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三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)


1.2.1 任意角的三角函数(二)

三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),

sin ? ? y cos ? ? x
y tan ? ? (x ? 0) x

α 的终边 P(x,y)·

y

O

x

1.进一步巩固任意角的三角函数的定义.

2.掌握三角函数在不同象限内的符号及诱导公式一.
(重点)

3.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函
数值.(难点)

探究点1

终边相同的角的三角函数值

思考:如果角α 与β 的终边相同,那么sinα 与

sinβ 有什么关系?cosα 与cosβ 有什么关系?
tanα 与tanβ 有什么关系? 提示: 终边相同的角的同一三角函数的值相等.

公式一:

sin( ? ? k ?2 ? ) ? sin ? ,
cos( ? ? k ?2 ? ) ? cos ? ,

tan( ? ? k ?2 ? ) ? tan ? ,

k ? Z.

作用:可以把求任意角的三角函数值的问题,转化

为求0到2π (或0°~360°)范围内的三角函数值
的问题.

例1.确定下列三角函数值的符号.

(1)cos 250°;

(2)sin( ?

(3)tan(-672°);(4)tan 3π .

? ); 4

解:(1)因为250°是第三象限角,所以
cos 250°<0; ? ? (2)因为 ? 是第四象限角,所以sin( ? )<0; 4 4

(3)因为 tan( ?672?) ? tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而 48? 是第一象限角 ,所以 tan( ?672?) ? 0 ;
(4)因为 tan 3π=tan(π+2π)=tan π, 而 ? 的终边在 x 轴上,所以 tan π=0 .

终边相同的角 的同名三角函 数值相等

【变式练习】 确定下列三角函数值的符号.
? 17 ? ?1? tan ? ? ? ? ? 8 ? ? 4? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? 3 ? ? 3 tan 556 ? ?

解析:
? 17 ? ? ? ? ?? ?1? tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? 2 ? ? tan ? ??0 ? ? ? ? 8 ? ? 8 ? ? 8? ? 4? ? 2? ? 4? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? ? ? sin ? 0 3 ? 3 ? ? 3 ? ? ? 3? tan 556 ? tan ? 360? ? 196? ? ? tan196?>0

例2.求下列三角函数值.
9? ? (1)sin1 480 ?10 ; (2) cos ; 4
11? ? 3? tan(? ). 6

解:

(1) sin 1 480 ?10 ?= sin(40 ?10 ? ? 4 ? 360 ?) ? sin 40 ?10 ? ? 0.645;
9? ? ? 2 (2) cos ? cos( ? 2 ?)= cos = ; 4 4 4 2 11? ? ? 3 (3) tan( ? ) ? tan( ? 2 ?)= tan = . 6 6 6 3
根据终边相同的 角的同名三角函 数值相等,转化 为特殊角求值.

【变式练习】
10? tan()=( C ) 3

3 A. ? 3

3 B. 3

C. ? 3

D. 3

探究点2 三角函数线 思考:由任意角三角函数的定义,三角函数可以借助 单位圆用坐标表示,你能借助单位圆找到表示三角函 数的线段吗?

提示:可以用单位圆中带方向的线段表示 1、有向线段:
带有方向(规定了起点和终点)的线段叫做有向

线段.
规定:方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值, 反之为负值.

想一想: 有向线段OM, MO, AT, TA 是怎样的? ,MP, AO的符号

y

提示:MO,AT为正;
OM,TA,MP,AO为负.

T
M

O
P

A(1,0) x

⑴正弦线: 图中的圆为单位圆,从P点向x轴作 垂线,垂足为M sin ? =y=MP,所以MP叫做角?的正弦线.

y

y

M

? O

?M

x

O

x
P(x , y)

P(x , y)

⑵余弦线:图中的圆为单位圆,从P点向x轴作垂线,垂足 为M .

y

y

M

?

O

x

?M

O

x P(x , y)

P(x , y)

因为cos ? =x=OM,所以OM叫做角?的余弦线.

y 由于tan ?= ,能否找到使x =1的点? x

过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使其

y ? T x y P(x , y)

?的终边

大小恰为
y AT = , x

?
O

A(1,0)
x

⑶正切线:图中的圆均为单位圆,过点A(1, 0)作x轴

的垂线与终边(或反向延长线)交于点T. y y
T

?
O
P(x , y)

A

?
x
O

A

x
P(x , y)

T

因为tan ?

y = =AT,所以AT是角?的正切线. x

三角函数线 把有向线段MP,OM,AT,分别叫做角?的 正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线 . 作三角函数线的步骤: ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P. ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M. ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与终边(或反向延长 线)交于点T.

2? 例3.作出角 的正弦线、余弦线、正切线. 3
解:

y
P(x , y)

A
M

O
T

x

【变式练习】

1 在[0,2π ]上满足sin x ? 的x的取值范围是( B ) 2
? A.[0, ] 6 ? 2? C.[ , ] 6 3 ? 5? B.[ , ] 6 6 5? D.[ ,?] 6

1.下列说法: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角, 且 P(x, y)是其终边上一点, x 则 cos α=- 2 2, x +y 其中正确的个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】 根据诱导公式(一)可知①正确; 因为 sin 0 π π =sinπ=0, 故②不正确; ③中因为 sin =1>0, 但 不 2 2 是第一、二象限角,故③错误;④中应为 cos α= x 2 2,所以只有①正确,应选 B. x +y

1 2.若 cos θ ? ,且θ ? [??, ?],则θ的范围是( A ). 2 ? ? ? ? ? ? ? ? A.[- , ] B. [- , ] C.[- , ] D.[- , ] 3 3 6 6 6 3 3 6

2 2 3、若角 α 的终边与单位圆相交于点( ,- ),则 2 2 sinα 的值为( B ) 2 A. 2 1 C. 2 2 B.- 2 D.-1

4、已知 sin5.1° =m,则 sin365.1° =( C ) A.1+m C.m B.-m D.与 m 无关

π π 5.如果 <α< ,那么下列不等式成立的是( A ) 4 2 A.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α B.tan α<sin α<cos α D.cos α<tan α<sin α

【解析】 如图所示,在单位圆中分别作出 α 的正弦 线 MP、余弦线 OM、正切线 AT,很容易地观察出 OM <MP<AT,即 cos α<sin α<tan α.

【方法规律】 1.单位圆中的三角函数线可以用来解决同名三 角函数值比较大小、解三角不等式、研究三角函数 值域或最值等问题. 2.准确做出单位圆中的三角函数线是解决这类 问题的关键.

【互动探究】 利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2π 4π 2π 4π (1)sin 与 sin ;(2)tan 与 tan ; 3 5 3 5 2π 4π (3)cos 与 cos . 3 5

2π 4π 【解析】 如图,画出角 与 的正弦 3 5 2π 线、余弦线、正切线,sin =M1P1, 3 4π 2π 4π sin =M2P2, tan =AT1, tan = 5 3 5 2π 4π AT2,cos =OM1,cos =OM2,由图形观察可 3 5 得: M1P1>M2P2,AT1<AT2,OM1>OM2, 2π 4π 2π 4π ∴(1)sin >sin ; (2)tan <tan ; (3)cos 3 5 3 5 2π 4π >cos . 3 5

1.三角函数的符号.

“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 2.诱导公式一.
3.三角函数线.

把别人的幸福当做自己的幸福,把鲜花奉

献给他人,把棘刺留给自己!
——巴尔德斯


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