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2014华师一附中高二上学期拔高训练题 直线与圆(3)

2014 华师一附中高二上学期拔高训练题训练 直线与圆 3
一、典型例题
例 1、已知定点 P(6,4)与定直线?1:y=4x,过 P 点的直线?与?1 交于第一象限 Q 点,与 x 轴正半轴交于点 M,求使△OQM 面积最小的直线?方程。 分析: 直线?是过点 P 的旋转直线,因此是选其斜率 k 作为参数,还是选择点 Q(还是 M)作为参数 是本题关键。 通过比较可以发现,选 k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设 Q(x0,4x0) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴
4 ? 4x 0 4 ? 6 ? x0 6?m 5x 0 x0 ?1

解之得: m ? ∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0 ∴ S ?OMQ ?

10x 0 2 1 | OM | 4x 0 ? 2mx 0 ? 2 x0 ?1

令 x0-1=t,则 t>0
S? 10( t ? 1) 2 1 ? 10( t ? ? 2) ≥40 t t

当且仅当 t=1,x0=11 时,等号成立 此时 Q(11,44) ,直线?:x+y-10=0 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基本不等式再此目 标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k,截距 b,角度θ ,点的坐标都是常 用参数,特别是点参数。 例 2、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程; (2)AB 边中垂线方程; (3)∠A 平分线所在直线方程。 分析: (1)∵ kBC=5 ∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ?

1 5

1

∴ AD 所在直线方程 y+1= ? 即 x+5y+3=0

1 (x-2) 5

(2)∵ AB 中点为(3,1) ,kAB=2 ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0 (3)设∠A 平分线为 AE,斜率为 k,则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 ∵ kAC=-1,kAB=2 ∴

k ?1 2 ? k ? 1 ? k 1 ? 2k
2

∴ k +6k-1=0 ∴ k=-3- 10 (舍) ,k=-3+ 10 ∴ AE 所在直线方程为( 10 -3)x-y-2 10 +5=0 评注:在求角 A 平分线时,必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问 题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程,设 P(x,y)为直线 AE 上任一 点,则 P 到 AB、AC 距离相等,得 于 AE 对称。 例 3、 (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程; (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相交 的弦长为 2 2 ,求圆方程。 分析: 研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用, 以降低运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。 (1)法一:从数的角度 若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得:(x0-5) +(y0-2) =(x0-3) +(y0-2) 又 2x0-y0-3=0
?x 0 ? 4 两方程联立得: ? ,|PA|= 10 ?y 0 ? 5
2 2 2 2

| 2x ? y ? 5 | 5

?

| x ? y ? 1| 2

,化简即可。还可注意到,AB 与 AC 关

∴ 圆标准方程为(x-4) +(y-5) =10 若选用一般式:设圆方程 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心( ?
2 2

2

2

D E ,? ) 2 2

2

? 2 ?5 ? 2 2 ? 5D ? 2E ? F ? 0 ? ∴ ?3 2 ? 2 2 ? 3D ? 2E ? F ? 0 ? D E ?2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 ? 0 2 2 ?

? D ? ?8 ? 解之得: ?E ? ?10 ?F ? 31 ?

法二:从形的角度
?2 x ? y ? 3 ? 0 AB 为圆的弦, 由平几知识知, 圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上, 则由 ? 得圆心 P (4, ?x ? 4

5) ∴ 半径 r=|PA|= 10 显然,充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2) +(a-3)
2 2

又弦长 2 2 ? 2 R 2 ? d 2 , d ? ∴ R2 ? 2 ?
2

| ?2a ? a ? 1 | 2

(3a ? 1) 2 2
2

∴ 4(a+1) +(a-3) =2+ ∴ a=-7 或 a=-3

(3a ? 1) 2 2

当 a=-7 时,R= 52 ;当 a=-3 时,R= 244 ∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 例 4、 已知方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆, (1) 求实数 m 取值范围; (2) 求圆半径 r 取值范围; (3)求圆心轨迹方程。 分析: (1)m 满足[-2(m+3)] +[2(1-4m )] -4(16m +9)>0,即 7m -6m-1<0 ∴ ?
2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2

1 ? m ?1 7

3 16 (3)半径 r= ? 7m 2 ? 6m ? 1 ? ? 7(m ? ) 2 ? 7 7
3

∵ ?

1 ? m ?1 7
4 7 3 时, rmax ? 7 7

∴ m?

