当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学人教版


2012.3.26

一. 不等式(精简版)
1.两实数大小的比较

?a ? b ? a ? b ? 0 ? ?a ? b ? a ? b ? 0 ?a ? b ? a ? b ? 0 ?
2.不等式的性质:8条性质.

3.基 本不 等式 定理

? ? a 2 ? b 2 ? 2a b ? ? ? ? a 2 ? b ? 1 (a ? b ) 2 2 ? ? 2 2 ? ? a?b? ? ? ?整 式 形 式 ab ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? a ? b2 ? ab ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ab ? ? ? 2 ?根 式 形 式 ? 2 2 ? ?a ? b ? 2(a ? b ) ? ? ? ? b a ? 2(a, b同 号 ) ?分 式 形 式 ? a b ? 1 ? ? a? 0? a? ? 2 ? ? a ? ?倒 数 形 式 1 ?a ? 0 ? a ? ? ?2 ? a ? ?

4.公式:

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2
1

3.解不等式
(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式: 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) △>0

? ?x ? ax ? b(a ? 0)? ?x ? ?
△=0

b (a ? 0 ) a b (a ? 0 ) a
△<0

y x1 O x x2

y

y

O x1

x

O

x

ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ?
? b 2a

没有实根

b 2a

ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ (y>0) 的 解 集 ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (y<0) 的 解 集 Φ

}

R

Φ

2

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式:

? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ? 0 ? ? g( x ) ? f ( x) ?f ( x) ? g( x) ? 0 ? ?0?? ? ? g( x ) ? 0 ? g( x )
高次不等式:

( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? an ) ? 0

(4)解含参数的不等式: (1)

(x – 2)(ax – 2)>0

(2)x2 – (a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0;
注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论 a 与 0 的大小;2、讨论⊿与 0 的大小;3、讨论两根的 大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想;2、数形结合的思想;3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题:

3

、 函数 ?1 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3 ? 、 用图象
例 1.已知关于 x 的不等式 x ? (3 ? a ) x ? 2a ? 1 ? 0
2 2

在(–2,0)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 例 2.关于 x 的不等式

y ? log2 (?ax2 ? ax ? 1)

对所有实数 x∈R 都成立,求 a 的取值范围.

例3.若对任意 则

x ? 0,

x ? a恒成立, 2 x ? 3x ? 1

a的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题: 方法: 依据二次函数的图像特征从: 开口方向、 判别式、 对称轴、 函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次 不等式组求解.
4





























1.x1< x2< k

? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ?? ? 0

y
x1
k

O

x2 k

x

y
2.k < x1< x2
? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ?? ? 0

k x1 O

x2

x

y
3.x1< k < x2

f (k ) ? 0
k x1 O x
2

x

5

4. k1 < x1 < x2 < k2 y k1 x1 O x2 k2 x

5 . x1 < k1 < k2 < x2 y O x1 k1 k2 x2 x

? f ( k1 ) ? 0 ? f ( k2 ) ? 0 ? ? ?? ? 0 ? ?k ? ? b ? k 1 2 ? 2a ?
6. k1 <x1 < k2 < x2< k3

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

y O k2 x2 k3 x

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 2
4 解线性规划问题的一般步骤:

k1 x1

第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步: 解方程的最优解, 从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ? ax ? by

z ? x2 ? y2

z?

y x
6

练习:1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点(横、纵坐标为整数)的 个数。

2.求函f ( x ) ? 2 ? log 2 x ?
3 4.f(x)=x+

1 (0 ? x ? 1)的最大值; log 2 x

1 (x ? 4)的最小值 x ?1
的最小值.
2 8

( x ? 1)2 ? 4 ( x ? ?1) 4.求函数 f ( x ) ? x ?1

5.已知两个正数 a , b 满足 a ? b ? 4, 求使 a ? b ? m 恒成立的 m 的取值范围.
1. 实数的性质:

a ? b ? a ?b ? 0 ;a ? b ? a ?b ? 0;a ? b ? a ?b ? 0 .
2. 不等式的性质:


对称性 传递性 加法性质 乘法性质




a ? b ? b ? a,a ? b ? b ? a.
a ? b 且b ? c ? a ? c .



a ? b ? a ?c ? b ?c;a ? b 且c ? d ? a ? c ? b ? d .

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0 ,且 c ? d ? 0 ? ac ? bd ? 0 .

乘方、开方性质 倒数性质

a ? b ? 0, n ? N ? ? an ? bn ; a ? b ? 0, n ? N ? ? n a ? n b .
a ? b, ab ? 0 ? 1 1 ? . a b

3. 常用基本不等式: 条 件 结 论 等号成立的条件

a?R

a2 ? 0

a?0
2 2

a ? R, b ? R
a ? 0, b ? 0

a 2 ? b2 ? 2ab , ab ? (
基本不等式: 常见变式:

a?b 2 a ?b a?b 2 ) , ?( ) 2 2 2
a? 1 ?2 a

a?b

a ? b ? 2 ab b a ? ? 2; a b

a?b

7

a ? 0, b ? 0

a?b ? ab ? ? 1 1 2 ? a b 2

a2 ? b2 2

a?b

7. 不等式证明方法: 基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法:换元法(三角换元、均值换元等) 、放缩法、构造法、判别式法 特别提醒:不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合.高考解答题中,常渗透不等式证明的 内容,最常用的思路是用分析法探求证明途径,再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式 时要注意等号、不等号成立的条件。 例:解下列不等式:
(1) (3)

x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 ; x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

(2) (4)

? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; x2 ? 2 x ? 2 ? 0 .

