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2014广东高考理科数学试题及答案


本试卷答案由广州金起点教育龚寸章老师提供(联系方式:2508717374@qq.com)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? A. {?1, 0,1} 答案:B 2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25, 则 Z= A. 3 ? 4 i 答案:A B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i B. {?1, 0,1, 2} C. {?1, 0, 2} D. {0,1}

提示 : z ?

25 25(3 ? 4i) 25(3 ? 4i) = ? ? 3 ? 4i, 故选A. 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25

? y?x ? 3.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 M 和 m,则 M-m= ? y ? ?1 ?
A.8 B.7 C.6 D.5

答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1)与( ?1, ?1)处目标函数分别取得最大值M ? 3, 与最小值m ? ?3,? M ? m ? 6, 选 C.
x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等

答案:D 提示: 0 ? k ? 9,? 9 ? k ? 0, 25 ? k ? 0, 从而两曲线均为双曲线, 又25 ? (9 ? k ) ? 34 ? k ? (25 ? k ) ? 9, 故两双曲线的焦距相等,选D.
5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? , 则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A. ( -1,1,0 ) B. ( 1,-1,0 ) C. ( 0,-1,1 ) D. ( -1,0,1 )

答案 : B 提示 : 1 1 ? , 即这两向量的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,? 选 B. 2 2 1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? (?1) ? 0
2 2 2 2 2 2

(1, 0, ?1) ? (1, ?1, 0)

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6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10

答案 : A 提示 : 样本容量为(3500 ? 4500 ? 2000) ? 2% ? 200, 抽取的高中生近视人数为:2000 ? 2% ? 50% ? 20,? 选 A.
7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一定正确的是 A. l1 ? l4 答案:D 8.设集合 A= B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件
1 2 3 4 5 i

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为 A.60 答案: D B.90 C.120 D.130

提示 : x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 可取1, 2,3
1 2 2 和为1的元素个数为 : C1 和为2的元素个数为 : C1 2 C5 ? 10; 2 C5 ? A5 ? 40; 3 1 1 2 和为3的元素个数为 : C1 2 C5 ? C 2 C5 C4 ? 80.

故满足条件的元素总的个数为10 ? 40 ? 80 ? 130, 选 D.

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 .

答案:? ??, ?3?

? 2, ??? ? 2, ??? .
.

提示 : 数轴上到1与 ? 2距离之和为5的数为 ? 3和2,故该不等式的解集为:? ?? , ?3?
10.曲线 y ? e
?5 x

? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为

答案 : 5 x ? y ? 3 ? 0 提示 : y ' ? ?5e?5 x ,? y '
x ?0

? ? 5,? 所求切线方程为y ? 3 ? ?5 x,即5 x ? y ? 3 ? 0 .
.

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为

1 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个不大于6, 答案 : 另外3个不小于6, 故所求概率为
3 C6 1 ? . 7 C10 6

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12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则

a ? b

.

答案 : 2 a 提示 : 解法一 :由射影定理知b cos C ? c cos B ? a, 从而a ? 2b,? ? 2 . b 解法二:由上弦定理得:sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B, 即sin( B ? C ) ? 2sin B, a ? sin A ? 2sin B, 即a ? 2b,? ? 2 . b 2 2 2 a ? b ? c a2 ? c2 ? b2 解法三 :由余弦定理得 : b ? ? ? 2b, 即2a 2 ? 4ab, 2ab 2ac a ? a ? 2b, 即 ? 2 . b
13.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?

.

答案 : 50 提示: a10 a11 ? a9 a12 ,? a10 a11 ? e5 , 设S ? ln a1 ? ln a2 ? ? ln a20 , 则S ? ln a20 ? ln a19 ? ? ln a1 , ? 2S ? 20 ln a1a20 ? 20 ln a10 a11 ? 20 ln e5 ? 100 ,? S ? 50.
(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14.(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

? ? cos? 和 ? sin ? =1,

以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 的交点 的直角坐标为__

答案 : (1,1) 提示 : C1即( ? sin ? ) 2 ? ? cos ? , 故其直角坐标方程为:y 2 ? x, C2的直角坐标方程为 : y ? 1,? C1与C2的交点的直角坐标为(1,1) .
15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于 点 F,则

?CDF的面积 =___ ?AEF的面积

答案 : 9 提示 : 显然?CDF ?AEF ,? ?CDF的面积 CD 2 EB ? AE 2 ?( ) ?( ) ? 9. ?AEF的面积 AE AE

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值;

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4 5? 5? ? 2? 3 3 2 解 : (1) f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3
(2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4
17、 (13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下:

?