∴ 0<r≤

4 7 7

?x ? m ? 3 (3)设圆心 P(x,y) ,则 ? 2 ? y ? 4m ? 1

消去 m 得:y=4(x-3) -1 又? ∴

2

1 ? m ?1 7 20 ?x?4 7
2

∴ 所求轨迹方程为(x-3) =
2 2

1 20 (y+1)( ? x ? 4) 4 7

例 5、如图,过圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线?,M 为?上任一点,过 M 作圆 O 的另一条切线,切点为 Q,求△MAQ 垂心 P 的轨迹方程。 分析: 从寻找点 P 满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连 OQ,则由 OQ⊥MQ,AP⊥MQ 得 OQ∥AP 同理,OA∥PQ 又 OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2
?x ? x 设 P(x,y),Q(x0,y0),则 ? 0 ?y 0 ? y ? 2

又 x0 +y0 =4 ∴ x +(y-2) =4(x≠0) 评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆的 弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
2 2

2

2

4

同步练习
(一)选择题 1、若直线(m -1)x-y+1-2m=0 不过第一象限,则实数 m 取值范围是 A、-1<m≤
2

1 2

B、 ?

1 ≤m≤1 2

C、

1 <m<1 2

D、

1 ≤m≤1 2

2、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、 ?

? ,则 m 值为 4

1 或-3 3

B、-3 或

1 3

C、-3 或 3

1 D、 或 3 3

3、点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 A、 2 B、 6 C、 2 2 D、 10

4、过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A、 1 条
2 2

B、2 条

C、3 条

D、4 条
0

5、圆 x +y -4x+2y+C=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90 ,则 C 的值是 A、 -3
2

B、3
2 2

C、 2 2

D、8

6、若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 距离等于 1,则半径 r 取值范 围是 A、 (4,6) B、[4,6) C、 (4,6] D、[4,6]

7、 将直线 x+y-1=0 绕点 ( 1, 0) 顺时针旋转 相切,则正数 R 等于 A、

? 2 2 2 后, 再向上平移一个单位, 此时恰与圆 x +(y-1) =R 2

1 2
2 2

B、

2 2

C、1

D、 2

8、 方程 x +y +2ax-2ay=0 所表示的圆 A、关于 x 轴对称 C、关于直线 x-y=0 对称 (二)填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为(3,-2) ,则过点(a,b) , (d,e)的直线方 程是___________________。 10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ ,则直线(m+3)x+y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是__________________。 B、关于 y 轴对称 D、关于直线 x+y=0 对称

5

?3x ? 8 y ? 15 ? 0 ? 11、已知 x,y 满足 ?5x ? 3y ? 6 ? 0 ,则 x-y 的最大值为________,最小值为________。 ?2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ?

12、过点 A(2,1) ,且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆:(x-1) +y =1,作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是__________________。
2 2

(三)解答题 14、已知 y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程,A(-4,2) ,B(3,1) ,求点 C 坐标,并 判断△ABC 形状。

15、已知 n 条直线:x-y+ci=0(i=1,2,…,n) ,其中 C1= 2 ,C1<C2<C3<…<Cn,且每相邻两 条之间的距离顺次为 2,3,4,…,n, (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与坐标轴围成的三 角形面积: (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形面积。

16、已知与曲线 C:x +y -2x-2y+1=0 相切的直线?交 x、y 轴于 A、B 两点,O 为原点,|OA|=a, |OB|=b,a>2,b>2, (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; (3)求 △AOB 面积的最小值。

2

2

17、已知两圆 x +y =4 和 x +(y-8) =4, (1)若两圆分别在直线 y=

2

2

2

2

5 x+b 两侧,求 b 取值范 2

围; (2)求过点 A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率 k 的范围。

18、当 0<a<2 时,直线?1:ax-2y-2a+4=0 与?2:2x+a y-2a -4=0 和坐标轴成一个四边形,要使 围成的四边形面积最小,a 应取何值?

