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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《空间向量与平行关系》(第一课时)(北师大版选修2-1)


理解教材新知 § 4 第 一 课 时

第 二 章

考点一 把握 热点考向 考点二

考点三
应用创新演练

已知直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2;平面π1,π2 的法向量分别为n1,n2.

问题1:若直线l1∥l2,直线l1垂直于平面π1,则它们的
方向向量和法向量有什么关系? 提示:u1∥u2∥n1. 问题2:若l1⊥l2,l1∥π2呢? 提示:u1⊥u2,u1⊥n2. 问题3:若π1∥π2,则n1,n2有什么关系? 提示:n1∥n2.

1.空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面π1、π2的法向 量分别为n1、n2,则 线线平行 l∥m? a=kb,(k∈R)

线面平行
面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直

n l∥π1? a⊥n1 ? a·1=0
π1∥π2? n1∥n2? n1=kn2(k∈R) b=0 l⊥m? a· l⊥π1? a∥n1 ? a=kn1,(k∈R) n π1⊥π2?n1⊥n2 ? n1·2=0

2.三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平

面上的 投影 ,则这两条直线垂直.
3.面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ,则这两个 平面垂直.

一条直线可由一点及其方向向量确定,平面可由
一点及其法向量确定,因此可利用直线的方向向量与平

面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关
系.这是向量法证明垂直、平行关系的关键.

第一课时

空间向量与平行关系

[例1]

(1)设a,b分别是两条不同直线l1,l2的方向向量,

根据下列条件判断l1与l2的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0); ③a=(-2,1,4),b=(6,3,3). (2)设n1,n2分别是两个不同平面π1,π2的法向量,根据下 列条件判断π1,π2的位置关系:
1 ①n1=(1,-1,2),n2=(3,2,- ); 2 ②n1=(0,3,0),n2=(0,-5,0); ③n1=(2,-3,4),n2=(4,-2,1).

(3)设n是平面π的法向量,a是直线l的方向向量,根据

下列条件判断π和l的位置关系:
①n=(2,2,-1),a=(-3,4,2); ②n=(0,2,-3),a=(0,-8,12); ③n=(4,1,5),a=(2,-1,0). [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向

量之间的关系,转化为线线、线面及面面之间的关系.

[精解详析]

(1)①∵a=(2,3, -1), b=(-6, -9,3),

1 ∴a=- b.∴a∥b,∴l1∥l2. 3 ②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0), ∴a· b=0.∴a⊥b.∴l1⊥l2. ③∵a=(-2,1,4),b=(6,3,3), ∴a 与 b 不共线,也不垂直. ∴l1 与 l2 的位置关系是相交或异面(不垂直).
? 1? (2)①∵n1=(1,-1,2),n2=?3,2,-2?, ? ?

∴n1·2=3-2-1=0. n

∴n1⊥n2,∴π1⊥π2. ②∵n1=(0,3,0),n2=(0,-5,0), 3 ∴n1=- n2, 5 ∴n1∥n2.∴π1∥π2. ③∵n1=(2,-3,4),n2=(4,-2,1), ∴n1 与 n2 既不共线,也不垂直. ∴平面 π1 和 π2 相交(不垂直). (3)①∵n=(2,2,-1),a=(-3,4,2), ∴n· a=-6+8-2=0.

∴n⊥a. ∴直线 l 和平面 π 的位置关系是 l ? π 或 l∥π. ②∵n=(0,2,-3),a=(0,-8,12), 1 ∴n=- a. 4 ∴n∥a.∴l⊥π. ③∵n=(4,1,5),a=(2,-1,0), ∴n 和 a 既不共线,也不垂直. ∴l 与 π 斜交.

[一点通]

用向量法来判定线面位置关系时,只需

判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可.线

线间位置关系与方向向量关系相同,面面间位置关系与
法向量间关系相同,线面间的位置关系与向量间位置关 系不同,只是平行与垂直的互换.

1.设直线l的方向向量为a,平面π的法向量为b,若a· b=0,


A.l∥π C.l⊥π B.l?π D.l? π或l∥π

(

)

解析:当a· b=0时,l?π或l∥π. 答案:D

2.已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面π1、π2的 法向量分别为n1,n2,若a=n1=(1,-2,-2),b=n2 =(-2,-3,2),试判断l1与l2,π1与π2,l1与π2间的位置 关系.

解:∵a· b=n1·2=a·2 n n
=1×(-2)+(-2)×(-3)+(-2)×2=0,

∴a⊥b,n1⊥n2,a⊥n2,
∴l1⊥l2,π1⊥π2,l1∥π2或l1?π2.

3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、H、 G 分别是 AA1、AB、CC1、C1D1 的中点, 求证:EF∥HG.

