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2018高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线

2018 高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线 【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何 的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大,解决问题的思 路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算方案,探究简化运算的基本 途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,提高运算能力. 3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程,其中待定系数 法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 标准方程 标准方程 圆 锥 曲 线 双曲线 第1课 【考点导读】 椭圆 A 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性 质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的 实际问题. 【基础练习】 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3 2.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为 x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3 3 2 3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 x2 y 2 ? ?1 16 4 4. 已知椭圆 1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? 2 4 k ?8 9 【范例导析】 例 1.(1)求经过点 ( ? 3 5 , ) ,且 9x2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量,即根 据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解: (1)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知, y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2 3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 , 所以,椭圆的标准方程为 y 2 x2 ? ? 1。 10 6 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2 (2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为 9 x2 2 2 a ? 3 b ? y 2 ? 1. ∵点 P(3,0)在该椭圆上∴ 2 ? 1 即 a ? 9 又 ,∴ b ? 1 ∴椭圆的方程为 a 9 ②若焦点在 y 轴上,设方程为 y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2 ∵点 P(3,0)在该椭圆上∴ 9 y 2 x2 2 2 a ? 3 b ? 1 ? ?1 b ? 9 a ? 81 即 又 ,∴ ∴椭圆的方程为 b2 81 9 方法二:设椭圆方程为 Ax2 ? By2 ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P(3,0)在该椭圆上∴9A=1,即 A ? 又 a ? 3b ∴ B ? 1或 1 , 9 1 x2 y 2 x2 2 ? y 2 ? 1或 ? ? 1 . , a ? 81 ∴椭圆的方程为 81 9 81 9 x2 y 2 【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,若 a b 焦点在 y 轴上,设方程为 y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运算方便,也可设为 Ax2 ? By 2 ? 1 ,其中 2 a b A ? 0, B ? 0, A ? B . 例 2.点 A、B 分别是椭圆 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点 坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得 x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 36 20 ??? ? ??? ? ? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36

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