2

2

6

参考答案
(一)1、D 2、C 3、C 10、2 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D

(二)9、3x-2y+C=0

11、6,-5

12、x+y=3 或 x-2y=0

1 1 13、 (x ? ) 2 ? y 2 ? (x≠0) 2 4
(三)14、C(2,4) ,∠C=90 15、 (1) C n ?
0

2 n (n ? 1) 2

(2)

n 2 ( n ? 1) 2 4

(3)n

3

16、 (1)利用圆心到直线距离等于半径 (2)(x-1)(y-1)= (3) 2 2 ? 3 17、 (1)画图 (2)k∈( ? 18、 3≤b≤5
5 5 , ) 2 2

1 (x>1,y>1) 2

1 2

一、选择题
102000 ? 9 102001 ? 9 102000 ? 1 102001 ?1 , Q ? 2002 1、设 M ? 2001 , P ? 2001 ,则 M 与 N、 P 与 Q 的 , N ? 2002 10 ? 100 10 ? 100 10 ? 1 10 ?1
大小关系为 A. M ? N , P ? Q C. M ? N , P ? Q 解:设点 A(?1, ?1) 、点 B(10
2001

( B. M ? N , P ? Q D. M ? N , P ? Q

)

,102000 ) 、点 C(102002 ,102001 ) ,则 M、N 分别表示直线 AB、AC

7

的斜率,BC 的方程为 y ?

同理,得 P ? Q 。 答案选 B。

1 x ,点 A 在直线的下方,∴ K AB ? K AC ,即 M>N; 10
仔细体会题中 4 个代数式的特点和“数形结合”的好处

2、已知两圆相交于点 A(1,3)和点B(m, ?1) ,两圆圆心都在直线 l : x ? y ? c ? 0 上,则 m ? c 的值 等于 A.-1 B.2 C.3 D.0 ( )

解:由题设得:点 A, B 关于直线 x ? y ? c ? 0 对称, k AB ?

?4 1 ? ? ? ?1 ? m ? 5 ; m ?1 kl 线段 AB 的中点 (3,1) 在直线 x ? y ? c ? 0 上,? c ? ?2 ? m ? c ? 3 ,答案选 C。
( )

3、三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为 A.15 B.30 C.36 D.以上都不对 解:设三角形的另外两边长为 x,y,则

?0 ? x ? 11 ? ?0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?

;注意“=”号,等于 11 的边可以多于一条。

点 ( x, y ) 应在如右图所示区域内: 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11;当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11;当 x=5 时,y=7,8,9,10,11。以上共有 15 个,x,y 对调又有 15 个。 再加(6,6) ,(7,7) ,(8,8) ,(9,9) ,(10,10) 、(11, 11) ,共 36 个,答案选 C。 4、设 m ? 0 ,则直线 2( x ? y) ? m ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? m 的位置关系为
2 2





A.相切

B.相交

C.相切或相离

D.相交或相切

解:圆心 (0, 0) 到直线的距离为 d ? ∵d ?r ?

1? m 1 ? m ? ( m ? 1) 2 ? 0 , 2 2

1? m ,圆半径 r ? m 。 2

∴直线与圆的位置关系是相切或相离,答案选 C。 5、已知向量 m ? (2cos? ,2sin?

?

? ? ? ? 若 m 与 n 的夹角为 60 ,则直线 ),n ? (3cos? ,3sin ? ),


l : x cos? ? y sin? ?
A.相交但不过圆心

1 1 ? 0 与圆 C : ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 的位置关系是( 2 2
B.相交过圆心 C.相切 D.相离

?? ? m?n 6(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) 1 ? ? 解: ?? ? cos(? ? ? ) ? cos 600 ? , 2?3 2 | m|?| n |

8

圆心 C (cos ? , ? sin ? ) 到直线 l 的距离 d ?| cos(? ? ? ) ?

1 2 |? 1 ? ?r, 2 2

? 直线与圆相离,答案选 D。

复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式

6、已知圆 O : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 36 和点 A(2, 2), B(?1, ?2) ,若点 C 在圆上且 ?ABC 的面积为

5 ,则满足条件的点 C 的个数是 2
A.1 B.2 C.3 D.4 解:由题设得: AB ? 5 ,? S ? ABC ?





