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空间向量与立体几何测试题及答案


高中 数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试题
一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量 的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A
???? ? 2.在长方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,下列关于 AC1 的表达中错误的一个是( ???? ???? ????? ? A. AA1 ? A1 B1 ? A1 D1 ???? ???? ????? ? ? C. AD ? CC1 ? D1C1 ??? ???? ????? ? ? ? B. AB ? DD1 ? D1C1



? ? 1 ???? ???? ????? D. ( AB1 ? CD1 ) ? A1C1 2

答案:B 3.若 a,b,c 为任意向量, m ?R ,下列等式不一定成立的是( A. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) B. (a ? b· c ? a c ? b c ) · · C. m(a ? b) ? ma ? mb D. (a b· c ? a (b c) · ) · · 答案:D
??? ? ??? ? ??? ? 4.若三点 A B,C 共线,P 为空间任意一点,且 PA ? ? PB ? ? PC ,则 ? ? ? 的值为( ,





A.1 答案:B

B. ?1

C.

1 2

D. ?2

5.设 a ? ( x, 3) b ? (3, z) ,且 a ∥ b ,则 xz 等于( 4,, 2, A. ?4 答案:B B.9 C. ?9 D.
64 9



???? ???? ???? , 6 . 已 知 非 零 向 量 e1,e2 不 共 线 , 如 果 AB ? e1 ? e2 AC ?2 e2 ?8 e,AD ?3 e1 ?3 e2, 则 四 点 2

A B,C,D ( ,



A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C

7.如图 1,空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是 a ,点 E,F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点,则 a 2 等于( ) ??? ???? ? ???? ??? ? A. 2BA AC B. 2AD BD · ·
??? ??? ? ? C. 2FG CA · ??? ??? ? ? D. 2EF CB ·

答案:B 8.若 a ? e1 ? e2 ? e3,b ? e1 ? e2 ? e3,c ? e1 ? e2 ? e3 , d ? e1 ? 2e2 ? 3e3 ,且 d ? xa ? yb ? zc , 则 x,y,z 的值分别为( )
5 1 A. , , 1 ? ? 2 2 答案:A 5 1 B. ,, 1 ? 2 2 5 1 C. ? ,, 1 ? 2 2 5 1 D. ,, 1 2 2

8 9.若向量 a ? (1 ?, 与 b ? (2, 1 2) 的夹角的余弦值为 ,则 ? ? ( , 2) ?, 9


2 55

A. 2 答案:C

B. ?2

C. ?2 或

2 55

D.2 或 ?

10. 已知 ABCD 为平行四边形, A(4,3) B(2, 51) C(3, ? 5) , 且 则顶点 D 的坐标为 ( 1 ,, ? ,, 7,
?7 ? A. ? , ? 1? 4, ?2 ? 答案:D



B. (2,1) 4,

C. (?2, , 14 1)

D. (5,, 3) 13 ?

11.在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, O 为 AC,BD 的交点,则 C1O 与 A1D 所成角的( A. 60° 答案:D B. 90° C. arccos
3 3



D. arccos

3 6

12.给出下列命题: ①已知 a ? b ,则 a (b ? c) ? c (b ? a) ? b c ; · · · ??? ???? ???? ? ? ② A B,M,N 为空间四点, BA BM, 不构成空间的一个基底, 若 , BN 那么 A B,M,N 共面; , , ③已知 a ? b ,则 a,b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若 a,b 共线,则 a,b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( A.1 B.2 答案:C ) C.3 D.4

二、填空题 13.已知 a ? (31 5) b ? (1 2, 3) ,向量 c 与 z 轴垂直,且满足 c a ? 9,c b ? ?4 ,则 c ? · · , ,, ,?



? 22 21 ? 答案: ? , ,? ? 0 5 ? ? 5

??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ???? 14. 已知 A B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点, 若由向量 OP ? OA ? OB ? ? OC 确 , 5 3 定的点 P 与 A B,C 共面,那么 ? ? . ,

答案:

2 15

15.已知线段 AB ? 面 ? , BC ? ? ,CD ? BC , DF ? 面 ? 于点 F ,?DCF ? 30° ,且 D,A 在平面 ? 的同侧,若 AB ? BC ? CD ? 2 ,则 AD 的长为 答案: 2 2 16.在长方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, B1C 和 C1 D 与底面所成的角分别为 60° 和 45° ,则异面直 线 B1C 和 C1 D 所成角的余弦值为 . 答案:
6 4



三、解答题 17.设 a1 ? 2i ? j ? k a2 ? i ? 3 j ? 2 k a ? ?2 i ? j ?3 k a ?3 i ?2 j ?5 k,试问是否存在实 , , 3 , 4 数 ?,?,? ,使 a4 ? ?a1 ? ?a2 ?? a3 成立?如果存在,求出 ?,?,? ;如果不存在,请写出 证明. 答案:解:假设 a4 ? ?a1 ? ?a2 ?? a3 成立. ∵a1 ? (2, 11) a2 ? (1 3 ? 2),a3 ? (?2, ? 3),a4 ? (3, 5) , ? ,, , , 1 , 2, ∴(2? ? ? ? 2?, ? ? 3? ??,? ? 2? ? 3 ) ? (3, 5) . ? ? 2,
?2? ? ? ? 2? ? 3, ?? ? ?2, ? ? ∴ ??? ? 3? ? ? ? 2, 解得 ? ? ? 1 , ?? ? 2? ? 3? ? 5, ?? ? ?3. ? ?

