当前位置:首页 >> >>

2010年全国高中数学联赛模拟题11

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

2010 年全国高中数学联赛模拟题 11
一试
考试时间上午 8:00~9:20,共 80 分钟,满分 120 分 一、填空题(共 8 题,每题 8 分,64 分) 填空题( 1.方程 9 + 1 ? 3 = 5 的实数解为
x x

. . ,最小值是 .

2.函数 y = sin x + cos x (x ∈ R ) 的单调减区间是 3.函数 f ( x ) = ( x ? 2 )( x + 1) 在区间 [ 0, 2] 上的最大值是
2

4.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A = ( 4, 0 ) 、 B = ( 6,8 ) 、 C = ( 2, 4 ) ,则 R 的取值范围为 5.设函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y = f ( x ) 在区间 [ 0,100] 上至少有

个零点. .

6.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀 2 金 2 银 的概率是 .

7.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ∠ACB = ∠CBD , ∠ACD = ∠ADC = ∠BCD = ∠BDC

= θ ,且 cos θ =

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



8.设复数列 { xn } 满足 xn ≠ a ? 1 , 0 ,且 xn +1 = 则 a 的值是 二、解答题(共 3 题,共 56 分) 解答题( .

a xn .若对任意 n ∈ N* 都有 xn +3 = xn , xn + 1

9、 (本题 16 分)直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 上的三点.若 4

3 4 x2 OM = OA + OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 + 2 y 2 = 1 上. 5 5 2 10、 (本题 20 分)已知整数列 {an } 满足 a3 = ?1 , a7 = 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5
项起依次成等比数列. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得

am + am +1 + am + 2 = am am +1am + 2 .
2 2 11、 (本题 20 分)求所有正整数 x , y ,使得 x + 3 y 与 y + 3 x 都是完全平方数.

第1页

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

2010 年全国高中数学联赛模拟题 11
加试
9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、 (本题 40 分)如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ⊥ AD ,垂 足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线, 与直线 AC 、DC 分别交于点 F 、 . 证明: (1) 点 G

A 、B 、F 、H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

2、 (本题 40 分)试证:当 2 < n < 11 时,不存在 n 个连续自然数,使得它们的平方和是完 全平方数.

3、 (本题 50 分)设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两个数组成五个元素的集合 Ai , i = 1,2, ? ,20, Ai ∩ A j ≤ 2,1 ≤ i < j ≤ 20. 求 n 的最 小值。

4、 (本题 50 分)生产由六种颜色的纱线织成的双色布,在所生产的双色布中,每种颜色的 纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明:可以挑出三种不同的双色布,它们包含所有 的颜色。
第2页

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

2010 年全国高中数学联赛模拟题 11
参考答案 一试 1、x<0 无解; 当 x ≥ 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 、 kπ π kπ π 2、与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ + , + ], k ∈ Z. 2 4 2 2 3、极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 、
8 5 4、画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5

5、f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ( x ) 满足问题中的条件,且 f ( x ) 的 Z

一个零点恰为 x = 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. Z
1 . 3 7、4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 6、穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 8、由 xn +1 =

a xn a xn + 2 a 2 xn +1 a 3 xn , xn +3 = = = 2 = xn xn + 2 + 1 ( a + 1) xn +1 + 1 ( a + a + 1) xn + 1 xn + 1

恒成立,即 a 2 + a + 1 xn ( xn + 1 ? a ) = 0 . 因为 xn ≠ a ? 1 或 0 ,故 a + a + 1 = 0 ,所以
2

(

)

x22 x12 9、解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 解 +y 1 2 =1 , +y 2 2 =1 . 4 4

1 3 a=? ± i. 2 2

由 OM =

3 4 3 4 3 4 OA + OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以
3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x 1 +x 2 y 1 +y 2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2

…………………6 分

…………………14 分

第3页

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

所以

x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ………………20 分

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

10、解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 解 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5.
? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ? ?2 , n≥5.