5 ,? 点 C 到直线 AB 的距离 d ? 1 , 2
?l : 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 ?l2 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0

直线 AB 的方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,与直线 AB 平行且距离为 1 的直线为 ? 1

得:圆心 O(3,5) 到直线 l1 的的距离 d1 ? 6 ? r ,到直线 l 2 的距离为 d2 ? 4 ? r ,

? 圆 O 与直线 l1 相切;与直线 l2 相交, ? 满足条件的点 C 的个数是 3,答案选 C
7、 若圆 C1 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 ? 1 始终平分圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的周长,则实数 a , b 应满足的关系是 A. a ? 2a ? 2b ? 3 ? 0
2

( B. a ? 2a ? 2b ? 5 ? 0
2

)

C. a ? 2b ? 2a ? 2b ? 1 ? 0
2 2

D. 3a ? 2b ? 2a ? 2b ? 1 ? 0
2 2

2 2 2 2 2 解:公共弦所在的直线 l 方程为: ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) -4 ? ?-? ?( x ? a) ? ( y ? b) -b -1? ? =0 ,

即: 2(1 ? a) x ? 2(1 ? b) y ? a 2 ? 1 ? 0 ,

? 圆 C1 始终平分圆 C2 的周长,? 圆 C2 的圆心 ? ?1, ?1? 在直线 l 上,
? ?2(1 ? a) ? 2(1 ? b) ? a2 ?1 ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 2b ? 5 ? 0 ,答案选 B。
8、在平面内,与点 A(1,2) 距离为 1, 与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 解:直线 l 与点 A(1,2) 距离为 1,所以直线 l 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线, 同理直线 l 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线,即两圆的公切线, ( )

? AB ? 5 ? 3 ,? 两圆相交,公切线有 2 条,答案选 B。
想一下,如果两圆相切或相离,各有几条公切线? B

二、填空题
1、直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的 距离之差最大,则 P 点坐标是______ ___. 解:A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的 交点即为所求的 P 点。得 P(5,6) 。 想一想,为什么,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点? P 如果 A、B 两点在直线的同一边,情况又如何? ' C A ' A

P

B '

9

2、设不等式 2 x ? 1 ? m( x2 ? 1) 对一切满足 m ? 2 的值均成立,则 x 的范围为 解:原不等式变换为 ( x ?1)m ? (1 ? 2 x) ? 0 ,
2



设: f (m) ? ( x2 ?1)m ? (1 ? 2 x) , (?2 ? m ? 2) ,按题意得: f (?2) ? 0, f (2) ? 0 。 即: ?
2 ? 7 ?1 3 ?1 ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? x ? 。 2 2 2 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ? ?

3、 已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 , 则 C 上各点到 l 的距离的最大值与最
2 2

小值之差为



解: 圆心 C ?1,1? 到直线的距离=

1 ?1 ? 4 1?1

? 2 2 ? r ? 2 ,? 直线与圆相离,

? C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差= 2r = 2 2 。
1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 2 2 4、直线 ? 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为______________。 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
解:直线方程消去参数 t 得: x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ,得弦长为 14 。 ) ? 2 2

5、已知圆 M : ( x ? cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1,直线 l : y ? kx ,以下命题成立的有___________。 ①对任意实数 k ②对任意实数 k ③对任意实数 ? ④对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相切; 与 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点; ,必存在实数 k ,使得直线 l 和圆 M 相切 ,必存在实数 ? ,使得直线 l 和圆 M 相切

解:圆心坐标为 M ? ? cos? ,sin ? ?

d?

-k cos ?-sin ? 1+k 2



1+k 2 sin (?+?) ? sin(? ? ? ) ? 1 ? r ,所以命题②④成立。 1+k 2

仔细体会命题③④的区别。 6、点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,反射光线与圆 C : x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0
2 2

解:光线 l 所在的直线与圆 C 关于 x 轴对称的圆 C 相切。圆心 C 坐标为 ? 2, ?2 ? ,半径 r ? 1 ,
' '

相切,则光线 l 所在直线方程为____

__ 。

? 直线过点 A(-3,3),设 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即: kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 2k ? 2 ? 3k ? 3 ' 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ? 1 , ? 12k 2 ? 25K ? 12 ? 0 2 k ?1

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解得: k ? ?

4 3 或 k ? ? ,得直线 l 的方程: 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 。 3 4

m x 与圆 x 2 ? y 2 ? mx ? ny ? 4 ? 0 交于 M 、N 两点, 且 M 、N 关于直线 x ? y ? 0 2 对称,则弦 MN 的长为 。 m x 与直线 x ? y ? 0 垂直 ? m ? 2 ,由圆心在直线 x ? y ? 0 上 ? n ? ?2 , 解:由直线 y ? 2 ?1 ? 1 ? 0 圆方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 6 ,圆心为 ? ?1,1? ,圆心到直线的距离 d ? ? 2, 1?1
7、 直线 y ?

