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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数判断函数的单调性


§ 1.3
1.3.1
一、基础过关

导数的应用

利用导数判断函数的单调性

1.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是 乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞) ( ) ( ) ( )

3.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x)是 A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 4.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 A.y=sin x C.y=x3-x B.y=xe2 D.y=ln x-x

(

)

3 5. 函数 y=f(x)在其定义域?-2,3?内可导, 其图象如图所示, y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 记 ? ? 则不等式 f′(x)≤0 的解集为______________.

6.函数 y=x-2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______. 7.

已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,试画出函数 y=f(x)的大致图象.

二、能力提升 8.如果函数 f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是 ( )

9.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 10.函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围为________. 11.求下列函数的单调区间: 1 (1)y=x-ln x;(2)y= . 2x

(

)

12.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线方 程为 6x-y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m、n∈R,m≠0),函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间.

答案
1.A 2.D 3.A 1 5.?-3,1?∪[2,3) ? ? π 5π 6.?3, 3 ? ? ? 7.解 由 y=f′(x)的图象可以得到以下信息: x<-2 或 x>2 时,f′(x)<0, -2<x<2 时,f′(x)>0, f′(-2)=0,f′(2)=0. 故原函数 y=f(x)的图象大致如下: 4.B

8.A 11.解

9.C 10.a≤0 1 (1)函数的定义域为(0,+∞),y′=1- , x

由 y′>0,得 x>1; 由 y′<0,得 0<x<1. ∴函数 y=x-ln x 的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1). (2)函数的定义域为{x|x≠0}, 1 y′=- 2, 2x 1 ∵当 x≠0 时,y′=- 2<0 恒成立. 2x 1 ∴函数 y= 的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),没有单调增区间. 2x 12.解 (1)由 y=f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2, ∴f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c. 由在点 M(-1, f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0, 知-6-f(-1)+7=0, f(-1)=1, 即 f′(- 1)=6.
? ? ?3-2b+c=6 ?2b-c=-3 ∴? ,即? ? ? ?-1+b-c+2=1 ?b-c=0

解得 b=c=-3. 故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)f′(x)=3x2-6x-3. 令 f′(x)>0,得 x<1- 2或 x>1+ 2;

令 f′(x)<0,得 1- 2<x<1+ 2. 故 f(x)=x3-3x2-3x+2 在(-∞,1- 2)和(1+ 2,+∞)内是增函数,在(1- 2,1+ 2) 内是减函数. 13.解 (1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx, 又 f′(2)=0,∴3m+n=0,故 n=-3m. (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2, ∴f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时,解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,解得 0<x<2,则函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 综上,当 m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2).


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