?

?

?

根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在 区间(30,35]的概率.

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解 : (1) n1 ? 7, n 2 ? 2, f 1?

7 2 ? 0.28, f ? ? 0.08 ; 2 25 25 (2) 频率分布直方图如下所示 :

(3)根据频率分布直方图, 可得工人们日加工零件数落在区间? 30,35? 的概率为0.2, 设日加工零件数落在区间? 30,35?的人数为随机变量? ,则? 故4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间? 30,35?
0 的概率为 :1 ? C4 (0.2)0 (0.8) 4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904.

B(4, 0.2),

18.(13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC= 30 0 ,AF⊥PC 于点 F,FE∥CD, 交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值.
解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD, ? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD ? CD, A D ? 平面ABCD, AD ? CD, ? AD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? AD, 又AF ? PC ,? CF ? AF , AD, AF ? 平面ADF , AD AF ? A, ? CF ? 平面ADF . (2)解法一 : 过 E 作 EG/ / CF 交 DF 于 G, CF ? 平面ADF ,? EG ? 平面ADF , 过 G 作 GH ? AF 于 H, 连 EH, 则?EHG为二面角D ? AF ? E的平面角, 设 CD ? 2, ?DPC ? 300 , 1 ??CDF ? 300 , 从而CF = CD =1, 2 1 DE CF DE 2 3 3 CP ? 4, EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? , 还易求得EF= , DF ? 3, DP CP 2 2 2 3 2 3 3 ? DE ? EF 2 2 ? 3 . 易得AE ? 19 , AF ? 7, EF ? 3 , 从而 EG ? ? DF 4 2 2 3 19 3 ? AE ? EF 3 19 3 19 2 3 2 6 3 ? EH ? ? 2 2? , 故HG ? ( ) ?( ) ? , AF 4 7 4 7 4 7 4 7 ? cos ?EHG ? GH 6 3 4 7 2 57 ? ? ? . EH 4 7 3 19 19

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解法二 : 分别以DP, DC , DA为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 设DC ? 2, 1 则A(0, 0, 2), C(0, 2, 0), P(2 3, 0, 0), 设CF ? ? CP, 则F (2 3? , 2 ? 2? , 0), DF ? CF , 可得? ? , 4 3 3 3 1 从而F ( , , 0) , 易得E ( , 0, 0), 取面 ADF的一个法向量为n1 ? CP ? ( 3, ?1, 0), 2 2 2 2 设面 AEF的一个法向量为n2 ? (x, y, z), 利用n2 ? AE ? 0, 且n2 ? AF ? 0, 得n2可以是(4, 0, 3), 从而所求二面角的余弦值为 n1 ? n2 4 3 2 57 ? ? . 19 | n1 | ?| n2 | 2 ? 19

19.(14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 . (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

解 : (1) a1 ? S1 ? 2a2 ? 3 ?12 ? 4 ?1 ? 2a2 ? 7
2

① ②

a1 +a2 =S 2 ? 4a3 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4( S3 ? a1 ? a2 ) ? 20 ? 4(15 ? a1 ? a2 ) ? 20,? a1 +a2 ? 8 ?a1 ? 3 联立①, ②解得 ? ,? a3 ? S3 ? a1 ? a2 ? 15 ? 8 ? 7, ?a2 ? 5 综上a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7, (2) S n ? 2nan ?1 ? 3n 2 ? 4n ③ ? ④并整理得:an ?1 ? ③ ④ ?当n ? 2时, S n ?1 ? 2(n ? 1)an ? 3(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) 2n ? 1 6n ? 1 an ? , 2n 2n 由(1)猜想an ? 2n ? 1,以下用数学归纳法证明 : (i )由(1)知, 当n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ?1 ? 1, 猜想成立; (ii )假设当n ? k时, 猜想成立, 即ak ? 2k ? 1, 则当n ? k ? 1时, ak ?1 ? 2k ? 1 6k ? 1 ak ? 2k 2k 2k ? 1 1 ? ? (2k ? 1) ? 3 ? 2k 2k 2 4k ? 1 1 ? ?3? 2k 2k ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 这就是说n ? k ? 1时, 猜想也成立, 从而对一切n ? N ? , an ? 2n ? 1.