? 弦 MN 的长= 2 r 2 ? d 2 ? 2 6 ? 2 ? 4
8 、 过 圆 x2 ? y 2 ? 4 内 一 点 A(1,1) 作 一 弦 交 圆 于 B、C 两 点 , 过 点 B、C 分 别 作 圆 的 切 线

PB、PC ,两切线交于点 P ,则点 P 的轨迹方程为
解:设 P( x0 , y0 ) ,根据题设条件,线段 BC 为点 P 对应圆上的切点弦,



? 直线 BC 的方程为 x0 x ? y0 y ? 4 ,? A 点在 BC 上,? x0 ? y0 ? 4 , 即 P 的轨迹方程为: x ? y ? 4 。 注意掌握切点弦的证明方法。
三、解答题
1、已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的 平行线与函数 y ? log 2 x 的图象交于 C、D 两点。 (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标。 解: (1)设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2 ,由题设知 x1 ? 1 、x2 ? 1 ,? 得点 A( x1 ,log8 x1 )、B( x2 ,log8 x2 ) , C( x1 ,log2 x1 )、D( x2 ,log2 x2 ) ,

? A、B 在过点 O 的直线上,?
kOC ? log 2 x1 3log8 x1 ? ,kOD x1 x1

log8 x1 log8 x2 ? , x1 x2 log 2 x2 3log8 x2 ,得: kOC ? kOD ,? O、C、D 共线。 ? ? x2 x2

(2)由 BC 平行于 x 轴,有 log2 x1 ? log8 x2 ? x2 ? x13 代入

log8 x1 log8 x2 ? ,得 x13 log8 x1 ? 3x1 log8 x1 ,? x1 ? 1 ,? log8 x1 ? 0 x1 x2

? x13 ? 3x1 , x1 ? 3 ,得 A( 3,log8 3) 。
2、设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? na ? n(n ?1)b , (n ? 1, 2,?) ,a、b 是常数且 b ? 0 。 (1)证明: ?an ? 是等差数列; (2)证明:以 ? an , (3)设 a ? 1, b ?

? ?

Sn ? ? 1? 为坐标的点 Pn , (n ? 1, 2,?) 落在同一直线上,并求直线方程。 n ?

1 , C 是以 (r , r ) 为圆心, r 为半径的圆 (r ? 0) ,求使得点 P1、P2、P3 都落 2

在圆 C 外时,r 的取值范围。

11

解: (1)证明:由题设得 a1 ? S1 ? a ;当 n≥2 时,

an ? an?1 ? ?a ? 2(n ?1)b? ? ?a ? 2(n ? 2)b? ? 2b 。

an ? Sn ? Sn?1 ? ?na ? n(n ?1)b? ? ?(n ?1)a ? (n ?1)(n ? 2)b? ? a ? 2(n ?1)b ,

? 所以 ?an ? 是以 a 为首项, 2b 为公差的等差数列。证毕; (2)证明:∵ b ? 0 ,对于 n≥2, ? Sn ? ? S1 ? na ? n(n ? 1)b ?a ? ? 1? ? ? ? 1? (n ? 1)b 1 n ?? ? ?1 a kPn P1 ? ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2 1 ? S ? ∴以 ? an , n ? 1? 为坐标的点 Pn ,(n ? 1, 2,?) 落在过点 P 的同一直线上, 1 (a, a ?1) ,斜率为 2 n ? ? 1 此直线方程为: y ? (a ? 1) ? ( x ? a ) ,即 x ? 2 y ? a ? 2 ? 0 。 2 1 ? 1? (3)解:当 a ? 1, b ? 时,得 P 1 ?1, 0 ? 、P 2 ? 2, ?、P3 ? 3,1? ,都落在圆 C 外的条件是 2 ? 2?
?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? 2 2 2 ? ?(r ? 3) ? ( r ? 1) ? r ?( r ? 1 2 )? 0 ? 17 2 ?? ?r ? 5r ? ? 0 4 ? 2 ? ?r ? 8r ? 10 ? 0
① ② ③

由不等式①,得 r≠1 5 5 由不等式②,得 r< - 2 或 r> + 2 2 2 由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6 再注意到 r>0,? 1<

