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高中数学必修二知识点+例题+知识点


立体几何知识点 一、空间几何体 1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面 体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶 点. 2.棱柱: 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧 面. 3.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多 面体叫做棱锥。 底面是正多边形, 且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正 多边形的中心。 4.棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截 得 的棱台叫做正棱台。 正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面 的截面是相似的正多边形 5.旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫 做旋转体的轴, 6.圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆 台。 圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)分别是全等的 矩形、等腰三角形、等腰梯形。 常用到弧长公式 l ? ?R 7.球:以半圆的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体 (简称球) 8.简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图 形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内
1

注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经

的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通 常把这个平面放在直立投影面的右面,投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视 图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的 正投影围成的平面图形。 (1).三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等 (2).空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影) ; 侧视图(从左向右的正投影) ; 俯视图(从上向下正投影) . 例题 1.某四棱锥底面为直角梯形, 一条侧棱与底面垂直,四棱锥的三视图如右图所示, 则其体积为 .
P

1 正 视 图 2 1 1 俯 视 图
D A 正前方 B

侧 视 图

例题 2.右图是底面为正方形的四棱锥, 其中棱 PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( [来源:学|科|网 Z|X|X|K] )

C

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

[来源:学_科_网]
俯视图 俯视图 俯视图 俯视图

A

B

C

D

(3).空间几何体的直观图——斜二测画法特点: ①斜二测坐标系的 y 轴与 x 轴正方向成 45? 角;②原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度 不变;③原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 2 2 :1. 例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等 腰梯形,那么原平面图形的面积是( ).
2

A.2+ 2

B.

1+ 2 2

C.

2+ 2 2

D. 1+ 2

9.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线) :
S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh

S 正棱锥侧面积 ?

1 ch ' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

1 S 正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' S圆台侧面积 ? (r ? R)?l 2
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

S圆 柱 表? 2?r ?r ? l ?

?

?

S 球面 = 4? R 2

10.柱体、锥体、台体和球的体积公式:

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? ? 2r h

V锥 ?

1 Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

V 球 = 4 ? R3
3

例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长 为6、高为4的等腰三角形. 例 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是 ( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? )

例 5.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为_____. 练习: 1 .已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? ( A. 12? B. 16? C. 18? D. 64? )

2 . 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几 何体的表面积是 ( . . ) . .
俯视图

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

3 .某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆 与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 ( A.
20 π 3

2 1

) D.
16 π 3
2

B 6π .

C.

10 π 3
3

4
侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

(第 3 题图)

4 .一个几何体的三视图是三个边长为 1 的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( )

1 A. 6

1 B. 3

5 C. 6

D.1

5. 一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几 何体的体积为( A. 4 ) B. 8 C. 12 D. 24

6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所 示,则这个棱柱的体积为 ( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3 二、 立体几何点

B.6

C. 27 3 D. 36 3

线 面的位置关系

平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?
??

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定

线线垂直 判定

性质 判定

性质

判定推论

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

例1. 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的
4

中点,则以下结论中不成立的是( A. EF与BB1垂直 C. EF与CD异面

)

B. EF 与BD垂直 D. EF与A1C1异面 )

例 2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? 练习: 1.设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列说法中正确的是( . A. 在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 直 ) B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ?

D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

B. 过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂

C.与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 ? 平行 D.与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直 . . 2.设 a, b 为两条直线, ?,? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? 3.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是( . (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4 ) )

B.若 a ∥? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

4.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( (A) ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 5.设 、 是不同的直线, 、 (B) ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

、 是不同的平面,有以下四个命题:

5

① 若 ③ 若

则 ,则 )

②若 ④若

,

,则 ,则

其中真命题的序号是( A.①④ B.②③

C.②④

D.①③

三、线线平行的判断: (1)三角形中位线定理; (2)构造平行四边形,其对边平行; (3)对应线段成比例,两直线平行; (4)平行于同一直线的两直线平行; (平行的传递性) (5)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行; (线面平行的性质) (6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,所得交线平行; (面面平行的性质) (7)垂直于同一平面的两直线平行; (线面垂直的性质) 线面平行的判断: (1) 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。 (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 例 1、 (三角形中位线定理) 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点, 求证:AC 1 // 平面 BDE 。 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1
BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面 BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
B A B1 A
1

