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第6讲 正弦定理和余弦定理


第6讲
[最新考纲]

正弦定理和余弦定理(教师版)

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; 解决的问题

a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 两角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

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1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 , sin A > sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A > B (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° .(√) 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形. (√) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. [感悟· 提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大, (×) (√) (√)

正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 弦)定理实施边、角转换. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦(余

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 π C.6 ( ). π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1, c=4 2,B=45° ,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B,
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3 ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0.∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = =5. 5 4 答案 (1)A (2)5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一 边的对角, 该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角 定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C=( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= A.30° B.60° C.120° D.150° ( ).

2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= 2bc = = = 2bc 2bc 2, 又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.
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解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, ∴cos A= b2+c2-a2 1 =2,∴A=60° . 2bc

(2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关 系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的 关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注意 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是 A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ). ( ).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

a2+b2-c2 1 解析 (1)由 2c2=2a2+2b2+ab, 得 a2+b2-c2=-2ab, 所以 cos C= 2ab = 1 -2ab 1 =- <C<180° ,即△ABC 为钝角三角形. 2ab 4<0,所以 90° (2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B,
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所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 答案 (1)A (2)D 考点三 与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 正弦定理 审题路线 (1)a=bcos C+csin B ― ― → sin A=…?sin(B+C)=…?求出角 B. 边化角 1 ? ?S= acsin B, (2)由? 2 ?得出 a2 与 c2 的关系式?利用基本不等式求 ac 的 ? ?b2=a2+c2-2accos B 最大值即可. 解 (1)由已知及正弦定理, 得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. 由已知及余弦定理,得 π 4=a2+c2-2accos4.又 a2+c2≥2ac, 故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2
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因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 1 1 1 规律方法 在解决三角形问题中, 面积公式 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B 最常 用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已 知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去).因为 0<A<π, π 所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2 bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21. b c 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A bc 20 3 5 = a2 sin2A=21×4=7. 1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意根 据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解. 2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化.如 a2=b2+c2-2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A,利用 这些变形可进行等式的化简与证明. 答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 7 c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值;
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(2)求 sin(A-B)的值. [规范解答] (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B=9, 所 以 ac = 9 , 解 得 a = 3 , c = 3 ,

(6 分) (2)在△ABC 中, 4 2 asin B 2 2 sin B= 1-cos2B= 9 ,由正弦定理得 sin A= b = 3 . 因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cos A= 1-sin2A= . 3 10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 . [反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时, 一般全部化为角的关系, 或全部化 为边的关系. 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般 采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题 时,注意角的限制范围. (2)在本题第(2)问中,不会判断角 A 为锐角,易造成求错 cos A,导致 sin(A-B) 的结果出错. 答题模板 第一步:定已知.即梳理已知条件,确定三角形中已知的边与角; 第二步:选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式; 第三步:代入求值. 【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得 3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2, ? ?
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π π 5π π 又 0<A<π,所以-6<A-6< 6 ,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2. 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120° 解析 由 a2-c2+b2= 3ab,得 cos C= 答案 A 3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( 3 A. 2 ). B. 3 C.2 3 D.2 a2+b2-c2 3ab 3 = = . 2ab 2ab 2 ,所以 C=30° ).

1 1 3 3 解析 S=2×AB· ACsin 60° =2×2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2=AB2 +AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为( A.2 3+2 ). C.2 3-2 D. 3-1

B. 3+1

b c 解析 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2, 2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B

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4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( A.2 3 ). B.2 C. 2 D.1

a b a b 1 3 3 解析 由sin A=sin B,得sin A=sin 2A,所以sin A=2sin Acos A,故 cos A= 2 , π π π 又 A∈(0,π),所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2. 答案 B 5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即 sin(B+C) =sin2 A,而 B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0<A π <π,sin A>0,∴sin A=1,即 A=2. 答案 A 二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. π? π ? 解析 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B=4,根据 ? ? a b 2 2 1 π 正弦定理可知sin A=sin B,可得sin A= π,所以 sin A=2,又 a<b,故 A=6. sin4 π 答案 6 7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2 -b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 解析 由余弦定理,得 a2+c2-b2 3 = cos B ,结合已知等式得 cos B · tan B = 2ac 2 ,∴ ).

3 π 2π sin B= 2 ,∴B=3或 3 .
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π 2π 答案 3或 3 8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1, 1 b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. 1 解析 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C= 15 b c bsin C 2 15 15 4 .由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c=2, 所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 答案 15 4 15 ). 4

三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2 c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 1 解 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C, 又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C, 1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5. 10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 3 解 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理,得sin A
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2 6 =sin 2A, 2sin Acos A 2 6 6 所以 sin A = 3 ,故 cos A= 3 . 6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 . 又因为∠B=2∠A, 1 2 2 所以 cos B=2cos2A-1=3,所以 sin B= 1-cos2B= 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . asin C 所以 c= sin A =5. 能力提升题组 一、选择题 → → 2 2 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB· AC的 最大值为( 1 A.3 4 B.5 ). C.1 D.3

1 4 解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,即 → → 1 bc≤3,所以AB· AC=bccos A=3bc≤1. 答案 C 2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ ABC 的形状为( ).

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能 解析 由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大, 所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 a2+b2-c2 c <ca +cb ,所以 c <a +b .根据余弦定理,得 cos C= 2ab >0,所以 0
3 2 2 2 2 2

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π <C<2,即三角形为锐角三角形. 答案 A 二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3, 则 sin∠BAC=________. 解析 如图,令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β), ∵M 为 BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB 中,由正弦定理知,

|AM| |BM| sin B=sin β, |AM|· sin?α-β? |AM| 即 = , π sin β ? ? sin?2-α? ? ? 1 2 2 ∵sin β=3,∴cos β= 3 , 1 ?2 2 ? 1 ? ∴3=cos α· sin α-3cos α? 3 ? ? 2 2 1 = 3 sin αcos α-3cos2α, 整理得 1=2 2sin αcos α-cos2α, 2 2tan α-1 所以 =1, tan2 α+1 解得 tan α= 2,故 sin α= 答案 6 3 6 . 3

三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B;
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→ → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值. 解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B, 得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3. → → → → → → (2)因为BC· BA=4,所以BC· BA=|BC|· |BA|· → → cos B=4,所以|BC|· |BA|=12,即 ac=12.① a2+c2-b2 1 又因为 cos B= 2ac =3,整理得,a2+c2=40.②
2 2 ?a +c =40, ?a=2, ?a=6, 联立①②? 解得? 或? ?ac=12, ?c=6 ?c=2.

第6讲
辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断

正弦定理和余弦定理(学生版)

(1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B(2)(教材练习改编)在△ ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9.

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9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.(6)在△ ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 π C.6 ( ). π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1, c=4 2,B=45° ,则 sin C=______. 训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C=( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A=( ).

A.30° B.60° C.120° D.150° 考点二 判断三角形的形状

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ). ).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.等腰三角形 考点三 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
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已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已 知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 7 c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120° 3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( 3 A. 2 ). B. 3 C.2 3 D.2 ).

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为( A.2 3+2 ). C.2 3-2 D. 3-1
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B. 3+1

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( A.2 3 ). B.2 C. 2 D.1

5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2 -b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1, 1 b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. 三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2 c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 → → 2 2 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB· AC的 最大值为( ). ).

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1 A.3

4 B.5

C.1

D.3

2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ ABC 的形状为( ).

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能 二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3, 则 sin∠BAC=________. 三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B; → → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值

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