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x2 y 2 5 20.(14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5,0) ,离心率为 , a b 3
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.

解 : (1)c ? 5, e ?

c 5 5 ? ? ,? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 5 ? 4, a a 3 x2 y 2 ? 椭圆C的标准方程为: ? ? 1. 9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(?3, ?2), (3, ?2). 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ), x2 y 2 ? ? 1 中并整理得: 9 4 2 (9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? ? 0, 依题意, ? ? 0, 即y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 将之代入椭圆方程
2 2 2 2 即:(18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? (9k ? 4) ? 0, 即4( y0 ? kx0 ) ? 4(9k ? 4) ? 0,

? ( x0 2 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 2 ? 4 ? 0, 两切线相互垂直,? k1k2 ? ?1, 即 : ? x0 2 ? y0 2 ? 13, 显然(?3, ?2), (3, ?2)这四点也满足以上方程, ?点P的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 13 .

y0 2 ? 4 ? ?1, x0 2 ? 9

21.(本题 14 分)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3
2 2 2

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示).

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2 2 解 : (1)( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 则x ? 2 x ? k ? 1 ①或 x ? 2 x ? k ? ?3 ②

由①得 : x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0, ?1 ? 4 ? 4(k ? 1) ? 4(2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 方程x 2 ? 2 x ? k ? 1=0的解为 ? 1 ? 2 ? k , ?由x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0得 : x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 由②得:x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0, 方程x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0的判别式? 2 ? 4 ? 4(k ? 3) ? 4(?2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 该方程的解为 ? 1 ? ?2 ? k ,由x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0得 : ?1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k . k ? ?2,??1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ? D ? (??, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ??). (2)设u ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 1 ?3 2 则f ' ( x ) ? ? ? u 2 ? ? ? 2( x ? 2 x ? k ) ? (2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ? ? 2 ? ?2u 2 ( x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x ? k ? 1) (i )当x ? (??, ?1 ? 2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (ii )当x ? (?1 ? ?2 ? k , ?1)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iii )当x ? (?1, ?1 ? ?2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iv)当x ? (?1 ? 2 ? k , ??)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 . 综上, f ( x)在D上的单调增区间为 : ( ??, ?1 ? 2 ? k ), (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , f ( x)在D上的单调减区间为 : (?1 ? ?2 ? k , ?1), (?1 ? 2 ? k , ??) .
? 3

(3)设 g(x) ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3,由(1)知, 当 x ? D 时, g(x) ? 0; 又 g(1) ? (3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3 ? ( k ? 6)( k ? 2), 显然, 当k ? ?6时, g (1) ? 0, 从而不等式f ( x) ? f (1) ? g ( x) ? g (1), g ( x) ? g (1) ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3] ? [(3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3] ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? (3 ? k) 2 ] ? 2[( x 2 ? 2 x ? k ) ? (3 ? k )] ? ( x ? 3)( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2k ? 5), k ? ?6,??1 ? ?4 ? 2k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?3 ? 1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?4 ? 2k , (i )当x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使f ( x) ? f (1), 即g ( x) ? g (1), 亦即x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k ,??1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? 2 ? k ; (ii ) ? 1 ? ?2 ? k ? x ? ?3时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ( x 2 ? 2 x ? k ) ? (k ? 5) ? ?3 ? (k ? 5) ? 0, 此时g ( x) ? g (1), 即f ( x ) ? f (1); (iii) ? 3 ? x ? 1时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2 k ? 5 ? ?3 ? ( k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 不合题意; (iv)1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ?3 ? (k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 合题意; (v) x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使g ( x) ? g (1), 则x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k , 从而 ? 1 ? 2 ? k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k . 综上所述, f ( x) ? f (1)的解集为: (?1 ? ?4 ? 2k , ?1 ? 2 ? k ) ? (?1 ? ?2 ? k , ?3) ? (1, ?1 ? ?2 ? k ) ? (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?4 ? 2k ).

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