证明:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在 的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系, 如图. 设正方体的棱长为 2, 则 E,F,H,G 的坐标分别为 E(2,0,1), F(2,1,0),H(0,2,1),G(0,1,2). ??? ? ∴ EF =(0,1,-1), ???? GH =(0,1,-1). ??? ???? ??? ???? ? ? ∴ EF = GH .∴ EF ∥GH . 又∵G?EF,∴EF∥GH.

[例2]

如图,在三棱锥P-ABC中,

AB⊥BC,AB=BC,点O、D分别是AC、 PC的中点,且OA=OP,OP⊥平面ABC. 求证:OD∥平面PAB.
[思路点拨]

??? ? 思路一证明 OD 与平面 PAB 的法向量垂

直.思路二证明 OD 与面 PAB 内某一直线平行.

[精解详析]

法一:因为 AB=BC,O 为

AC 的中点,所以 OB⊥AC,OA=OB=OC, 如图,建立空间直角坐标系,设 OA=a, 则 A(a,0,0), B(0, a,0), C(-a,0,0), P(0,0,
? a a? a),D?-2,0,2?, ? ?

??? ? a ? a? 所以 OD =?-2,0,2?.
? ?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z).

??? ?n· =0, PA ? 则? ??? AB ?n· =0. ??? ??? ? 由于 PA=(a,0,-a), AB =(-a,a,0),
?ax-az=0, ? 所以? ?-ax+ay=0. ?

??? ? a 令 z=1,得 x=y=1,所以 n=(1,1,1),所以 OD · n=- + 2 ??? ? a =0,所以 OD ⊥n,因为 OD 不在平面 PAB 内,所以 OD∥平 2
面 PAB.

法二:因为 O、D 分别是 AC、PC 的中点,

? ? ? ??? ??? ??? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ??? ??? ? 所以 OD = CD - CO = CP - CA = AP ,所以OD ∥ AP , 2 2 2
即 OD∥AP,OD 平面 PAB,PA ?面 PAB,所以 OD∥平面

PAB.

[一点通]

用向量法证明线面平行时,可证明直线

的方向向量与平面的法向量垂直,也可直接证明平面内 的某一向量与直线的方向向量共线,还可以证明直线的 方向向量与平面内两个不共线向量共面.但必须说明直 线在平面外.

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1

=2.点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且
SD1=2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中点.求证:

MN∥平面RSD.

证明:法一:如图所示,建立空间直角 坐标系,则根据题意得
? 4? M ?3,0,3? , ? ?

? 2? N(0,2,2),R(3,2,0),S?0,4,3?. ? ?

???? ? ? ? ? ? 2? ??? ? 2? ???? ??? ∴ MN =?-3,2,3?, RS =?-3,2,3?, MN = RS . ? ? ? ? ???? ??? ? ? ∴ MN ∥ RS .
∵M?RS.∴MN∥RS. 又 RS 平面 RSD,MN 平面 RSD, ∴MN∥平面 RSD.

??? ? ??? ? ???? 法二:设 AB =a, AD =b, AA1 =c, ???? ???? ????? ???? 1 ? ? ? 1 则 MN = MB1 + B1 A1 + A1 N = c-a+ b, 3 2
??? ??? ??? ??? 1 ? ? ? ? 1 RS = RC + CD + DS =2b-a+3c,

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? ∴ MN = RS ,∴ MN ∥ RS ,
又∵R?MN,∴MN∥RS. 又 RS 平面 RSD,MN 平面 RSD, ∴MN∥平面 RSD.

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为B1D1的中点,求
??? ??? ???? ? ? ? 证明:法一:以 D 为原点, DA , DC , DD1
分别为 x,y,z 轴正方向建立如图所示的空 间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),O1(1,1,2), ???? ? ???? ∴ AD1 =(-2,0,2), CD1 =(0,-2,2),

证:BO1∥平面ACD1.

???? ? BO1 =(-1,-1,2), ???? 1 ???? 1 ???? ? ? ∴ BO1 = AD1 + CD1 , 2 2 ???? ???? ???? ? ? ∴ BO1 与 AD1 , CD1 共面. ???? ? ∴ BO1 ∥平面 ACD1.

又 BO1 平面 ACD1,∴BO1∥平面 ACD1. 法二:在证法一建立的空间直角坐标系下,取 AC 的中点 ???? ? O,连接 D1O,则 O(1,1,0),∴ D1O =(1,1,-2).

???? ? ???? ? ???? ? 又 BO1 =(-1,-1,2),∴ D1O =- BO1 . ???? ???? ? ? ∴ D1O ∥ BO1 . ???? ???? ? ? 又∵ D1O 与 BO1 不共线,∴D1O∥BO1.

又 BO1

平面 ACD1,∴BO1∥平面 ACD1.

[例3]

(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,

M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点,
求证:平面AMN∥平面EFBD.

[思路点拨]

本题可通过建立空间直角坐标系,利用

向量共线的条件先证线线平行,再证面面平行.也可以先

求这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.

