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揭阳一中2013届高一下学期期中考试(文科数学)


揭阳一中 2013 届高一下学期期中考试 文科数学
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1. tan 300? ? ( )

A.

3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?


3 3

2. 已知 ? 、 ? 、 ? 是两两不重合的三个平面,下列命题中错误的是( ..

A .若 ? / / ? , ? / /? ,则 ? // ?

B .若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D .若 ? / / ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ,则 a / / b


C .若 ? / / ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

3.在下列区间中,函数 f ? x ? ? 3x ? x2 的零点所在区间是(

A . ? 0,1?
4. 若 ? 是第二象限的角,则

B . ?1, 2 ?

C . ? ?2, ?1?
)象限的角.

D . ? ?1,0?

? 是第( 2

A .一

B .二或三

C .一或二

D .一或三

5. 如右图为一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形, A1B1 ? 2 , AA ? 4 , 1 则该几何体的表面积为( ) A1 C1 B1

A .6? 3

B . 24 ? 3
D . 32
A C 正视图 B 侧视图
2 2

C . 24 ? 2 3

俯视图 )

6. 一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路径是(

A .4

B .5

C . 3 2 ?1

D .2 6

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 7. 已知 tan ? ? 2 ,则 的值( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 A .1 B . ?1 D .2 C . ?2 ?? ? ? 8. 函数 y ? sin x ? ? ? x ? ? 的大致图象是( ) 2? ? 2

?



1

9.下列函数中,同时满足①在 ? 0,

? ?

??

? 上是增函数,②为奇函数,③以 ? 为最小正周期的函数是( 2?
C . y ? tan



A . y ? cos x

B . y ? tan x

10.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? 则

?
4

x 2

D . y ? sin x

)(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,

f ( x) 的单调递增区间为(



? ? 3? ? A . ?? k? , ? k? ? (k ? Z ) 4 ? 4 ? 3? ? ? ? C . ?- ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 4 ? 4 ?

? ? 3? ? B . ?? k? , ? k? ? (k ? Z ) 8 ? 8 ? 3? ? ? ? D . ?- ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 8 ? 8 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 化简:

1 ? 2sin 70? cos 430? = sin 250? ? cos 790?

. .

12. 已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是 13. 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? ,则 tan ? 的值为 5

.

14.给出下列四个结论: ① 若角的集合 A ? ??

? ?

??

k? ? ? ? ? ? ? , k ? Z ? , B ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? ,则 A ? B ; 2 4 4 ? ? ?

5? 2? 2? ? cos ? tan 7 7 7 ? ? 5? ? ? ③ ?k? ? , k? ? ? k ? Z 是函数 y ? sin( ? 2 x ) 的单调递减区间 3 12 12 ? ? k? ④ 函数 y ?| tan x | 的周期和对称轴方程分别为 ? , x ? (k ?Z ) 2
② sin 其中正确结论的序号是 . (请写出所有正确结论的序号) 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要文字说明,证明过程或演算过程.) 15. (本小题满分 12 分) 记关于 x 的不等式 ? a ? x ?? 2x ?1? ? 0 的解集为 P ,不等式 log2 ? x ? 2? ? 1 的解集为 Q . (1)若 a ? 4 ,求 P ; (2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

2

16.(本小题满分 12 分) (1)已知直线 ? a ? 2? x ? ?1 ? a ? y ? 3 ? 0 和直线 ? a ?1? x ? ? 2a ? 3? y ? 2 ? 0 互相垂直,求 a 值; (2)求经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 3sin ?

?? ?1 x? ?,x? R 4? ?2

(1)列表并画出函数 f ? x ? 在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y ? sin x 的图象作怎样的变换可得到 f ? x ? 的图象?

18. (本小题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AD ? AA ? 1 , AB ? 2 , E 为 AB 的中点, F 为 CC1 的中 1 1 点. (1)证明: BF //平面 ECD1 ; (2)求二面角 D1 ? EC ? D 的余弦值.

3

19.(本小题满分 14 分) 已知以点 P 为圆心的圆过点 A ? ?1,0? 和 B ?3,4? ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 、 D ,且

CD ? 4 10 ,
(1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程; (3)设点 Q 在圆 P 上,试探究使 ?QAB 的面积为 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? B 的一部分图象如下图所示,如果 A ? 0, ? ? 0, | ? |?
y

?
2



(1)求函数 f ? x ? 的解析式。 (2)记 g ( x) ? log2 [ f ( x) ? 1] , 求函数 g ? x ? 的定义域。

4 2 O ? 6 5? 12 x

(3)若对任意的 x ? [ ?

? ?

, ] ,不等式 log 1 f ( x) ? m ? 3 恒成立,求实数 m 的取值范围。 6 6 2

4

参考答案
一、选择题:BBDDC ACCBB 二、填空题:11. ?1 三、解答题: 15.解: (1)若 a ? 4 ,得 ? 4 ? x ?? 2x ?1? ? 0 . ………1 分,解得 ? 于是集合 P ? ? x ? 12.

7 10

13. ?

4 3

14.①③④

1 ? x ? 4 ………3 分 2

? ?

1 ? ? x ? 4? . ……………………4 分 2 ?

(2)解不等式 log2 ? x ? 2? ? 1 得 Q ? x log 2 ? x ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? x ? 4 .…………6 分 ∵ 方程 ( x ? a)(2 x ? 1) ? 0 的两根为 ?

?

? ?

?

1 ? 1 ? , a ,由 a ? 0 ,得 P ? ? x ? ? x ? a ? ,…10 分 2 2 ? ?

