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河北省衡水中学11-12学年高一数学下学期期末考试

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(理科)试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1、已知向量 a ? (2, t ), b ? (1,2), 若 t ? t1 时, a ∥ b ; t ? t 2 时, a ? b ,则( A. t1 ? ?4,t 2 ? ?1 B. t1 ? ?4,t 2 ? 1 C. t1 ? 4,t 2 ? ?1 )

?

?

?

?

?

?

)

D. t1 ? 4,t 2 ? 1

2、若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式恒成立的是 ( A.

1 1 ? a b

B.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

开始 i ? 1, s ? 1
)

C. a 2 ? b 2

D. a | c |? b | c |

? 3、 下列函数中, 在区间(0, )上为增函数且以 ? 为周期的函数是( 2
A. y ? sin C.

i ? i ?1
s ? 2( s ? 1)

x 2

B. D.

y ? sin x
y ? ? cos2 x
) D.190 )

y ? ? tan x



i ? 5?

输出s

4、如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.22 5、在△ABC 中,若 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.46 C. 94

a2 a2 ? c2 ? b2 ,则△ABC 是( ? b2 b2 ? c2 ? a2

结束
第 4 题图
甲 5 3 1 2 3 4 4 2 5 5 6 7 乙

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

6、如图:是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,
3 4 6 8 7 9 1

用心

爱心

专心

-13 7 8

则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ( A.62 7、函数 y ? tan( B.63 C.64 D.65



?

x ? )(0 ? x ? 4) 的图象与 x 轴交于 A 点, 4 2
第 6 题图

?

过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B, C 两点, 则 (OB ? OC ) ? OA ? ( A.4 B.10 C.6

??? ???? ??? ? ?

) D. 8

?y ? 0 y ?1 ? 8、实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 t ? 的取值范围是 ( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
? 1 ? A. ? ? ,1? ? 2 ? ? 1 ? B. ? ? , ?? ? ? 2 ?
2



? 1? C. ? ?1, ? ? 3?

? 1 1? D. ? ? , ? ? 2 3?

9、在区间 (1,2) 上,不等式 ? x ? mx ? 4 ? 0 有解,则 m 的取值范围为( A. m ? ?4 B. m ? ?4 C. m ? ?5 D. m ? ?5



10、锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? 2 A ,则 ( ) A. ( 2, 3) B. ( 2 ,2)
? ?

b 的取值范围是 a

C. (0,2)

D. (0, 3 )
? ? 1 3 ,则 AB, AC 夹角的取值范围 ?S? 2 2

11、已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB? AC ? 1, 若 是( ) A. (

? ?

, ) 6 4

B. (

? ?

, ) 6 2

C. (

? ?

, ) 3 2

D. (

? ?

, ) 4 3

12、已知△ABC 的面积为 1,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上),定义 f (M ) ? ( x, y, z ) , 其中 x, y, z 分别表示△ MBC ,△ MCA ,△ MAB 的面积, f ( M ) ? ( x, y, ) , 若 则 的最小值为( A.8 B.9 ) C.16 D.18

1 2

1 4 ? x y

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
用心 爱心 专心 -2-

二、

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13、设关于的一元二次不等式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 (?1, ) ,则 a ? b ?

1 3



14、不等式

2 x 2 ? 5x ? 1 ? 1 的解集是______________. 3x 2 ? 7 x ? 2
2
? ? ? ?

15、方程 2 x ? 8x ? a ? 0 在区间 (1,4) 上有两个不同的根,则 a 的取值范围是___________. 16、已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2,3 AB? AD ? 4 CB? CD ? 0 ,求三角形 ABC 的外接圆半径 R 为 三、 .

解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

写在答题纸的相应位置) 17、 (本小题满分 10 分) 求值:

3 tan12? ? 3 . sin12?(4 cos 2 12? ? 2)

18、 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长.

19、 (本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式
用心 爱心 专心 -3-

分成五组:第一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ??第五组 ?17,18? .下图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m, n ? [13,14) ? [17,18], 求事 件“ m ? n ? 1 ”的概率.
频率 组距 0.38 0.32

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



19题 图

20、 (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x,?1) b ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b ) ? a ? 2 (1)求函数 f (x) 的值域; (2)已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边, a ? 2 3 ,且 f ( A) ? 1 ,求 A 和△ABC 面积的最大值。

?

?

1 2

?

?

?

21、 (本小题满分 12 分) 某人上午 7:00 时,乘摩托车以匀速 v 千米/时 (4 ? v ? 20) 从 A 地出发到相距 50 千米的 B 地 去,然后乘汽车以匀速 w 千米/时 (30 ? w ? 100) 自 B 地向相距 300 千米的 C 地驶去,要求

用心

爱心

专心

-4-

在当天 16:00 时至 21:00 时这段时间到达 C 地. 设汽车所需要的时间为 x 小时, 摩托车所 需要的时间为 y 小时. (1)写出满足上述要求的 x, y 的约束条件; (2)如果途中所需的经费为 p ,且 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) (元) ,那么 v , w 分别 是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?