…………………6 分

…………………10 分

(2) 由(1)知,数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………15 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. 11、解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. 解 ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综 上 所 述 , (x , y)= (1 , 1), (11 , 16), (16 , 11). …………………20 分 二试
第4页

…………………20 分

………………5 分

…………………15 分

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

1、证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 证明: 证明 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; ………………10 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA,

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. 2、证明:设 x 是非负整数.假若结论不成立,即存在 y ∈ N 使 ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, …………………40 分 …………………30 分

( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 + ? + ( x + n) 2 = y 2 , 即 1 ① nx 2 + n(n + 1) x + n(n + 1)(2n + 1) = y 2 6 1 记 A = n( n + 1)(2n + 1). 则 y 2 ≡ A(mod n). 6 当 n = 3,4,9 时,分别由① 和 n | y. 令 y = nz ,代入①得 1 x 2 + (n + 1) x + (n + 1)(2n + 1) = nz 2 , 6 n +1 2 1 2 即 (x + ) + (n ? 1) = nz 2 . 2 12 把 n = 5,7 代入后将分别得到 ( x + 3) 2 + 2 ≡ 0(mod 5), ( x + 4) 2 + 3 ≡ 0(mod 7). 但这是 不可能的,故 n ≠ 5,7 . 1 2 2 2 当 n = 6,8,10 时,由①得 (n + 1)[ x + nx + n( 2n + 1)] = x + y ② 6 若 n = 6, 则 由 ② 知 , x 2 + y 2 ≡ 0(mod 7) , 由 于 x 的 任 意 性 , 所 以 只 能 有 x 2 ≡ 0,1,2,40(mod 7) 因此要使 x 2 + y 2 ≡ 0(mod 7) 成立,只能 x ≡ 0, y ≡ 0(mod 7) ,于是由 2 1 ③知有 7 | n( n + 1)( 2n + 1) = 7 × 13 ,这是不可能的,故 n ≠ 6. 同理可证 n ≠ 10. 6 1 2 2 2 若 n = 8 ,则由②可得 x + y = 9 x + 8 × 9 x + × 8 × 9 × 17 ≡ 204 ≡ 6(mod 9) ,这是 6 不可能的,故 n ≠ 8. 综上,命题得证. n = 11 时,有 38 2 + 39 2 + ? + 48 2 = 143 2.
3、 n min = 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次,则必有 k ≤ 4 。若不然,数 m 出现 k 次 ( k > 4 ) 3k > 12. 在 m 出现的所有 Ai 中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它是 ,则
第5页

乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

1,就有集合{1, a1 , a 2 , m, b1 } {1, a 3 , a 4 , m, b2 }, {1, a 5 , a 6 , m, b3 } ,其中 a i ∈ A,1 ≤ i ≤ 6 , 但只能是 2, 4, 6 这 5 个数, 3, 5, 这不可能, 所以 k ≤ 4. 为满足题意的集合。ai 必各不相同, 20 个 Ai 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 n ≥ 16 。当 n = 16 时,如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,3,4,10,11}, {1,4,6,13,16}, {2,3,6,14,16}, {3,4,5,12,16}, {1,2,4,12,14}, {1,3,5,13,14}, {1,5,6,8,11}, {2,4,5,8,10}, {3,4,6,8,9}, {1,2,5,15,16}, {1,3,6,12,15}, {2,3,4,13,15}, {2,4,6,7,11}, {3,5,6,7,10}, {1,2,6,9,10}, {1,4,5,7,9}, {2,3,5,9,11}, {2,5,6,12,13}, {4,5,6,14,15}。

4、用点 A1,A2,A3,A4,A5,A6 表示六种颜色,若两种颜色的线搭配过,则在相应的两 点之间连一条边。由已知,每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中 有三条边两两不相邻(即无公共顶点) 。因为每个顶点的次数≥3,所以可以找到两条边不相 邻,设为 A1A2,A3A4。 (1)若 A5 与 A6 连有一条边,则 A1A2,A3A4,A5A6 对应的三种双色布满足要求。 (2)若 A5 与 A6 之间没有边相连,不妨设 A5 和 A1 相连,A2 与 A3 相连,若 A4 和 A6 相连, 则 A1A2,A3A4,A5A6 对应的双色布满足要求;若 A4 与 A6 不相连,则 A6 与 A1 相连,A2 与 A3 相连,A1A5,A2A6,A3A4 对应的双色布满足要求。 综上,命题得证。

第6页