所以存在 ? ? ?2,? ? 1 v ? ?3 使得 a4 ? ?2a1 ? a2 ? 3a3 . , 理由即为解答过程.

18.如图 2,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,
? ? 3 a 0,, 0) 0, a, , 2a ? . 则 A(0, 0) B(0,a,,A1 (0, 2a),C1 ? ? ? 2 ? 2 ? ?

由于 n ? (?1 0, 是面 ABB1 A1 的法向量, , 0)

3 ???? ? a ???? ? ???? ? AC1 n · 1 cos AC1,n ? ???? ? 2 ? ? AC1,n ? 60° . ? 3a 2 AC1 n

故 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角为 30° .

19.如图 3,直三棱柱 ABC ? A B C中,底面是等腰直角三角形, ?ACB ? 90° ,侧棱 1 1 1 AA1 ? 2,D,E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 △ABD 的重心 G , 求点 A1 到平面 AED 的距离. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA ? 2a ,
? 2a 2a 1 ? 则 A(2a, 0) B(0,a,,D(0,1) A1 (2a, 2) E (a,a,,G ? , , ? . 0,, 2 0) 0,, 0,, 1) ? 3 3 3? ??? ? a a 2 ? ??? ? ? 从而 GE ? ? , , ?, ? (0, 2a, . BD ? 1) ? 3 3 3?
??? ??? ? ? 由 GE ? BD ? GE BD ? 0 ,得 a ? 1 , ·

则 A1 (2, 2) A(2, 0) E(111) . 0,, 0,, , , 自 A1 作 A1 H ? 面 AED 于 M ,并延长交 xOy 面于 H ,设 H ( x,y, , 0) ???? ? ? 则 A1 H ? ( x ? 2,y, 2) .
???? ??? ? , , 又 AD ? (?2,1) , AE ? (?111) . 0,

, ? A H ? AD, ??2( x ? 2) ? 2 ? 0, ?x ? 1 由? 1 得 H (11 0) . ?? ?? , , , ??( x ? 2) ? y ? 2 ? 0 ?y ?1 ? A1 H ? AE
???? ????? ???? ???? ? 4 2 6 · , 又 A1 M ? A1 A cos A1 A A1M ? A1 A cos A1 A A1 H ? 2 ? . · , ? 3 2 6

20. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 的棱长为 2,P,Q 分别是 BC,CD 上的动点, PQ ? 2 , 且 确定 P,Q 的位置,使 QB1 ? PD1 . 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 BP ? t , 得 CQ ? 2 ? (2 ? t )2 , DQ ? 2 ? 2 ? (2 ? t ) 2 .
0,, 2,, 0) 2, 那么 B1 (2, 2) D1 (0, 2) P(2,t,,Q(2 ? 2 ? (2 ? t ) 2, 0) , ???? ? ???? ? ? 2) 2 2) 从而 QB1 ? ( 2 ? (2 ? t ) 2, 2, , PD1 ? (?2, ? t, ,

???? ???? ? ? · 由 QB1 ? PD1 ? QB1 PD1 ? 0 ,

即 ?2 2 ? (2 ? t )2 ? 2(2 ? t ) ? 4 ? 0 ? t ? 1 .

故 P,Q 分别为 BC,CD 的中点时, QB1 ? PD1 . 21.如图 4,在底面是直角梯形的四棱锥 S ? ABCD 中, ?ABC ? 90° , SA ? 面 ABCD ,
SA ? AB ? BC ? 1 AD ? , 1 , 求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正切 2

值. 解:建立如图所示的空间直角坐标系, ? 1 ? 则 A(0, 0) B(?1 0,,C (?11 0) D ? 0,,?,S (0,1) . 0,, , 0) , ,, 0 0, ? 2 ? 延长 CD 交 x 轴于点 F ,易得 F (1 0, , , 0) 作 AE ? SF 于点 E ,连结 DE , 则 ?DEA 即为面 SCD 与面 SBA 所成二面角的平面角. ?1 1? 又由于 SA ? AF 且 SA ? AF ,得 E ? , ? , 0, ?2 2? ??? ? 1 ? ? 1 ? ??? ? 1 1 1 ? 那么 EA ? ? ? , ? ? , ED ? ? ? ,, ? , 0, ? 2? ? 2 ? 2 2 2? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EA ED · 6 , 从而 cos EA ED ? ??? ??? ? , ? ? 3 EA ED
??? ??? ? ? 2 因此 tan EAF, ? . ED 2

故面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正切值为

2 . 2

22. 平行六面体 ABCD ? A1B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD , 且 试问: 当
CD 的值为多少时, A1C ? 面 C1 BD ?请予以证明. CC1

解:欲使 A1C ? 面 C1 BD ,只须 AC ? C1D ,且 AC ? C1B . 1 1 ???? ???? ? · 欲证 AC ? C1D ,只须证 CA1 C1 D ? 0 , 1
??? ???? ??? ???? ? ? ? ) 即 (CA ? AA1 · (CD ? CC1 ) ? 0 , ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ) 也就是 (CD ? CB ? CC1 · (CD ? CC1 ) ? 0 ,
??? 2 ???? 2 ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ? ? 即 CD ? CC1 ? CB CD cos ?BCD ? CB CC1 cos ?C1CB ? 0 .

