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高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2-3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课后提升作业 新人教版

课后提升作业 二十六 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( )

A.-

B.

C.-

D.

【解析】选 D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin30°= .

2.化简 cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy 等于 ( )

A.sin(x+2y)

B.-sin(x+2y)

C.sinx

D.-sinx

【解析】选 D.cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy=

sin[y-(x+y)]=-sinx.

3.(2016·大连高一检测)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( )

A.-

B.

C.-

D.

【解析】选 B.sin163°sin223°+sin253°sin313° =sin(90°+73°)sin(270°-47°)+sin(180°+73°)sin(360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47°)

=-(cos73°cos47°-sin73°sin 47°)

=-cos(73°+47°)=-cos120°= .

4.(2016·杭州高一检测)已知α ,β 都是锐角,若 sinα = ,sinβ = ,则α +β 等于 ( )

A.

B.

C. 和

D.- 和-

【解题指南】先求 cos(α +β )的值及α +β 的范围再确定α +β 的值. 【解析】选 A.由α ,β 都为锐角,

所以 cosα =

=,

cosβ =

=.

所以 cos(α +β )=cosα ·cosβ -sinα ·sinβ = ,

所以α +β = .

【补偿训练】若 cos(α -β )= ,cos2α = α +β 的值为 ( )

,并且α ,β 均为锐角且α <β ,则

A.

B.

C.

D. π

【解析】选 C.因为α ,β 均为锐角,且α <β ,

所以- <α -β <0,

所以 sin(α -β )=- ,

又 0<2α <π ,故 sin2α = , 所以 cos(α +β )=cos[2α -(α -β )] =cos2α ·cos(α -β )+sin2α ·sin(α -β )

= ×+ ×

=- .

因为α +β ∈(0,π ),所以α +β = π .

5.若函数 f(x)=(1+ tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为 ( )

A.1

B.2

C.1+

D.2+

【解题指南】先逆用两角和的正弦公式化简函数式,再求最值.

【解析】选 B.f(x)=cosx+ sinx

=2

=2sin

,

又 0≤x< ,则 ≤x+ < .

所以当 x+ = 时,f(x)有最大值 2.

6.(2016·兰州高一检测)若 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =0,则

sin(α +2β )+sin(α -2β )等于 ( )

A.1

B.-1

C.0

D.±1

【解析】选 C.因为 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ

=sin(α +β -β )=sinα =0,

所以 sin(α +2β )+sin(α -2β )

=2sinα cos2β =0.

7.(2016·浏阳高一检测)已知 sinα = ,cos(α +β )=-1,则 sin(2α +β )

=( )

A.-

B.

C.-

D.

【解析】选 A.因为 cos(α +β )=-1,则 sin(α +β )=0, 所以 sin(2α +β )=sin(α +α +β ) =sinα cos(α +β )+cosα sin(α +β )

= ×(-1)+0=- .

8.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 ( )

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

【解析】选 C.在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以 2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,

即 sinAcosB-cosAsinB=0,

即 sin(A-B)=0,所以 A-B=0,A=B,

从而△ABC 是等腰三角形.

【补偿训练】在△ABC 中,若 tanC= ,且 sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC 的形状是 ( )

A.等腰三角形

B.等腰但非直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

【解析】选 D.因为 tanC= ,0°<C<180°, 所以 C=60°,所以 120°-B=A. 因为 sinAcosB=cos(120°-B)sinB, 所以 sinAcosB=cosAsinB,

sinAcosB-cosAsinB=0, sin(A-B)=0, 又-180°<A-B<180°, 所以 A-B=0°,所以 A=B. 所以△ABC 是等边三角形. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
9.(2016 · 烟 台 高 一 检 测 ) 已 知 sin( α - β )cos α -cos( β - α )sin α = , β 是 第 三 象 限 角 , 则

sin

=

.

【解析】依题意可将已知条件变形为

sin[(α -β )-α ]=-sinβ = ,sinβ =- .

所以 sin

=sinβ cos +cosβ sin =

×

+

×

=+=.

答案:

10.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则 C 的大小为

.

【解题指南】根据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、两

角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到 cosC 的值,利用特殊角的三角函数值及角 C 的范围即可求出 C

的度数. 【解析】因为 3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得 9+16+24cos(A+B)=37,

所以 cos(A+B)= . 因为 A+B+C=π ,所以 cos(A+B)=-cosC, 则 cosC=- ,又因为 0°<C<180°,故 C=120°. 答案:120° 三、解答题

11.(10 分)已知函数 f(x)=Asin (1)求 A 的值.

,x∈R,且 f

=.

(2)若 f(θ )-f(-θ )= ,θ ∈

,求 f

.

【解析】(1)由 f

=Asin

=Asin = = ,可得 A=3.

(2)f(θ )-f(-θ )= ,

则 3sin

-3sin

=,

3 sinθ = . 因为θ ∈

-3 ,所以 cosθ = ,

f

=3sin

=3sin

=3cosθ = .

【补偿训练】已知,0<α < <β <π ,cos (1)求 sin2β 的值.

(2)求 cos

的值.

=, = ,sin(α +β )= .

【解析】(1)因为 cos

=cos cosβ +sin sinβ = cosβ + sinβ = ,

所以 cosβ +sinβ = ,所以 1+sin2β = , 所以 sin2β =- .

(2)因为 0<α < <β <π ,

所以 <β - < , <α +β < ,

所以 sin

>0,cos(α +β )<0.

因为 cos

= ,sin(α +β )= ,

所以 sin

= ,cos(α +β )=- ,

所以 cos

=cos

=cos(α +β )cos

+sin(α +β )sin

=- × + × =

.