5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2 5 2

? 使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪(1, - 2 )∪(4+ 6 ,+∞)。
3、已知 a ? 1 、 b ? 1 、 c ? 1 ,求证: abc ? 2 ? a ? b ? c 证一: a ? 1 ? ?1 ? a ? 1 , b ? 1 ? ?1 ? b ? 1 , c ? 1 ? ?1 ? c ? 1

? ? b ?1 ? bc ? 1 ? ?1 ? bc ? 1 , ? ? ? c ?1
设函数 y ? f (a) ? abc ? 2 ? (a ? b ? c) ? (bc ? 1)a ? (1 ? b) ? (1 ? c) ,

则:

f (?1) ? (1 ? bc) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ? 0 ? ?? f (1) ? (bc ? 1) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0?

当 a ? (?1,1) ,即 a ? 1 时,上述函数 y ? f (a ) 表示的直线都在 a 轴上方,即:

a ? 1 、 b ? 1 、 c ? 1 ,不等式 abc ? 2 ? a ? b ? c 成立,证毕。
因为题中变量较多,考虑“固定”某变量(这里是 a) ,然后利用一次函数的性质来证明代数不等
12

式的方法值得借鉴。 证二:? a ? 1 、 b ? 1 ,? (a ? 1)(b ? 1) ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 ,即: a ? b ? ab ? 1 ? ①;

? ? a ?1 ? ab ? 1 、 c ? 1 ? ab ? c ? abc ? 1 ? ②(将 ab 看作一个数,利用①的结论) ?? ? ? b ?1 由①式得 ab ? a ? b ? 1 , a ? b ? 1 ? c ? ab ? c ? abc ? 1 , 即: abc ? 2 ? a ? b ? c ,证毕。 仔细体会上述递推证明的方法, 你能进一步推广运用吗?如试证明 a ? b ? c ? d ? e ? abcde ? 4 , 其中 a, b, c, d , e ? (?1,1) 。
4、求与圆 x2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程

?(a ? 1)2 ? (b ? 2)2 ? (2 5)2 ?a ? ?3 ? 解一:设所求圆的圆心为 C (a, b) ,则 ? b , ?? 2 ( 1) ?b ? 6 ? ? ?? ? a ?1 2 ? 所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6)2 ? 20 。 注:因为两圆心及切点共线得(1)式 ??? ? 1 ???? 1 解二:设所求圆的圆心为 C (a, b) ,由条件知 OP ? OC ? (?1, 2) ? (a, b) 3 3 ?a ? ?3 ,所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 。 ?? ?b ? 6
仔细体会解法 2,利用向量表示两个圆心的位置关系,同时体现了共线关系和长度关系,显得更 y 简洁明快,值得借鉴。

5、如图,已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线

D N B M

y ? 3x 均相切,切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、

x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为 C 、 D 。 (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N
截得的弦的长度;

x C O A 解: (1)由于圆 M 与 ?BOA 的两边相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径,则 M 在 ?BOA 的角平分线上,同理, N 也在 ?BOA 的角平分线上, 即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为 ?BOA 的角平分线,

? M 的坐标为 M ( 3,1) ,? M 到 x 轴的距离为 1,即:圆 M 的半径为 1, ? 圆 M 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ; 设圆 N 的半径为 r ,由 Rt ?OAM ~ Rt ?OCN ,得: OM : ON ? MA : NC , 2 1 ? ? r ? 3 , OC ? 3 3 ,? 圆 N 的方程为: ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ; 即 3? r r (2)由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得的弦长, 3 ( x ? 3 ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 此弦所在直线方程为 y ? 3 3 3 ? 3 ?3 ? 3 3 ? 圆心 N 到该直线的距离 d ? ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 2 1? 3
13

注:也可求得 B 点坐标 ?

? 3 3? ? ? 2 , 2 ? ,得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,再根据圆 ? ?