由于 ?C1CB ? ?BCD , ??? ? ???? ? 显然,当 CD ? CC1 时,上式成立;
??? ? ???? ? 同理可得,当 CD ? CC1 时, AC ? C1B . 1

因此,当

CD ? 1 时, A1C ? 面 C1 BD . CC1

一.选择题:(10 小题共 40 分) 1.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一 定共面的是 A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? B. OM ? 2OA ? OB ? OC D. OM ? ( )

1 1 OB ? OC 2 3

1 1 1 OA ? OB ? OC 3 3 3
( D. ? a ? b ? c ( ) )

2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? C , 则 A1 B ? A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ? a ? b ? c

3.若向量 m垂直向量a和b,向量n ? ? a ? ? b(? , ? ? R且? 、 ? ? 0)则 A. m // n 能 4.以下四个命题中,正确的是 A.若 OP B. m ? n C. m不平行于n, m也不垂直于n

D.以上三种情况都可

(

)

?

1 1 OA ? OB ,则 P、A、B三点共线 2 3

B.设向量 {a , b, c} 是空间一个基底,则{ a + b , b + c , c + a }构成空间的另一个基底 C.

(a ? b)c ? a ? b ? c

D.△ABC 是直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 5.对空间任意两个向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是 A. a ? b B. a ? ?b C. b ? ? a D. a ? ? b ( D.180° 为 AC 与 BD 的 交 点 , 若 ) ( )

6.已知向量 a ? (0,2,1), b ? (?1,1,?2), 则a与b 的夹角为 A.0° B.45° C.90°

7. 在 平 行 六 面 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , M

A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c ,
则下列向量中与 B1 M 相等的是 ( )

A. ?

1 1 1 a? b? c 2 2 2

B.

1 1 1 a? b? c 2 2 2

C.

1 1 a? b?c 2 2

D.-

1 1 a? b?c 2 2
( )

8.已知 a ? (? ? 1,0,2? ), b ? (6,2? ? 1,2), 若a // b, 则?与?的值分别为 A. ,

1 1 5 2

B.5,2

C. ?

1 1 ,? 5 2

D.-5,-2 ( D.-1 )

9.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b的数量积等于 A.-15 B.-5 C.-3

10.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 A. ? ( B. )

2 5

2 5

C.

3 5

D.

10 10

二.填空题: (4 小题共 16 分) 11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n= 12.已知 A (0, 3) B 2, ,(-2, 6) C 1, ,(1, 5) 若 | a |? -1, , 的坐标为 . .

3, 且a ? AB, a ? AC, 则向量a

13.已知 a, b 是空间二向量,若 | a |? 3, | b |? 2, | a ? b |?

7 , 则a与b 的夹角为

.

14.已知点 G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若 OA ? OB ? OC ? ? OG , 则?的值 为 .

三.解答题:(10+8+12+14=44 分) 15.如图:ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M、N 分别是 PC、AB 中点, (1)求证:MN⊥平面 PCD;(2)求 NM 与平面 ABCD 所成的角的大小.

16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内, 它和两个面所成的角都是 30 , 求这条线段与这 个二面角的棱所成的角的大小.

0

17.正四棱锥 S—ABCD 中,所有棱长都是 2,P 为 SA 的中点,如图. (1)求二面角 B—SC—D 的大小;(2)求 DP 与 SC 所成的角的大小.

18.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分 别是 A1B1,A1A 的中点; (1)求 BN的长; (2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证 : A1 B ? C1 M . (4)求 CB1 与平面 A1ABB1 所成的角的余弦值.

高中数学选修 2-1 测试题(10)—空间向量(1)参考答案
DDBB DCDA AB 15.(1)略 (2)45
0

11.0

12.(1,1,1) 16.45
0

13.60

0

14.3

17.(1) ?

1 3

(2)

?

18.(1) 3

(2)

30 10

(3) 略

(4)

3 10 10

18.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.(1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1) ∴| BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 .

(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、C(0,0,0) 1(0,1,2) 、B ∴ BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 · CB1 =3,| BA1 |=

6,



| CB1 |=

5 ∴cos< BA1 , CB1 >=

BA1 ? CB1 | BA1 | ? | CB1 |

?

1 30 . 10

(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) 、M(

1 1 1 1 , , ,2) A1 B ={-1,1,2},C1 M ={ , , 2 2 2 2

0}.∴ A1 B · C1 M =-

1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2

评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.


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