D1

E

C
1

D

C

例 2、 (证明是平行四边形) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: C1O∥面 AB1D1 ;

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 1
A1
6

D1 B1

C1

D O A B

C

∵ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

又 O1 , O 分别是 AC 1 1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O 1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
3、面面平行的判断:

∴C1O∥面 AB1D1

(1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。 例 4、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是
AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G
EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG ,GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG EF ? D1E ? E ,? 平面 D1EF ∥平面
BDG

练习: 1、 (利用三角形中位线)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点.求证: PA // 平面 BDF ;
P

F

A
D

B

C

2、 (构造平行四边形)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,每个 侧面均为正方形, D 为底边 AB 的中点, E 为侧棱 CC1 的中点,求证: CD ∥平面 A1 EB ;
A1 B1 C1

E

7

A D B

C

3、 (线面平行的性质)如图,四面体 A—BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形. 求证:CD∥平面 EFGH. (1)证明:∵截面 EFGH 是一个矩形, ∴EF∥GH, 又 GH?平面 BCD. ∴EF∥面 BCD,而 EF?面 ACD, 面 ACD∩面 BCD=CD. ∴EF∥CD,∴CD∥平面 EFGH.
B G C H F E D A

4. (对应线段成比例,两直线平行,面面平行得到线面平行)如下图,设 P 为长方形 ABCD 所 在平面外一点,M、N 分别为 AB、PD 上的点,且
P N

AM DN = ,求证:直线 MN∥平面 PBC。 MB NP

D

C

A

M

B

分析:要证直线 MN∥平面 PBC,只需证明 MN∥平面 PBC 内的一条直线或 MN 所在的某个 平面∥平面 PBC
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证法一:过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R,连结 RB,依题意得

DC ? NR = DN NP NR

= AM = AB ? MB = DC ? MB ? NR=MB
MB

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MB

MB

∵NR∥DC∥AB,∴四边形 MNRB 是平行四边形 ∴MN∥RB. 又∵RB 平面 PBC,∴直线 MN∥平面 PBC
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证法二:过 N 作 NQ∥AD 交 PA 于点 Q,连结 QM,
8

∵ AM = DN = AQ ,∴QM∥PB 又 NQ∥AD∥BC,∴平面 MQN∥平面 PBC ∴直线 MN∥平面 PBC
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MB

NP

QP

5、 (中位线定理、平行四边形)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,点 E、F 为棱 AB、 PD 的中点.求证:AF∥平面 PCE; 分析:取 PC 的中点 G,连 EG.,FG,则易证 AEGF 是平行四边形
P





F

E B

A C

D

(第 1 题图)

6、 (平行的传递性)已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中,E,F 分别是 A`B`,B`C`的中点。求证: EF∥面 AD`C。

D` A` E B` F

C`

D A B

C

四、立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断: 线面垂直的定义:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断: (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
9

(4)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法: 例 1、 (等腰三角形三线合一) 如图, 已知空间四边形 ABCD 中,BC ? AC, AD ? BD ,E 是 AB 的中点。求证: (1) AB ? 平面 CDE;(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1)
A E

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
B

又∵ CE ? DE ? E

∴ AB ? 平面 CDE

C

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC
D

例 2、 (菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱 形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平 面 BDE .
P

E C

D

例 3、 (线线、 线面垂直相互转化)已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90? , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . 证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC
? BC ? AD ? B C? A C ? BC ? 面 SAC

A

B

S

? S A? B C

D A C B

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC

10

例 4、(直径所对的圆周角为直角)如图 2 所示,已知 PA 垂直于圆 O 在平面, AB 是圆 O 的直 径,C 是圆 O 的圆周上异于 A 、B 的任意一点,且 PA ? AC , 点 E 是线段 PC 的中点.求证: AE ? 平面 PBC . 证明:∵ PA ? ? O 所在平面, BC 是 ? O 的弦,∴ BC ? PA . 又∵ AB 是 ? O 的直径, ?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ BC ? AC . ∵ PA ? AC ? A, PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC . ∴ BC ? 平面 PAC , AE ? 平面 PAC ,∴ AE ? BC . ∵ PA ? AC ,点 E 是线段 PC 的中点.∴ AE ? PC . ∵ PC ? BC ? C , PC ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC . ∴ AE ? 平面 PBC . 例 5、 (证明所成角为直角)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∠DAB=60°,AE⊥BD,CB=CD=CF. 证明 所以∠ADC=∠BCD=120°. 又 CB=CD,所以∠CDB=30°, 因此∠ADB=90°,即 AD⊥BD. 又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 AED, 所以 BD⊥平面 AED. 求证:BD⊥平面 AED; 因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
A A1 D1 C1 B1

P

D

E
OB ?
图2

C

A

B
C

例 6、 (勾股定理的逆定理)如图 7-7-5 所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等 腰直角三角形,∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点. 求证:(1)DE∥平面 ABC;(2)B1F⊥平面 AEF.