心 N 到直线 l 的距离等于 得弦长。

3 ,求得答案 33 ;还可以直接求 A 点或 B 点到直线的距离,进而求 2

6 、已知两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ; C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,直线 l : x ? 2 y ? 0 ,求经过圆

C1、C2 的交点且和直线 l 相切的圆的方程。
解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 4) ? 0 , 即: (1 ? ? ) x 2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 4? ? 0 ,得:

1 ? ?2 ? ? ?4 ? 2 ? ?1? ? ? ? 1 圆心坐标为 ? , ? ? ?? ? ? 16? ?, ? ;半径 r ? 2 ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? 1? ? ? ? 所求圆与直线 l 相切,? 圆心到直线的距离
? ?2 ? ? ?4 ? ?1? ? ? 1 4 ? ? ? ?? ? ? 16? ? 1? ? 1? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? d? ?r? ,解得 ? ? ?1 ,舍去 ? ? ?1 2 5 ? 所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程( ? =-1 )
y 的最大值、 2 y ? x 的最小值。 x y 2 2 解: (1)问题可转化为求圆 ( x ? 2) ? y ? 3 上点到原点的连线的斜率 k ? 的最大值。 x 设过原点的直线方程为 y ? kx ,由图形性质知当直线斜率取最值时,直线与圆相切。 ?2k ? 0 ?x? 得: ? 3 , ? k ? ? 3 ,? ? ? ? 3 2 k ?1 ? y ?max ? ? x ? ?2 ? 3 cos ? 2 2 (2)? x, y 满足 ( x ? 2) ? y ? 3 , ? ? ? ? y ? 3 sin ?
7、如果实数 x 、 y 满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,求
2 2

2

2

?2x ? y ? ?4 ? 2 3 cos? ? 3sin ? ? ?4 ? 15 sin(? ? ?)
注意学习掌握解(2)中利用圆的参数方程将关于 x,y 的二元函数转化为关于角 ? 的一元函数,从 而方便求解的技巧。 8、已知圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 , (m ? R) 。
2 2

??2x ? y?min ? ?4 ? 15 。

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)解法 1: l 的方程 ( x ? y ? 4) ? m(2 x ? y ? 7) ? 0 , (m ? R)

?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 即 l 恒过定点 A(3,1) ?? ?? ? x ? y ? 4 ? 0, ? y ? 1, 圆心坐标为 C (1, 2) ,半径 r ? 5 , AC ? 5 ? r , ∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点。
14

5m2 ? 6m ? 2 ? d ? 5 ? 5 ? r ,所以直线 l 恒与圆 C 相交于两点。 1? 2 1 2m ? 1 3 ? ? ,? kl ? 2 ,?? ?2?m?? (2)弦长最小时, l ? AC ,? k AC ? 3 ?1 2 m ?1 4 代入 (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 ,得 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 。 注意掌握以下几点: (1)动直线斜率不定,可能经过某定点; (2)直线与圆恒有公共点 ? 直线
经过的定点在圆内,此结论可推广到圆锥曲线; (3)过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为 垂直于直径的弦。 9、已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 和直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 , (1)若圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1,求半径 r 的取值范围; (2)若圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1,求半径 r 的取值范围; (3)若圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1,求半径 r 的取值范围; 解一:与直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 平行且距离为 1 的直线有两条,分别为:

解法 2:圆心到直线 l 的距离 d ?

| 3m ? 1|

,d ?5 ? ?
2

(4m ? 3) 2 ?0 5m2 ? 6m ? 2

l1 : 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 , l2 : 4x ? 3 y ? 7 ? 0 ,注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。
圆心 C 到直线 l1 的的距离为 d1 ? 6 ,到直线 l 2 的的距离为 d 2 ? 4 ,则: (1)圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? r ? 4且r ? 6 ? r ? 6 (2)圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? r ? 4且r ? 6 ? r ? 6 (3)圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? r ? 4且r ? 6 ? 4 ? r ? 6 解二:圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 5 ,则: (1)圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? r ? d ? 1 ? r ? 6 , (2)圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? r ? d ? 1 ? r ? 6 , (3)圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1 ? ?1 ? r ? d ? 1 ? 4 ? r ? 6 解法 1 采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决,具有直观明了的优点,对解决这类问题特 别有效;解法 2 的着眼点是观察从劣弧的点到直线 l 的最大距离,请仔细体会。 10、已知 O 为原点,定点 Q (4, 0) ,点 P 是圆 x ? y ? 4 上一动点。
2 2

(1)求线段 PQ 中点的轨迹方程; (2)设 ?POQ 的平分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程。 解: (1)设 PQ 中点 M ( x, y ) ,则 P(2 x ? 4, 2 y) ,代入圆的方程得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 。 P R O Q