? 又∵ Q ? P , ∴ Q ? P ,所以 a ? 4 ,即 a 的取值范围是 (4, ?) .………12 分
16. 解: (1)当 ? a ? 2?? a ?1? ? ?1 ? a ?? 2a ? 3? ? 0 时两直线互相垂直………………3 分 解得 a ? 1 或 a ? ?1 ………………6 分 (2)当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ;………………8 分 当截距不为 0 时,设

x y x y ? ? 1, 或 ? ? 1, ………………………………………10 分 a a a ?a

过点 A(1, 2) ,则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 这样的直线有 3 条: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 ……………………12 分
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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17. 解: (1)函数 f ( x) 的周期 T ?

2? ? 4? 1 2



1 ? ? 3? ? 3? 5? 7? 9? . 列表如下: x ? ? 0, , ? , ,2? ,解得 x ? , , , , 2 4 2 2 2 2 2 2 2
x

?
2
0 0

3? 2

5? 2
π 0

7? 2 3? 2
–3

9? 2
2π 0 …………………………4 分

1 ? x? 2 4
3sin(

?
2
3

1 ? x? ) 2 4

5

描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图. 图象如下.

………………………………………8 分 (2)方法一:先把 y ? sin x 的图象向右平移

?
4

个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再把

所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f ( x) 的图象. …………………14 分 方法二:先把 y ? sin x 的图象所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再把图象向右平移

?
2

个单位,得到 f ( x) 的图象. …………………14 分

18. (1)证明:取 CD1 中点 G ,连结 FG .

1 C1 D1 且 FG / /C1D1 2 1 ∵ AB ? C1 D1 且 AB / /C1D1 ,∴ FG ? AB ? BE 且 FG / / BE 2
∵ F 为 CC1 的中点 D1 , ∴ FG ? ∴四边形 FGEB 为平行四边形∴ BF / / GE ……………………4 分 ∵ GE ? 平面 ECD1 、 BF ? 平面 ECD1 ∴ BF / / 平面 ECD1 ……………………7 分 (2)解:连结 DE ∵ AD ? AA ? 1 , AB ? 2 , E 为 AB 的中点,∴ DE ? EC …………………9 分 1 ∵ DD1 ? 平面 ABCD ,∴ DD1 ? EC ,又 DD1 ? DE ? D , DD1 ? 平面 EDD1 ,

DE ? 平面 EDD1 ∴ CE ? 平面 EDD1 ,∴ CE ? ED1 …………………………11 分
∴ ?DED1 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面角. ……………………………………12 分

Rt ?ADE 中 DE ? 2 ,∴ Rt ?D1DE 中 D1 E ? 3 ,∴ cos ?DED1 ?
19. 解: (1)∵ k AB ? 1 , AB 的中点坐标为 ?1, 2 ?

DE 6 …………14 分 ? D1E 3

6

∴直线 CD 的方程为: y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 3 ? 0 …………………………3 分 (2)设圆心 P (a, b) ,则由 P 在 CD 上得 a ? b ? 3 ? 0 ①………………………………4 分 又直径 CD ? 4 10 ,∴ PA ? 2 10 ,∴ (a ? 1)2 ? b2 ? 40 ②…………………7 分 ①代入②消去 a 得 b ? 4b ? 12 ? 0 ,解得 b ? 6 或 b ? ?2 .
2

当 b ? 6 时有 a ? ?3 ,而当 b ? ?2 时有 a ? 5 ∴圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴圆 P 的方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 40 或 ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 40 …………10 分 (3)∵ AB ?

42 ? 42 ? 4 2 ……………………11 分

∴当 ?QAB 面积为 8 时,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 …………………………12 分 又圆心到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 ,且 4 2 ? 2 2 ? 2 10 ∴圆上共有两个点 Q ,使 ?QAB 的面积为 8 . …………………………14 分 20. 解: (1)由图像可知 A ?

?2?

?
6

? ? ? 2k? ?

?
2

4?0 4?0 T 5? ? ? 2? ?2,B ? ? 2, ? ? ? ,?T ? ? ,?? ? ?2 2 2 4 12 6 4 T

,?? ? 2k? ?

?

6

(k ? Z ) ,?| ? |?

?

2

,?? ?

?

6

………………4 分

(2)由(1)知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 有 f ? x ? ?1 ? 0 ,故 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 2 ,要使函数 g ( x) ? log2 [ f ( x) ? 1] 有意义, 6?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 1 ? 0 ,即 sin ? 2 x ? ? ? ? …………………6 分 6? 6? 2 ?

? 2 k? ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

7? ? ? ,解得 k? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? .………………7 分 6 6 2

? ? ? 7? ? , k ? Z ? .…………………8 分 ? 函数 g ? x ? 的定义域为 ? x 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 6 6 6 ? ?
(3)对 ?x ? ? ?

? ? ? 1 ?? ? ? ?? ? , ? ,有 ? ? 2 x ? ? ,?? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,?1 ? f ? x ? ? 4 …10 分 6 6 2 2 6? ? 6 6? ?
2 2 2

?log 1 4 ? log 1 f ? x ? ? log 1 1 ,即 ?2 ? log 1 f ? x ? ? 0 ……………12 分
2

若 log 1 f ? x ? ? m ? 3 对 ?x ? ? ?
2

? ? ?? 恒成立,即 log 1 f ? x ? 的最小值大于 m ? 3 .…13 分 , ? 6 6? ? 2

故 ?2 ? m ? 3 ,即 m ? 1 .……………………14 分
7


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