[精解详析]

法一:如图所示,建立空间直

角 坐 标 系 ,则 A(4,0,0), M(2,0,4), N(4,2,4) , D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4). (3 分) 取 MN 的中点 G 及 EF 的中点 K,BD 的中点 Q,连 AG,QK, 则 G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0). (5 分) ???? ? ??? ? ??? ? ∴ MN =(2,2,0), EF =(2,2,0), AG =(-1,1,4), ??? ? QK =(-1,1,4). (7 分) ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? 可见 MN = EF , AG = QK ,∴MN∥EF,AG∥QK. (8 分)

又 MN 平面 EFBD,AG 又 MN∩AG=G,

平面 EFBD. (10 分)

∴MN∥平面 EFBD,AG∥平面 EFBD.

∴平面 AMN∥平面 EFBD. (12 分) ???? ? ???? ? ??? ? 法二:由法一得 AM =(-2,0,4), MN =(2,2,0), DE = ??? ? (0,2,4), EF =(2,2,0). (3 分) 设平面 AMN 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),

???? ? 1 ? ?-2x +4z =0, ?n1· =0, ?z1= x1, AM ? 1 1 2 ? ???? ? 则? 即 即? ?2x1+2y1=0, MN ? ?n1· =0, ?y1=-x1. ?

(5 分)

令 x1=1,则

? 1? n1=?1,-1,2?. ? ?

(7 分)

设平面 BDEF 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),

??? ? ?x2=-y2, ?x +y =0, ?n2· =0, ? EF ? 2 2 ? 则? ??? 即? 即? 1 ?2y2+4z2=0, DE ? ?n2· =0, ?z2=-2y2, ?
1 令 x2=1,则 n2=(1,-1, ). 2 ∴n1=n2.∴平面 AMN∥平面 BDEF.

(9 分)

(10 分) (12 分)

[一点通]

用向量法证明两面互相平行,可由两平

面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向

量与另一面平行;也可分别求出两个平面的法向量,然
后证明这两个法向量平行.

6.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E 在线段BB1上,且EB1=1,D、F、G分 别为CC1、C1B1、C1A1的中点. 求证:平面EGF∥平面ABD. 证明:如图所示,由条件知BA、BC、 BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,

BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E (0,0,3),F(0,1,4), a 设 BA=a,则 A(a,0,0),G( ,1,4). 2 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 所以 BA =(a,0,0),BD =(0,2,2),B1 D =(0,2,-2),EG =

? ?a ? ??? ? ,1,1?, EF =(0,1,1). ?2 ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 法一:∵ B1 D · =0, B1 D · =0+4-4=0, BA BD

所以 B1D⊥BA,B1D⊥BD. 因 BA∩BD=B,因此 B1D⊥平面 ABD.

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 又 B1 D · =0+2-2=0, B1 D · =0+2-2=0. EF EG
所以 B1D⊥EG,B1D⊥EF,又 EG∩EF=E, 所以 B1D⊥平面 EFG,可知平面 EGF∥平面 ABD. 法二:设平面 EGF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),
?n · ? 1 EF =0, ? 则? ??? ?n1· EG =0, ?

??? ?

?x=0, ? 即? ?y=-z, ?

令 y=1,则 n1=

(0,1,-1).设平面 ABD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),

??? ? ?n · =0, ?x=0, ? 2 BA ? ? 则? ??? 即? 令 y=1,则 n2= ?y=-z, ?n2· =0, ? BD ?

(0,1,-1).所以 n1=n2.所以平面 EGF∥平面 ABD.

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是
BB1、DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明:建立空间直角坐标系如图, 则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0), C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), ??? ? ??? ? ???? 所以 FC1 =(0,2,1), DA =(2,0,0), AE =(0,2,1).

(1)设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量, ??? ? ??? ? 则 n1⊥ DA,n1⊥ AE , ??? ? ?n1· =2x1=0, DA ? 即? ??? AE ?n1· =2y1+z1=0,
?x =0, ? 1 得? ?z1=-2y1, ?

令 z1=2,则 y1=-1,

所以 n1=(0,-1,2). ???? ???? 因为 FC1 ·1=-2+2=0,所以 FC1 ⊥n1. n ???? 又因为 FC1 平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE

????? (2)∵ C1 B1 =(2,0,0),

设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. ???? ????? 由 n2⊥ FC1 ,n2⊥ C1 B1 ,得 ???? ?x =0, ?n2· 1 =2y2+z2=0, FC ? 2 ????? ? 得? ?z2=-2y2. C ? ?n2· 1 B1 =2x2=0, 令 z2=2,得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2),因为 n1=n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

1.平面的法向量确定通常有两种方法:(1)利用几何体
中已知的线面垂直关系;(2)用待定系数法,设出法向量,根 据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求 解.由于一个平面的法向量有无数个,故可从方程组的解中 取一个最简单的作为平面的法向量. 2.用空间向量处理平行问题的常用方法: (1)线线平行转化为直线的方向向量平行.

(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直.
(3)面面平行转化为平面法向量的平行.


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