PR OP 2 1 (2)设 R ( x, y ) ,其中 y ? 0 , P(m, n) ,由 ? ? ? , RQ OQ 4 2

3x ? 4 ? m? ? ? 2 2 2 ,代入圆方程 x ? y ? 4 并化简得: ? ?n ? 3 y ? ? 2
2

4? 16 ? 2 ( y ? 0) 。当 y=0 时,即 P 在 x 轴上时, ?POQ 的平分线无意义。 ?x? ? ? y ? 3? 9 ?
(1)本题的解法称作相关点转移法求轨迹,其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系; (2) 处理“角平分线”问题,一般有以下途径:①转化为对称问题②利用角平分线性质,转化为比例 关系③利用夹角相等。

15

11、如图所示,过圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点 A 作圆的切线 l ,M 为 l 上任意一点,再 过 M 作圆的另一切线, 切点为 Q, 当点 M 在直线 l 上移动时, 求三角形 MAQ 的垂心的轨迹方程。 解:设 Q( x1 , y1 ),AM 边上的高为 QB,MQ 边上的高为 AC ,连接 OQ,MQ ? OQ, 当 kOQ ? 0 时, kMQ ? ?

x y 1 ? ? 1 ,A(0, 2),k AC ? 1 , kOQ y1 x1

y1 ? ?l AC : y ? 2 ? x x ? x1 ? x ?? ?? 1 ? y1 ? y ? 2 ?l : x ? x 1 ? QB
? Q( x, y ? 2) 在 x2 ? y 2 ? 4 上,? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 当 kOQ ? 0 时,垂心为点 B,也满足方程,而点 M 与点 N 重合时,不能使 A,M,Q 构成三角形。

? ?MAQ 的垂心的轨迹方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 4( x ? 0) 。
12、已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 (1)在曲线 y ? f ( x ? t ) 上存在两点关于直线 y ? x 对称,求 t 的取值范围;

1 上取一点 P ,过 P 作曲线 y ? f ( x ? t ) 的两条切线 l1 、 l2 ,求证: l1 ? l2 4 解: (1)设曲线上关于直线 y ? x 的对称点为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , 则直线 AB 垂直于直线 y ? x ,设直线 AB 的方程为: y ? ? x ? b 。
(2)在直线 y ? ? 则?

? y ? f ( x ? t ) ? ( x ? t ? 1) 2

? y ? ?x ? b 2 2 据题意得: ? ? (2t ? 3) ? 4 ? ?(t ? 1) ? b ? ? ? 4t ? 5 ? 4b ? 0?? (1)
x2 ? x2 2t ? 3 ?? , ? M 在 直 线 AB 上 , 2 2 2t ? 3 ?b ? y0 ? ? x0 ? b ? 2 又? M 在直线 y ? x 上,? x0 ? y0 ,得 b ? ?2t ? 3 , 7 代入式(1)得 t ? ? 。 4 1 (2)设 P 点坐标为 (a, ? ) ,则过 P 点所作的切线方程为: 4 1 y ? ? k ( x ? a ) ,则有 4 ? y ? f ( x ? t ) ? ( x ? t ? 1) 2 1 ? ? x 2 ? ? 2(t ? 1) ? k ? x ? (t ? 1) 2 ? ka ? ? 0 ? 1 4 ? y ? ? k ( x ? a) ? 4 1? 2 ? ? ? ? 2(t ? 1) ? k ? ? 4 ?(t ? 1)2 ? ka ? ? ? k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0 4? ? 2 直线 l1 、 l2 的斜率 k1、k2 为方程 k ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0 的两个根, x0 ?

? x 2 ? (2t ? 3) x ? (t ? 1) 2 ? b ? 0

? k1 ? k2 ? ?1 ,? l1 ? l2 ,证毕。

16

13、已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1, Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点, 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。 y 解:连接 MB,MQ,设 P( x, y),Q(a,0) ,

? 点 M,P,Q 在一直线上,得?

2 y?2 ? ?① ?a x 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ | ,即:
x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1? ②
2

M P A O

B

7? 1 ? ①式代入②式,消去 a,得 x 2 ? ? y ? ? ? ? ③, 4 ? 16 ?
从几何图形可分析出 y ? 2 ,又由③式得 ? y ?

Q

x

? ?

7? 1 3 ? ? ? ? y ? 2 ( y ? 2) , 4 ? 16 2
2

2

1 ? 7? ? 动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程是: x2 ? ? y - ? ? , ( y ? 2) 。 ? 4 ? 16

17


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