22、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? x ? a, a ? R 。
2

(1) 若不等式 f ( x) ? (a ? 1) x ? (2a ? 1) x ? 3a ? 1对任意实数 x ? [?1,1] 恒成立, 求实数 a 的
2

取值范围; (2)若 a ? 0 ,解不等式 f ( x) ? 1 。

用心

爱心

专心

-5-

用心

爱心

专心

-6-

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(理科)试卷答案 一、CBDCD 二、13、-1; CDACA DD

14、 ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2? ; 3 ?

15、(6,8);

16、

2 21 3

(
17、解:原式=

3 sin12? 1 ? 3) ? cos12? sin 12? ? 3 sin 12? ? 3 cos12? 2 2(2 cos 12? ? 1) sin 24? ? (2 cos2 12? ? 1)

1 3 2 3 ( sin12? ? cos12?) 2 3 sin(12 ? ? 60 ?) 2 2 ? ? ? ?4 3 1 sin 24? ? cos 24? sin 48 ? 2
18、 解: 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 cos ? = ? ? ,? 3 分 2 AD?DC 2 ?10 ? 6 2

? ? ADC=120°, ? ADB=60°

??? 6 分

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD , ? sin ?ADB sin B

???9 分

?AB=

AD? ?ADB 10sin 60? sin ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6.

??? 12 分

19、解: (1)由直方图知,成绩在 [14,16) 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人??????..4 分 (2)由直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50 ? 0.06 ? 3 人,?????5 分 设为 x, y, z ;成绩在 [17,18) 的人数为 50 ? 0.08 ? 4 人,?????6 分 设为 A,B,C,D. 若 m, n ? [13,14) 时,有 xy, xz, yz 3 种情况; 若 m, n ? [17,18) 时,有 AB, AC, AD, BC, BD,CD 6 种情况;
用心 爱心 专心 -7-

若 n, m 分别在 [13,14) 和 [17,18) 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD

共有 12 种情况。??????????????8 分 所以基本事件总数为 21 种, ?????10 分

事 件 “ | n ? m |? 1 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 有 12 种 . ∴ P ( | n ? m |? 1 ) =

4 7

??????????????12 分

20、

所以 f (x) 的值域为 [?1,1]

所以 bc ? 12 ? 2bc , bc ? 12 ,当且仅当 b ? c ? 2 3 时取等号 此时 S?ABC ?

1 bc sin A ? 3 3 2
y

所以 ?ABC 面积的最大值为 3 3

21、解: (1)依题意得: v ? 50 , w ?

300 ,又 4 ? v ? 20 , 30 ? w ? 100 , x

? 3 ? x ? 10 ? 所以 ? 5 ? y ? 25 ,所以满足条件的点的范围是图中阴影部分: ? 2 ? 2 ?9 ? x ? y ? 14 ?

(2)? p ? 100 ? 3 ? (5 ? x) ? 2 ? (8 ? y) ,
用心 爱心 专心 -8-

?3x ? 2 y ? 131 ? p ,
作出一组平行直线 3x ? 2 y ? t (t 为参数) , 由图可知,当直线 3x ? 2 y ? t 经过点 (10, 4) 时, 其在 y 轴上截距最大, 此时 p 有最小值,即当 x ? 10, y ? 4 时, p 最小, 此时 v ? 12.5, w ? 30, pmin ? 93 元

22、解: (1)原不等式等价于 x ? 2ax ? 2a ? 1 ? 0 对任意的实数 x ? [?1,1] 恒成立,
2

设 g ( x) ? x ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? a) ? a ? 2a ? 1
2 2 2

1 ○当 a ? ?1 时, g min ( x) ? g (?1) ? 1 ? 2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? ? ; 2 ○当 ? 1 ? a ? 1 时, g min ( x) ? g (a) ? ?a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 ? 1 ? 2 ? a ? 1 ;
2

3 ○当 a ? 1 时, g min ( x) ? g (1) ? 1 ? 2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? 1 ; 综上 a ? 1 ? 2 (3) ax ? x ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0
2

a ?1 a ? 1 2a ? 1 ) ? 0 ,因为 1 ? (? )? a a a 1 a ?1 a ?1 所以当 ? ? a ? 0 时, 1 ? ? , 解集为{x| 1 ? x ? ? } ; 2 a a 1 2 当 a ? ? 时, ( x ? 1) ? 0 ,解集为 ? ; 2 1 a ?1 a ?1 当 a ? ? 时, 1 ? ? , 解集为{x| ? ? x ? 1} 2 a a
因为 a ? 0 ,所以 ( x ? 1)( x ?

用心

爱心

专心

-9-