例 7、 (三垂线定理)证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C
11

⊥平面 BC1D

证明:连结 AC
∵B D ⊥ AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C
练习;

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

1、 如图在三棱锥 P—ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线 段 AD 上.证明:AP⊥BC;

1 2、直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD.证明:DC1⊥ BC。

3.如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60° ,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD.(1)求证:AB⊥DE;(2) 求三棱锥 EABD 的侧面积.

4、在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB=2, AA1 ? 1 ,求点 A 到平面 A1 BC 的距离。
12

5、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB、PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

五、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 斜率反映直线与轴的倾斜程度。当( ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; 时, k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式: k ? 注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点
y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

?

?

当? ?

?90 ,180 ?时,k ? 0 ;
? ?

k ? tan ?。

当 ? ? 90?

?x1, y1 ?

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不 能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ( x1 ?x2 y, 1 ④截矩式: 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 注意:1 各式的适用范围 13

y? 2

)直线两点 ?x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?

y 轴交于点 (0, b) ,即 l

与 x 轴、

y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)

2 特殊的方程如:平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系

平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) ,其中直线 l 2 不在直线系中。 (5)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点 交点坐标即方程组的一组解。 方程组无解 ? l1 // l 2 ;
1 1 1 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

?A x ? B y ? C ? 0

2 2 B x2 , y2) (7)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,则 | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

(8)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 六、圆的方程

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(9)两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r; (2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
? 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为, ? ?

1 2 2 D ? E ? 4F 2 2 2 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
? D E? ,? ? 2 2?

半径为 r ?

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程,需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: Aa ? Bb ? C 2 2 2 d? (1) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r , 圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 , 则有 d ? r ? l与C相离 ; A2 ? B 2 d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中 的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 表示半径。 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题,其中 ?x0 , y0 ? 表示切点坐标,r

(3)过圆上一点的切线方程:
①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆上一点为(x0, y0), 则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 2
2 2 2 2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 14

当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

直线与圆数学练习题 1.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 则 m 的值为( A. 0 B. ? 8 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 ) C. 2 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 2.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, D. 10 ) D. x ? 2 y ? 5 ) ) D. x ? 2 y ? 7 ? 0

3.已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5

4.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为(

A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20


5.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 ? 0

D. 3x ? y ? 2 ? 0 )

6. 已知点 A(2,3), B(?3, ?2) , 若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交, 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( A. k ?

3 4

B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2 _

7.与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是__ 8.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________.

9.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是____________.
2 2

10.求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程。

1. ? C : ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 的圆心坐标与半径分别为(
2 2



15

( A) (4, 2) , 9

( B ) (?4, 2) , 3

(C ) (4, ?2) , 3

( D) (?4, 2) , 9


2.圆心为 (3, ?4) 且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为(

( A) ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 (C ) ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 16

( B ) ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ( D) ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 16


3.圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 的周长和面积分别为(

( A) 26? ,169?

( B ) 2 13? ,13?

(C ) 26? ,13?

( D) 2 13? ,169?

4.若点 (1, 2) 在圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? m 的内部,则实数 m 的取值范围是( )

( A) 0 ? m ? 10

( B ) 0 ? m ? 10 (C ) m ? 10

( D) m ? 10


5.自点 A(?1, 4) 作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线,则切线长为(

( A) 5

(B) 3

(C ) 10

( D) 5


6. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(

A

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2

B

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1?

2

C

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1?

2 2

D

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1? 2 2

7.已知两圆方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0, x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 ,则两圆的位置关系是 A 内切
8
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B

外切

C

相交

D

相离
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求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长

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已知两圆 x 2 ? y 2 ? 10x ? 10y ? 0, x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长
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