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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2_图文

平面与平面垂直的 判 定 学案·新知自解 1.理解二面角,面面垂直的概念. 2.掌握二面角的平面角,面面垂直的判定定理. 3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题. 二面角 1.二面角 二面角 两个半平面 所组成的图形叫作二面角. 从一条直线出发的_____________ 这条直线 叫作二面角的棱.______________ 这两个半平面 叫作二面角的面. __________ 定义 P-AB-Q或_______________ 二面角α-l-β 或二面角 二面角P-l-Q 如图, 记作: ________________ _______________ 范围 0° ≤θ≤ 180° 2.二面角的平面角 在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 垂直 于棱 l 的______ 射线 OA 和 OB, 文字语言 α 和 β 内分别作______ 则射线 OA 和 OB ∠AOB 叫作二面角的平面角 构成的_________ 图形语言 符号语言 OB⊥l ?∠AOB OA⊥l ,_________ α∩β=l,O∈l,OA?α,OB?β,_________ 为二面角 α-l-β 的平面角 平面与平面垂直 平面与平面垂直 直二面角 ,就说这两个平面 定 如果两个平面相交,且它们所成的二面角是 __________ α⊥ β 义 互相垂直,记作: _______ 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图: 画 法 判 定 定 理 垂线 , 文字表述: 一个平面过另一个平面的 _______ 则这两个平面垂直. a⊥β ? ? ?? α⊥ β 符号表示: a?α ? _______ ? [化解疑难 ] 作二面角的平面角的方法 方法一 (定义法 ):在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂 直于棱的射线. 如图①,∠AOB 为二面角 α-a-β 的平面角. 方法二(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半 平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角 . 如图②,∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角. 方法三(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足 作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 如图③,∠AFE 为二面角 A- BC- D 的平面角. 1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中,与面 ABCD 垂直的面有 ( A.1 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 ) 解析: 与面 ABCD 垂直的面有面 ABB1A1,面 BCC1B1,面 CDD1C1,面 DAA1D1,共 4 个. 答案: C 2.下列说法: ①两个相交平面组成的图形叫作二面角; ②两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直,则这两条异面直线所 成的角与二面角的平面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发, 分别在两个半平面内作射线所成的角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是 ( A.①③ C.③④ ) B.②④ D.①② 解析: 由二面角的定义可知,从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫作二面角,所以①不正确;由 a,b 垂直于两个面,则 a,b 都垂直于二面 角的棱,故②正确;对于③,所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不正 确;对于④,由定义可知正确.故选 B. 答案: B 3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A,B)且 PA=AC,则二面角 P-BC-A 的大小为____________. 解析: 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC, 又 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, ∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角. 在 Rt△PAC 中, 由 PA=AC 得∠PCA=45° . 答案: 45° 教案·课堂探究 平面与平面垂直的判定 多维探究型 如图,已知∠BSC=90° ,∠BSA=∠CSA=60° ,又 SA=SB=SC, 求证:平面 ABC⊥平面 SBC. 解析: 证法一:利用定义证明. ∵∠ BSA=∠CSA= 60° ,SA= SB= SC, ∴△ ASB 和△ ASC 是等边三角形,则有 SA= SB= SC= AB= AC,令其值 为 a,则△ ABC 和△ SBC 为共底边 BC 的等腰三角形. 如图,取 BC 的中点 D,连接 AD, SD, 则 AD⊥ BC,SD⊥ BC, ∴∠ ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角. 在 Rt△ BSC 中, ∵ SB= SC= a, 2 BC 2 ∴ SD= a,BD= = a. 2 2 2 2 在 Rt△ ABD 中, AD= a. 2 在△ ADS 中,∵ SD2+ AD2= SA2, ∴∠ ADS= 90° , 即二面角 A-BC- S 为直二面角, 故平面 ABC⊥平面 SBC. 证法二:利用判定定理. ∵ SA= AB= AC, ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心. ∵△ BSC 为直角三角形, ∴ A 在△ BSC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点. ∴ AD⊥平面 SBC. 又∵平面 ABC 过 AD, ∴平面 ABC⊥平面 SBC. [归纳升华] 1.对平面与平面垂直的判定定理的认识: 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平 面与平面垂直,通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面 面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题. 2.证明平面与平面垂直的方法: 根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角 的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,判定定理是证明面面垂 直的常用方法,即要证面面垂直,