18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第2课时两点式学案苏教版必修2

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第 2 课时 两点式
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形 式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
知识点一 直线方程的两点式 思考 1 已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中 x1≠x2,y1≠y2,求通过这两点的直线方程.

思考 2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗?为什么?过点(2,3),(5,3)的直线 呢?

梳理
名称 两点 式

已知条件
P1(x1,y1),P2(x2, y2),其中 x1≠x2, y1≠y2

示意图

方程
yy2--yy11=
x-x1 x2-x1

使用范围 斜率存在且不为 0

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知识点二 直线方程的截距式 xy
思考 1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用5+7=1 表示吗? 思考 2 已知两点 P1(a,0),P2(0,b),其中 a≠0,b≠0,求通过这两点的直线方程.

梳理 名称
截距 式

已知条件
在 x,y 轴上的截 距分别为 a,b 且 a≠0,b≠0

示意图

方程

使用范围

xa+yb=1

斜率存在且不为 0,不过原点

类型一 直线的两点式方程 例 1 已知三角形的三个顶点是 A(4,0),B(6,7),C(0,3),求三边所在的直线方程.

反思与感悟 (1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式 方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程. (2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错 误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系. 跟踪训练 1 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,1),B(5,1),C(2 3-1,7-2 3). (1)求△ABC 三边所在直线的方程; (2)求△ABC 内角 A,B 的大小.
2

类型二 直线的截距式方程 命题角度 1 与三角形有关的直线方程 例 2 过点 P(1,3),且与 x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是 ________. 反思与感悟 求解此类问题的两个步骤:一是待定系数法,即根据题中条件设出直线方程, 如在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b(a≠0,b≠0)的直线方程常设为xa+yb=1;二是方程(组) 思想,即根据已知条件,寻找关于参数的方程(组),解方程(组),得参数的值. 跟踪训练 2 直线 l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 2,两截距之差为 3, 求直线 l 的方程.
命题角度 2 判断直线的条数 例 3 过点 A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条. 反思与感悟 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在 一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程, 则一定要注意考虑“零截距”的情况. 跟踪训练 3 过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.
1.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________. 2.若直线 l 的方程为-x2+y2=1,则该直线的倾斜角为____________. 3.经过 P(4,0),Q(0,-3)两点的截距式方程为________________________. 4. 过 点 (5,2) , 且 在 x 轴 上 的 截 距 是 在 y 轴 上 的 截 距 的 2 倍 的 直 线 方 程 是 ____________________. 5.下列四个结论: ①方程 k=yx- +21与方程 y-2=k(x+1)可表示同一直线;
3

②直线 l 过点 P(x1,y1),倾斜角为 90°,则其方程是 x=x1; ③直线 l 过点 P(x1,y1),斜率为 0,则其方程是 y=y1; ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号) 1.当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式yy2--yy11=xx2--xx11求它的方 程,此时直线的方程分别是 x=x1 和 y=y1,而它们都适合(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)(x- x1),即两点式的整式形式,因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2 -y1)(x-x1)的形式. 2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形,用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线 与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时,没有截距式方 程,但直线过原点时两截距存在且同时等于零.
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答案精析

问题导学

知识点一

思考 1 y-y1=yx22--yx11(x-x1), 即yy2--yy11=xx2--xx11. 思考 2 不能,因为 1-1=0,而 0 不能做分母.过点(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式

表示.

知识点二

思考 1 能.由直线方程的两点式得

y7- -00=x0--55,即x5+y7=1.

思考 2 由直线方程的两点式,

得yb- -00=x0- -aa,

即xa+yb=1.

题型探究

例1



直线

AB



A,B

y-0 x-4 两点,由两点式得7-0=6-4,

整理得 7x-2y-28=0.

∴直线 AB 的方程为 7x-2y-28=0.

直线 AC 过 A(4,0),C(0,3)两点,由两点式得y3- -00=x0- -44,

整理得 3x+4y-12=0.

∴直线 AC 的方程为 3x+4y-12=0.

直线 BC 过 B(6,7),C(0,3)两点,由两点式得y3- -77=x0- -66,

整理得 2x-3y+9=0.

∴直线 BC 的方程为 2x-3y+9=0.

跟踪训练 1 解 (1)直线 AB 过点 A(1,1),B(5,1),由于 A,B 的纵坐标相等,所以直线 AB

的方程为 y=1.

直线 AC 过点 A(1,1),C(2 3-1,7-2 3),

5

由两点式方程可得 y-1 = x-1 , 6-2 3 2 3-2

整理得 3x-y+1- 3=0, 这就是直线 AC 的方程.

直线 BC 过点 B(5,1),C(2 3-1,7-2 3),

y-1 x-5

由两点式方程可得





6-2 3 2 3-6

整理得 x+y-6=0,这就是直线 BC 的方程.

(2)因为 kAC= 3,所以直线 AC 的倾斜角 α =60°.又 AB 平行于 x 轴,所以∠A=60°. 因为 kBC=-1, 所以直线 BC 的倾斜角 β =135°. 又 AB 平行于 x 轴,所以∠B=45°. 例 2 3x+y-6=0 跟踪训练 2 解 由题设知,直线 l 不过原点,且在 x 轴、y 轴上的截距都大于 0,设直线 l 的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),

则由已知可得???12ab=2,



??|a-b|=3.

当 a≥b 时,①可化为???12ab=2, ??a-b=3,

解得?????ab= =41, 或?????ab= =- -14, (舍去);
当 a<b 时,①可化为???12ab=2, ??b-a=3,

解得?????ab= =14, 或?????ab= =- -41, (舍去). 所以直线 l 的方程为x4+y=1 或 x+y4=1,即 x+4y-4=0 或 4x+y-4=0. 例3 3 跟踪训练 3 2 当堂训练

6

1.x-y+3=0

2.45°

xy 3.4-3=1

4.x+2y-9=0 或 2x-5y=0 5.②③

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