解: (1)方程 x 的解集是 {x |

? 7 x ? 12 ? 0 的解为 x1 ? 3, x2 ? 4 .根据 y ? x2 ? 7 x ? 12 的图象,可得原不等式 x 2 ? 7 x ? 12 ? 0

x ? 3或x ? 4} .
2

(2)不等式两边同乘以 ?1 ,原不等式可化为 x 方程 x 根据
2

? 2x ? 3 ? 0 .

? 2 x ? 3 ? 0 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 1 .

y ? x2 ? 2x ? 3 的图象,可得原不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? 1} .
(3)方程 x 根据
2

? 2 x ? 1 ? 0 有两个相同的解 x1 ? x2 ? 1.

y ? x2 ? 2 x ? 1的图象,可得原不等式 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为 ? .

(4)因为 ? 为? .

? 0 ,所以方程 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 无实数解,根据 y ? x2 ? 2x ? 2 的图象,可得原不等式 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 的解集

练习 1. (1)解不等式 (2)解不等式

2x ? 3 ? 1; x?7

x?3 x?3 ? 0 呢?) (若改为 ?0; x?7 x?7

解:(1)原不等式 ? ?

? x ? 7 ? 0, ? x ? 7 ? 0, ?{x | ?7 ? x ? 3} 或 ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0

(该题后的答案: {x | ?7 ? (2)

x ? 3} ).

x ? 10 ? 0 即?{x | ?7 ? x ? 10} . x?7

8、线性规划问题的解题方法和步骤 解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族
8

平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的 步骤如下: (1)设出未知数,确定目标函数。 (2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。 a z (3)由目标函数 z=ax+by 变形为 y=- x+ ,所以,求 z 的最值可看成是求直线 y= b b a z - x+ 在 y 轴上截距的最值(其中 a、b 是常数,z 随 x,y 的变化而变化) 。 b b (4)作平行线:将直线 ax+by=0 平移(即作 ax+by=0 的平行线) ,使直线与可行域有 z 交点,且观察在可行域中使 最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。 b (5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出 z 的最大(或最小)值。 9、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点

? ? x0 , y0 ?



①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 10、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .
? C? ①若 ? ? 0 , 则 ?x?? y 线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域. ? C? ②若 ? ? 0 , 则 ?x?? y 线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直

11、最值定理 设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴ 若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值
s2 . 4

⑵ 若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 即:“积定,和有最小值;和定,积有最大值” 注意:一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法 重难点归纳
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化, 对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆

源头学子 小屋

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

9

(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 1:如果多项式 f ( x) 可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式 f ( x) ? 0(或 f ( x) ? 0 )可用“穿 根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 当分式不等式化为

f ( x) ? 0(或 ? 0) 时,要注意它的等价变形 g ( x)



f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)



? f ( x) ? g ( x ) ? 0 f ( x) f ( x) ?0?? 或 ? 0 ? f ( x) ? 0或f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中 x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含 重根的不等式,也可直接用“穿根法” ,但注意“奇穿偶不穿” ,其法如下图.

不等式左右两边都是含有 x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为 0 再解.
2 3 例:解不等式: (1) 2 x ? x ? 15x ? 0 ; (2) ( x ? 4)(x ? 5) (2 ? x) ? 0 .
3 2

解: (1)原不等式可化为

x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0
把方程 x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0 的三个根 x1 ? 0, x2 ? ? , x3 ? 3 顺次标上数轴. 然后从右上开始画线顺次经 过三个根,其解集如下图的阴影部分.

5 2

∴原不等式解集为 ? x ? (2)原不等式等价于

? ?

5 ? ? x ? 0或x ? 3? 2 ?

( x ? 4)(x ? 5) 2 ( x ? 2)3 ? 0 ? x ? ?5 ?x ? 5 ? 0 ?? ?? ?( x ? 4)(x ? 2) ? 0 ? x ? ?4或x ? 2
∴原不等式解集为 x x ? ?5或 ? 5 ? x ? ?4或x ? 2

?

?
10

解下列分式不等式:

6 1. 已知x> 0, y> 0,且

1 9 + = 1,求x+ y的最小值. x y

11


赞助商链接
相关文章:
2016年人教版高中数学知识点总结新
2016年人教版高中数学知识点总结新 - 2016 年高中数学知识总结 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的...
人教版高中数学教材最新目录
[键入文字]高中数学 人教版普通高中课程标准实验教科书 数学 必修一第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的基本性质 第二章 基本初等...
高中数学人教版必修5全套教案
高中数学人教版必修5全套教案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学人教版必修5全套教案_数学_高中教育_教育专区。课题: §1.1.1...
人教版高中数学必修选修目录
人教版高中数学必修选修目录 - 必修 1 第一章 集合与函数概念 1.1 1.2 1.3 集合 阅读与思考 阅读与思考 信息技术应用 实习作业 小结 第二章 基本初等函数...
人教版高中数学目录(理科)
人教版高中数学目录(理科)_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版高中数学(理)目录表必修 1 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的...
人教版高中数学目录(文科)
人教版高中数学目录(文科)_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版高中数学(文)目录表必修 1 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的...
人教版高中数学必修一课后习题答案(截取自教师用书)_图文
人教版高中数学必修一课后习题答案(截取自教师用书) - 教材是根本,教材上的习题不能忽视,都是宝贵的资料。
人教版 高一数学知识点总结
人教版 高一数学知识点总结 - 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性: 元素的确定性如:世界上最高的山 元素...
高中数学人教版必修5知识点总结
高中数学人教版必修5知识点总结 - 高中数学必修 5 知识点 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C...
高中数学人教版必修4全套教案
高中数学人教版必修4全套教案 - 第 1,2 课时 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (...
更多相关标签: