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天津市耀华中学2012年12月高三第三次月考理科数学试题


天津市耀华中学 2012 年 12 月高三第三次月考理科数学试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1. 复数 A. ? i 2.
1 1? i ? i 1? i ?

B.

C. 1 ? i

D. 1 ? i

?2 ? x ? y ? 4 ?0 ? x ? 1 条件甲: ? ;条件乙: ? , ?0 ? xy ? 3 ?2 ? y ? 3

则甲是乙的 A. 充要条件 C. 必要而不充分条件 3.

B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.

?2 x ? y ? 4 ? 设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ? A. 有最小值 2,最大值 3 B. 有最小值 2,无最大值 C. 有最大值 3,无最小值 D. 既无最小值,也无最大值 某程序框图如图所示,该程序运行后输出 的 k 的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

?1 ? 5. 已知等比数列{an}的首项为 1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则数列 ? ? 的前 5 项和为 ? an ?

A.

31 16

B. 2
? ?

C.

33 16

D.

16 33

6. 将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 缩短到原来的 A.
1 2

??

再将图像上每一点横坐标 ? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位, 4?

倍,所得图像关于直线 x ? B.
3? 8
2

?
4

对称,则 ? 的最小正值为 D.

?
8

C.

3? 4

?
2

7. 设 F 是抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A 是抛物线与双曲线 C 2 :

x a

2 2

?

y b

2 2

=1

( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为

A. 2

B.

3

C.

5 2

D.

5

8. 若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y ? f (x) 的一对“友好点对” (注:点对[P,Q]与[Q,P]
?log 2 x( x ? 0) 看作同一对“友好点对”。已知函数 f ( x) ? ? ) ,则此函数的“友好点对”有 2 ?? x ? 4 x( x ? 0) A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对

1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. 某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数 的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为_______; 10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________;

11. 若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R ) 相交于 A、B 两点,且两圆在 点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是____________________;
2 2 2 2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间[ ? 1,2 ]上是减函数,那么 b+c 的最大值为 ________________;
3 2

13. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AP ? BD ,垂足为 P,且 AP ? 3 ,则 AP ? AC = _______;

14. 设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn ?

17 S n ? S 2 n a n ?1

,n ? N * ,

设 Tn 为数列{Tn}的最大项,则 n0=__________;
0

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos x ? 1( x ? R )
2

(1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ? 且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值。
1 2

,b,a,c 成等差数列,

2

16. (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场。每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局, 在每一场比赛中, 甲胜乙的概率为
2 3

, 甲胜丙的概率为

1 4

, 乙胜丙的概率为

1 5



(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

17. (本小题满分 13 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB//CD, ∠ABC = 90? ,AB=PB=PC=BC=2CD, 平面 PBC⊥平面 ABCD。 (1)求证:AB⊥平面 PBC; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小; (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM//平面 PAD?若存在,求 理由。
PM PB

的值;若不存在,请说明

18. (本小题满分 13 分) 如图 F1、F2 为椭圆 C :
e? 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点,D、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率

) 称为点 M 的一个 a b “椭点” ,直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q。
2
2

, S ?DEF ? 1 ?

3

2

。若点 M ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上,则点 N (

x0

,

y0

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1 的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出
3

该直线的方程;若不存在,请说明理由。

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? px ?
p x ? ln x , g ( x) ? ln x ?

p x

(1 ?

e ? 2e
2

p

2

) ,其中无理数 e=2.71828?。

(1)若 p=0,求证: f ( x) ? 1 ? x ; (2)若 f (x) 在其定义域内是单调函数,求 p 的取值范围; (3) 对于在区间 (1,2) 中的任意常数 p, 是否存在 x 0 ? 0 使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立?若存在, 求出符合条件的一个 x0;若不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2(n ? N * ) ,数列{bn}满足 bn ? 2 n a n 。
2 1

(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列 ?
?n ?1 ? n
5n ? * ; a n ? 的前 n 项和为 Tn,证明: n ? N 且 n ? 3 时, Tn ? 2n ? 1 ?

(3) 设数列{cn}满足 a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n( ? 为非零常数, ? N * ) 问是否存在整数 ? , , n 使得对任意 n ? N * ,都有 c n ?1 ? c n 。

数学发展性试题(15 分)
1. 若 a, b, c ? 0 且 a (a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为( A.
3 ?1



B.

3 ?1

C. 2 3 ? 2

D. 2 3 ? 2

2. 对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) (n 是不小于 3 的正整数) ,若对任意的 p, 。一个数组中所 q ? {1,2,3, ?, n} ,当 p ? q 时有 i p ? i q ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序” 有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数” ,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2。若数组 (i1 , i 2 , i3 , ?, i n ) 的逆序数为 n,则数组 (i n , i n ?1 , ?, i1 ) 的逆序数为_________.
4

3. 定 义 在 (?1,1) 上 的 函 数 f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? 1 ? xy ? , 当 x ? (?1,0) 时 f ( x) ? 0 。 若 ? ? ?
?1? ? 1 ? ?1? P ? f ? ?? f ? ? ,Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ,则 P,Q,R 的大小关系为_________. ? 5? ? 11 ? ? 2?

? x? y ?

答案 一、选择题 DCBA 二、填空题 9. 18 10. 80

ABDC 11. 4 12. ?
15 2

13. 18

14. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15. 解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ?
? 3 2 sin 2 x ? 1 2

?
6

) ? 2 cos x ? 1 ?
2

3 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? cos 2 x

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

)

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

f (x) 的单调递增区间为 [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6 1
2

](k ? Z )

(2)由 f ( A) ? ∵

1 2

,得 sin( 2 A ?

?
6

)?

?
6

? 2A ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2 A ?

?
6

?

5? 6

,∴ A ?

?
3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2 16. 解: (1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为 丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?
1 5 ? 4

2 3

?

1 4

?

1 6



5 1 4 2 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 ? ? 6 5 15

(2) ? 可能取的值为 0,3,6.
P (? ? 0) ? (1 ? 2 3 )(1 ? 1 )? 1 4 2 1 2 7 P (? ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12
5

4 1

P (? ? 6) ?

2 3

?

1 4

?

1 6

所以 ? 的分布列为

?
P E? = 0 ?
1 4 ? 3? 7 12 ? 6? 1 6 ? 11 4

0
1 4

3
7 12

6
1 6

17. 解: (1)证明:因为 ?ABC ? 90 o ,所以 AB⊥BC 因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC,AB ? 平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 PBC。 (2)

如图,取 BC 的中点 O,连接 PO,因为 PB=PC,所以 PO⊥BC。因为 PB=PC,所以 PO⊥BC,因为 平面 PBC⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD。以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz。 不妨设 BC=2。由 AB=PB=PC=BC=2CD 得,
P (0,0, 3 ), D ( ?1,1,0), A(1,2,0) 。

所以 DP ? (1,?1, 3 ), DA ? (2,1,0) , 设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) .
?m ? DP ? 0 ? x ? y ? 3z ? 0 ? 因为 ? ,所以 ? ?m ? DA ? 0 ?2 x ? y ? 0 ?

令 x ? ?1 ,则 y ? 2, z ?

3 。所以 m ? (?1,2, 3 ) 。

取平面 BCP 的一个法向量 n ? (0,1,0) , 所以 cos ? m, n ??
m?n | m || n | ? 2 2

所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 (3)

?
4

6

在棱 PB 上存在点 M 使得 CM//平面 PAD,此时 则 MN//PA,AN=
1 2

PM PB

?

