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高中数学统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件2新人教A版必修3_图文

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差),并作出合理的解释. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进 行初步评价的意识. 1.众数、中位数、平均数 最多的数据叫做这一组数据 (1)众数:在一组数据中,出现次数_____ 的众数. 大小 依次排列,把处在_______ 最中间位置 (2)中位数:将一组数据按_____ 的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn, 表示这组数据的平均数,x x1 ? x 2 ? ??? ? x n 则x =______________. n 2.方差、标准差 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则 (1)方差是 2 2 2 1 [ x1 ? x ? x 2 ? x ? ??? ? x n ? x ] 2 s =______________________________. n ? ? ? ? ? ? (2)标准差为 2 2 2 1 [ x1 ? x ? x 2 ? x ? ??? ? x n ? x ] n s=_______________________________. ? ? ? ? ? ? 1.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中 位数和众数的大小关系是 ( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 400 【解析】选D.平均数为 =50,中位数为50,众数为50,都相等. 8 2.一组样本数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,x,23, 28,30,50,其中,中位数为22,则x= ( ) A.21 B.15 C.22 D.35 【解析】选A.因为共有八个数,因此,当按从小到大的顺序排列 后,中位数等于最中间两数的平均数,即x+23=22×2,解得x=21. 3.设x1=4,x2=5,x3=6,则该样本的标准差为 【解析】由 x =5得 s= . 2 2 2 1 2 6 [ x1 ? x ? x 2 ? x ? x 3 ? x ] ? ? . 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 答案: 6 3 一、众数、中位数、平均数的应用 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都 能够为我们提供关于样本数据的特征信息. 根据下图回答下列问题: 探究1:通过频率分布直方图可以看出众数在哪个区域内? 提示:从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数在最高 的矩形的区域内,即[2,2.5). 探究2:如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 提示:在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等 于中位数.在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位 数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02. 探究3:如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值? 提示:平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此,每个小 矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数. 【探究总结】 对众数、中位数、平均数的三点说明 (1)众数通常用来表示样本数据的最大集中点,容易计算.但是它只能表达样本 数据中很少的一部分信息,因为它忽视了其他数据信息. (2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响,容易计算, 它仅利用了中间数据的信息. (3)平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也 越大. 二、标准差与方差 根据方差和标准差的公式思考下面的问题. 2 2 2 1 s ? [ x1 ? x ? x 2 ? x ? ??? ? x n ? x ] , n 2 2 2 1 2 s ? [ x1 ? x ? x 2 ? x ? ??? ? x n ? x ] . n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 探究1:标准差、方差的取值范围是什么?标准差、方差为0的样本数据有什么 特点? 提示:标准差、方差的取值范围均为[0,+∞). 标准差、方差为0时,样本各数据全相等,都等于样本平均数.表明数据没有波 动幅度,数据没有离散性. 探究2:标准差的大小对数据的离散程度有何影响? 提示:标准差越大,表明各数据的离散程度就越大;反之,标准差越小,表明各数 据的离散程度就越小.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中,标准差 常被理解为稳定性. 【探究总结】 1.方差的三点运算性质 假设一组数据x1,x2,…,xn的平均数为 x ,方差为s2,则 (1)新数据x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为 x+b,方差仍为s2. (2)新数据ax1,ax2,…,axn的平均数为a x ,方差为a2s2. (3)新数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a x+b,方差为a2s2. 2.数字特征的选择 当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可 能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,此时需要一个新 的统计量标准差(方差)刻画样本数据的离散程度.在实际应用中,常综合样本的 多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题做出决策. 类型一 众数、中位数、平均数的应用 1.(2014·石家庄高一检测)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到 样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A.46,45,56 C.47,45,56 B.46,45,53 D

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