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1.2.3空间中的垂直关系(3)-习题课

空间中的平行与垂直(习题课)

(一)、 平行关系

线∥线

线∥面

面∥面

(二)、 垂直关系

线⊥线

线⊥面

面⊥面

P

D A B

C

1. 如图,在矩形 ABCD 中,若 AB=15,AD=20, PA⊥平面 ABCD, 且 PA =5, 求点 P 到直线 BD 的距离。

P E D A B C

2、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧面 PAD 是 正三角形, 且∠PAB=900, E 是 PD 的中点。 求证:(1)PB∥平面 ACE; (2)AE⊥平面 PCD; (3)当
AD AB

的值等于多少时,PB⊥AC

3.如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是直角梯形,
? D A B ? 90 , A D / / B C , A D ? 侧面 P A B ,
?

△ P A B 是等边三角形, D A ? A B ? 2 , B C ?
E 是线段 A B 的中点.

1 2

AD ,

(Ⅰ)求证: P E ? C D ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? A B C D 的体积;

(Ⅰ)证明:因为 A D ? 侧面 P A B , P E ? 平面 P A B , 所以 A D ? P E . 又因为△ P A B 是等边三角形, E 是线段 A B 的中点, 所以 P E ? A B . 因为 A D ? A B ? A , 所以 P E ? 平面 A B C D . 而 C D ? 平面 A B C D , 所以 P E ? C D .……

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: P E ? 平面 A B C D , 所以 P E 是四棱锥 P ? A B C D 的高. 由 DA ? AB ? 2 , BC ?
1 2 A D ,可得 B C ? 1 .
3.

因为△ P A B 是等边三角形,可求得 P E ? 所以 V P ? A B C D ?
1 3 S ABCD ? P E ? 1 3 ? 1 2

(1 ? 2 ) ? 2 ?

3 ?

3

P E A F B C

4.在正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别为棱 PA,PB 的 中点,且 EF⊥CE;PB (1)求证:直线 PB∥平面 CEF; (2) 求证:平面 PAC⊥平面 PAB; (3)若 AB= 2 2 ,求点 P 到平面 CEF 的距离。

例 5.如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 是正方形, 其他四个侧面都是等边三角形, A C 与 B D 的交点为 O ,
E 为侧棱 S C 上一点.

(Ⅰ)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证: S A ∥平面 B D E ; (Ⅱ)求证:平面 B D E ? 平面 SA C ;

例 5.如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 是正方形, 其他四个侧面都是等边三角形, A C 与 B D 的交点为 O ,
E 为侧棱 S C 上一点.

(Ⅰ)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证: S A ∥平面 B D E ;
(Ⅰ)连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE . 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 SA ∥平面 BDE .

(Ⅱ)由已知可得, SB ? SD , O 是 B D 中点, 所以 BD ? SO 又因为四边形 A B C D 是正方形,所以 BD ? AC . 因为 AC ? SO ? O , 所以 B D ? 面 SA C . 又因为 B D ? 面 B D E , 所以平面 B D E ? 平面 SA C

P

A

C

B 练习1:如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证:BC⊥平面PAB 练习2:
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 B1CD;

练习1:如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证:BC⊥平面PAB P 证明:过点A作AE⊥PB于E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, C A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC B ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB

练习2:
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 B1CD;

证明: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以 AC⊥BC. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC. 因为 BC∩AC =C, 所以 AC⊥B1C. 所以 AC⊥平面 B B1C1C.

(Ⅱ)连结 BC1,交 B1C 于 E. 因为 所以 直三棱柱 ABC-A1B1C1, 侧面 B B1C1C 为矩形,且 E 为 B1C 中点.

又 D 是 AB 中点,所以 DE 为△ABC1 的中位线, 所以 DE// AC1. 因为 所以 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, AC1∥平面 B1CD.


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