 1? 1 ? 1? 1 ?1? =f? ?-2?=-f?2?=-2×2×?1-2?=-2. B.- 1 4 1 C. 4 1 D. 2 ( )

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) (3)f(x)= 4-x2 . |x+3|-3 1-x ; 1+x

思维启迪:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称, 再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x)± f(x)=0 是否成立. 解
2 (1)由{9-x ≥

x2-9≥0 ,得 x=± 3.

∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

?1-x ≥ (2)由? ?1+x

+x≠0 ,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 (3)由{4-x ≥

x+3|-3≠0 ,得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义 域对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 下列函数: 3x-3 x ①f(x)= 1-x2+ x2-1; ②f(x)=x3-x; ③f(x)=ln(x+ x2+1); ④f(x)= ; ⑤f(x) 2


=lg

1-x . 1+x ( C.4 D.5 )

其中奇函数的个数是 A.2 答案 D B.3

解析 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1}, 又 f(-x)=± f(x)=0, 则 f(x)= 1-x2 + x2-1既是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln =-ln(x+ x2+1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 3x - 3 x ④f(x)= 的定义域为 R, 2


1 x+ x2+1

3 x-3x 3x-3 x 又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2
- -

则 f(x)为奇函数; 1-x ⑤由 >0 得-1<x<1, 1+x f(x)=ln 1- x 的定义域为(-1,1), 1+ x 1+x ?1-x?-1 =ln? ? 1-x ?1+x?

又 f(-x)=ln

1-x =-ln =-f(x), 1+x 则 f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为 5. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]

时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013). 思维启迪:(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]上的解析式, 进而求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

探究提高 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数,且 周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- =x,则 f(105.5)=________. 答案 2.5 解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f?x+2? - f?x? 故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 思维启迪:可以先确定函数的周期性,求 f(π);然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象,求图形面积、写单调区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得, 1 ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x?

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1] (k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3] (k∈Z). 探究提高 函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象,充分 利用已知区间上函数的性质,体现了转化思想. (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增 函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 答案 D 解析 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增,又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1), f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11). (2)函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数, 且当 x∈(0, +∞)时是增函数, 若 f(1)=0, 求不等式 f[x(x 1 - )]<0 的解集. 2 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ( )

∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2 1 ? 则?x?x-2?
?

1 x?x- ?<1 2

1 即 0<x(x- )<1, 2 1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2 1 ? 则?x?x-2?
?

1 x?x- ?<-1 2

1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 1.等价转换要规范 典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范 围. 审题视角 (1)从 f(1)联想自变量的值为 1, 进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶性,

就是研究 f(x)、f(-x)的关系.从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+f(x).(3) 就是要出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 规范解答 解 (1)令 x1=x2=1,

有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.[2 分] (2)f(x)为偶函数,证明如下:[4 分] 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.[7 分] (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3.[8 分] 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[9 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[12 分] 3 3 3 温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程. 解题质量的高低, 取决于每步等价转

换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是 规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x- 6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)?|(3x+1)(2x-6)|≤64, 且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

方法与技巧 1. 正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 f?-x? 先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? = f?x? ± 1(f(x)≠0). 3. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1. 判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2. 判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存 在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3. 分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

(时间:60 分钟)

A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 广东)下列函数为偶函数的是 ( )

A.y=sin x C.y=ex

B.y=x3 D.y=ln x2+1 ( )

2. (2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A.y=cos 2x,x∈R ex-e x C.y= ,x∈R 2


B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x3+1,x∈R x 为奇函数,则 a 等于( ?2x+1??x-a? )

3.(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 1 A. 2 2 3 B. C. D.1 3 4

4. (2012· 福州质检)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)= 2x2, 则 f(7)等于 A.-2 B.2 C.-98 D.98 ( )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


6. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=______. 3? 7. (2012· 江南十校联考)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f? ?x+2?=-f(x),且函数 y 3? =f? ?x-4?为奇函数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; 3 ? ②函数 f(x)的图象关于点? ?-4,0?对称; ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知函数 f(x)=x2+ a (x≠0). x

(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 9. (13 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( )

A.-3

B.-1

C.1

D.3

2. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B.1 C.0 ( )

D.无法计算

2a-3 3. (2012· 淄博一模)设奇函数 f(x)的定义域为 R, 最小正周期 T=3, 若 f(1)≥1, f(2)= , a+1 则 a 的取值范围是 2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. (2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 1 5. 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015)=________. 4 B.a<-1 2 D.a≤ 3 ( )

6. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 1?1-x x∈[0,1]时,f(x)=? ?2? ,则①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3) 1?x-3 上递增;③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? .其中所有 正确命题的序号是________. 三、解答题(共 13 分) 7. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上, 只有 f(1) =f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明你的结论.


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