1 2

。取 AB 的中点 N,连接 CM,CN,MN,

AB。因为 AB=2CD,所以 AN=CD,因为 AB//CD,所以四边形 ANCD 是平行四边

形,所以 CN//AD。 因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A,所以平面 MNC//平面 PAD。 因为 CM ? 平面 MNC,所以 CM//平面 PAD。 18. 解: (1)由题意得 e ?
S ?DEF2 ? 1 2
c a ? 3 2

,故 c ?
3 2 a) ? a 2

3 2

a, b ?

1 2

a,

? (a ? c) ? b ?

1 2

(a ?

?

1 4

? (1 ?

3 2

)a ? 1 ?
2

3 2


2

故 a 2 ? 4 ,即 a=2,所以 b=1,c= 3 ,故椭圆 C 的标准方程为 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 3

x

2

? y ? 1。

4

?x ? ? 3 ?x ? ? 3 ?x ? ? 3 1 1 ? ? ? 联立 ? x 2 解得 ? 或? 1 1 ,不妨令 A( ? 3 , ), B ( ? 3 ,? ) , 2 2 2 ? y ?1 ? ?y ? ?y ? ? 2 2 ? ? ? 4

所以对应的“椭点”坐标 P (?

3 1 3 1 1 , ), Q ( ? ,? ) 。而 OP ? OQ ? ? 0 . 2 2 2 2 2

所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点。 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 )
? y ? k ( x ? 3) ? 联立 ? x 2 ,消去 y 得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 4

设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P ( 系数的关系可得: x1 ? x 2 ?
? 8 3k
2 2

x1 2

, y1 ), Q (

x2 2

, y 2 ) ,由根与

4k ? 1

, x1 x 2 ?

12k ? 4
2

4k ? 1
2

若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 OP⊥OQ, x x 而 OP ? ( 1 , y1 ), OQ ? ( 2 , y 2 ) ,因此 OP ? OQ ? 0 , 2 2

7



x1 2

?

x2 2

? y1 y 2 ?

x1 x 2 4
2 2

? y1 y 2 ? 0 即
6 2

2k ? 1
2

4k ? 1
2

=0,解得 k ? ?
6 2

2 2

所以直线方程为 y ?

x?

或y??

2 2

x?

19. 解: (1)证明:当 p=0 时, f ( x) ? ? ln x 。 令 m( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,则 m ?( x) ?
1 x ?1 ? 1? x x

若 0 ? x ? 1 ,则 m ?( x) ? 0 , m(x) 在区间 (0,1) 上单调递增; 若 x ? 1 ,则 m ?( x) ? 0 , m(x) 在区间 (1,??) 上单调递减。 易知,当 x=1 时, m(x) 取得极大值,也是最大值。 于是 m( x) ? m(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,即 ? ln x ? 1 ? x 故若 p=0,有 f ( x) ? 1 ? x (2) f ?( x) ? p ?
p x
2

?
1 x

1 x

?

px ? x ? p
2

x

2

,令 h( x) ? px ? x ? p ( x ? 0)
2

①当 p=0, f ?( x) ? ?

? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上单调递减,故当 p=0 时符合题意;

②若 p>0, h( x) ? px ? x ? p ? p ( x ?
2

1 2p

) ? p?
2

1 4p

? p?

1 4p
1 2

则当 p ?

1 4p

? 0 ,即 p ?

1 2

时, f ?( x) ? 0 在 x>0 上恒成立,故当 p ?

时, f (x) 在 (0,??)

上单调递增; ③若 p<0 , h( x) ? px ? x ? p ? p ( x ?
2

1 2p

) ? p?
2

1 4p

的 图 像 的 对称 轴 为 x ?

1 2p

?0,

h(0) ? p ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 在 x>0 上恒成立,故当 p<0 时, f (x) 在 (0,??) 上单调递减。

综上所述, p ? (??,0] U [ ,??)
2

1

(3)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? px ? 2 ln x ?

e ? 2e
2

,则原问题等价于是否存在 x0>0 使得

px
F ( x 0 ) ? 0 成立,故只需满足 [ F ( x)] min ? 0 即可。
e ? 2e
2

因为 F ?( x) ? p ?

