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8.4.2圆的一般方程


眉县职业教育中心电工二年级《数学》导学案 有志者事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。——蒲松龄 电工二年级数学备课组

§8.4.2 圆的一般方程导学案
班 组 姓名 组评 学习目标: 1、讨论并掌握圆的一般方程的特点; 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心的坐标和半径; 3、能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题; 4、通过对圆的一般方程的特点的讨论,培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度. 重点:圆的一般方程的探求过程及其特点. 难点:能根据圆的一般方程特点判断所给方程是否圆的方程并求出圆心坐标与半径. 学法指导: 1、小组长带领组员回顾有关知识,精读教材第 70 页到 71 页内容完成导学案,将不能独立完成的问 题提交组上,有本组成员共同讨论完成,若本组共同无法完成,将问题提交老师,全班共同完成. 2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录. 3、课后组长带领大家对本节中出现的错误,共同讨论进行纠错,各组成员将纠错内容记录在“纠错 本”上. 教学过程:

一、 【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况,并对问题导读评价单中 出现的问题进行规范指导.
(一) 、知识梳理、双基再现 1、圆的一般式方程
2 2

将圆的标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 展开并整理, 可得 x2 ? y 2 ? ? ?2a ? x ? ? ?2b ? y ? a 2 ? b2 ? r 2 ? 0 . 令 D ? ?2a , E ? ?2b , F ? a 2 ? b2 ? r 2 , 则

?

?

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

(1)

这是一个二元二次方程.观察方程(1) ,可以发现它具有下列特点: (1) 、含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是_______________; (2) 、方程不含 xy 项. 那么,具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗? 将方程(1)配方整理得___________________________, (2)

当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(2)为是圆的标准方程,其圆心在____________,半径为____________. 方程:___________________________ 叫做圆的一般方程.其中 D、 E、 F 均为常数. 2、圆的一般式方程的条件
2 2 (1) 、当 D ? E ? 4F ? 0 时, (1)式只有实数解 y ? ____________, x ? ____________,即(1)式

(3)

表示一个点____________, (有时也叫点圆) ; (2) 、当 D ? E ? 4F ? 0 时, (1)式没有实数解,因而它不表示任何图形.
2 2

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。——荀子

眉县职业教育中心电工二年级《数学》导学案 有志者事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。——蒲松龄 电工二年级数学备课组 3、圆的一般式方程的特点 (1) 、 x 2 , y 2 系数相同,且不等于零; (2) 、没有 xy 这样的二次项; (3) 、 D 2 ? E 2 ? 4 F _____0. (二) 、小试身手、轻松过关 判断下列方程是否为圆的方程,若是求出圆心的坐标和半径. 1、x2 ? y 2 ?12 x ? 6 y ? 50 ? 0 ; 2、x2 ? y 2 ? 3xy ? 2 x ? 5 y ? 0 ; 3、x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 .

【我的疑惑】 二、 【基础训练、锋芒初显】——自主学习,合作探究——教师发放问题生成评价单;学生分 组讨论,教师巡回指导;各学习小组选派学生,汇报问题生成评价单完成情况;教师对问题 生成评价单完成情况进行点评. (一) 、判断以下方程是否是圆的方程,如果是,求出圆心的坐标及半径.
1、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ; 3、 x 2 ? 2 y 2 ? 6 x ? 4 y ? 0 ; 2、 2 x2 ? 2 y 2 ?12 x ? 4 y ? 0 ; 4、 x2 ? y 2 ?12x ? 6 y ? F ? 0 .

(二) 、以点 ? ?2,5 ? 为圆心,并且过点 ? 3, ?7 ? 的圆的一般式方程.

【我的疑惑】 三、 【举一反三、能力拓展】——强化训练,形成能力——教师发放问题训练拓展评价单;学 生分组讨论完成问题训练拓展评价单上的练习题,教师巡回指导;各学习小组选派学生,汇 报问题训练拓展评价单完成情况; 教师对问题训练拓展评价单完成情况进行点评; 作业布置. (一) 、求下列各圆的圆心坐标和半径:
1、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ; 2、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ; 3、x2 ? y 2 ? 2ax ? 0 ; 4、x2 ? y 2 ? 2bx ? 2b2 ? 0 .

(二) 、求圆心是 C ? ?3,1? ,且经过原点的圆的一般式方程.

【我的疑惑】 四、 【畅谈收获、提升意义】
1、教师提问: (1)咱们今天学习的是什么内容?(2)你们今天学会了什么内容? 2、学生自我小结:(1)今天学习了什么内容?(2)今天学会了什么内容?(3)我有什么疑惑?

五、 【布置作业、知识巩固】课本 P71 ,练习 8.4.2 第 1、2、3 题.
不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。——荀子


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