2 x

?

px

2

?

( px ? e)( px ? 2 ? e) px
2

?

p x
2

(x ?

e p

)( x ?

2?e p

)

而 x ? 0,1 ? p ? 2 ,故 故当0 ? x ? 在(
e p e p

e p

? 0,

2?e p

? 0, e p

时, ?( x) ? 0 , F (x) 在 (0, 则 F

当 ) 上单调递减; x ?

e p

时, ?( x) ? 0 , F (x) 则 F

,??) 上单调递增。 e

易 知 F ( x) min ? F ( ) ? e ? 2 ? 2 ln p ? e ? 2 ? 2e ? 2 ln p ? 4 ? 0 与 上 述 要 求 的
p

[ F ( x)] min ? 0 相矛盾,故不存在 x 0 ? 0 使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立。

20. 解: (1)在 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
2

1

1 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ,∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,
2 2
8

1

1

∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 .
2

1

∵ bn ? 2 a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 .
n

又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,∴ a n ? (2)由(1)得 c n ?
n ?1 n 2
n

.

1 n a n ? ( n ? 1)( ) ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 n ① Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 ② Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 1 n ?1 3 n ? 3 2 ? 1? 4 ? ( n ? 1)( ) ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ∴ Tn ? 3 ? n 2

Tn ?

5n 2n ? 1

? 3?

n?3 2
n

?

5n 2n ? 1

?

( n ? 3)(2 ? 2n ? 1)
n

2 ( 2n ? 1)
n

于是确定 Tn 与

5n 2n ? 1
2

的大小关系等价于比较 2 与 2n+1 的大小
3 4 5

n

由 2 ? 2 ? 1 ? 1;2 ? 2 ? 2 ? 1;2 ? 2 ? 3 ? 1;2 ? 2 ? 4 ? 1;2 ? 2 ? 5;? 可猜想当 n ? 3 时, 2 n ? 2n ? 1 .证明如下: 证法 1:①当 n=3 时,由上验算显示成立。 ②假设 n=k+1 时
2
k ?1

? 2 g 2 ? 2( 2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2( k ? 1) ? 1 ? ( 2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1
k

所以当 n=k+1 时猜想也成立 综合①②可知,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 n ? 2n ? 1 . 证法 2:当 n ? 3 时
2 ? (1 ? 1) ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n
n n 0 1 2 n ?1

? Cn ? Cn ? Cn ? Cn
n 0 1

n ?1

? C n ? 2n ? 2 ? 2n ? 1
n

综上所述,当 n=1,2 时 Tn ? (3)∵ c n ? 3 ?
n

5n 2n ? 1
n

,当 n ? 3 时 Tn ?
n ?1

5n 2n ? 1

( ?1)

n ?1

? ?n
n

3 ? ( ?1)
n ?1 n

? ? 2n
n ?1

an
? ( ?1) ? ? 2 ] ? [3 ? ( ?1)

∴ c n ?1 ? c n ? [3
n

n ?1

? ? 2n ]

? 2 ? 3 ? 3? ( ?1)

n ?1

?2 ? 0
n
n ?1

∴ (?1)

n ?1

?3? ?? ? ? ? ?2?


?3?
2k ?2

当 n=2k-1,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ? ?
?2? 依题意,②式对 k=1,2,3??都成立,∴ ? ? 1
9



当 n=2k,k=1,2,3,??时,①式即为 ? ? ?? ?
?2?

?3?

2 k ?1



依题意,③式对 k=1,2,3??都成立, ∴? ? ?
3 2

∴?

3 2

? ? ? 1 ,又 ? ? 0

∴存在整数 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N * 有 cn ?1 ? cn . 数学发展性试题 1. D 2.
n ? 3n
2

3. P ? R ? Q

2

10


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