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江西省丰城中学2015-2016学年高二数学上学期周练试题(文科实验班,1.10)


丰城中学 2015-2016 学年度上学期高二数学周考试卷 文科实验班、零班(38、37 班)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 1.若椭圆

x2 y2 x2 y2 1 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的渐近线方程为 的离心率为 ,则双曲线 2 a2 b2 a2 b2
3 x 2
B. y ? ? 3x C. y ? ?



) A. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

2. 给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题, 其中正确命题的个数是 ( ) (1) m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m 则 l 与 m 不共面; (2) l , m 是异面直线, l // ? , m // ? 且 n ? l , n ? m 则 n ? ? ; (3)若 l // ? , m // ? .? // ? 则 l // m ; (4)若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l // ? , m // ? ,则 ? // ? , (5)若 l ? ? , l ? n ,则 n/ /? A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

3.设点 A 、 B 、 C 为球 O 的球面上三点,O 为球心,若球 O 的表面积为 100? ,且 ?ABC 是边长为 4 3 的正三角形,则三棱锥 O ? ABC 的体积为( A.12 B. 12 3 C. 24 3 D. 36 3 )

4.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何 体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体 的体积为( ) A.

8? ? 15 3

B.

16? ? 3 3

C.

8? 2 3 ? 3 3

D.

16? 2 3 ? 9 3

5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2 , E 为 CC1 的中点, 则点 C 到 平面 BED 的距离为( A.1 B. 2 ) C. 3 D.2

6.下列命题中正确的是( ) A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题

1

B.“ a ? 0 , b ? 0 ”是“

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b

C .命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0”
2 D.命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0

7.已知

?? x, y?

(m ? 3 )x ?

y ? 3m ?? ? 4 ??

x 8 ? , y 7?x (?5 m )?y ??
) D.4

0 ? ,? 则直线

? m ? 3? x ?
A.1

3m ? 4 与坐标轴围成的三角形面积是( y?
B.2
2

C.3
2

8.直线 y ? kx ? 1 ? 0(k ? R)与椭圆 A. (0,1) B. (0,5)

x y ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m C. [1,5) ? (5,??) D. [1,?? )



9. 对任意的实数 x ,若 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,则 “ x ? y ? 1” 是 “ ?x? ? ?y? ” 的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件



D.既不充分也不必要条件 )

10.若函数 f ? x ? ? x ? a ln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. ?0, ?? ? B. ? ??,0? C. ? ??,0 ?

D. ? 0, ?? ?

11 .已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (?

? ?

, ) 满足 f ?( x) cos x ? f ( x) sin x ? 0 (其中 2 2


,则下列不等式成立的是( f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) A. 2 f (?

?

) ? f (? ) 3 4

?

B. 2 f ( ) ? f ( ) 3 4

?

?

C.f (0) ? 2 f ( ) 3

?

D.f (0) ? 2 f ( )

?

4

12 .设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.过点 (1,1) 的直线与圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,则 | AB | 的最小值为
2 2

___________. 14.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln ? x ? a ? 相切,则 a 的值为 ___________. 15.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 b ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若点 F2 关于直线 y ? x 2 a b a
2

的对称点 M 也在双曲线上,则该双曲线的离心率为___________. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A, B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB ,则弦 AB 中点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2 y2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ④双曲线 35 25 9
其中真命题的序号为___________. (写出所有真命 题的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 小题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分.解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)设 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q :实
2 ? ? x ? 7 x ? 18 ? 0, 数 x 满足 ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, D , ? 分别是 ?? , ??1 的 中点, ??1 ? ?C ? C? ?

2 ?? . 2

(1)证明: ?C1 // 平面 ?1CD ; (2)当 ?? ? 2 2 时,求三棱锥 C ? ?1D? 的体积.

19. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C: ( x ? a) ? y ? a ,圆心为 C,圆 C
2 2 2

与直线 l1 : y ? ? x 的一个交点的横坐标为 2. (1)求圆 C 的标准方程;
3

(2)直线 l2 与 l1 垂直,且与圆 C 交于不同两点 A、B,若 S?ABC ? 2 ,求直线 l2 的方程.

20. (本小题满分 12 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升) 关 于 行 驶 速 度 x ( 千 米 / 小 时 ) 的 函 数 解 析 式 可 以 表 示 为 :

y?

1 3 x3 ? x ? 8 128000 80

(0 ? x ? 120) ,已知甲、乙两地相距 100 千米

(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车 以多 大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C:y =4x,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过点 M 的 直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)若 m=1,且直线 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; ( 2 )是否存在定点 M ,使得不论直线 l 绕点 M 如何转动,

2

1 1 ? 恒为定值? 2 | AM | | BM |2

22. (本小题满分 12 分)已知函数: f ( x ) ? ln x ? ax ? 3( a ? 0) . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
3 (2)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值, 2

求实数 m 的取值范围.

1—6 ACBDAD 13. 4

丰城中学 2015-2016 学年度上学期高二数学(文)周考试卷答案 7—12 BCBCAC 15. 5 16.③④

14. 2

17. 解: (1)化简 p:集合 P ? ( a,3a )
4

化简 q:集合 Q=[?2,9] ? ((??, ?4) ? (2, ??)) ? (2,9]

? a ? 1,? p : P=(1,3)

依题意有 p ? q 为真,? x ? P ? Q,即x ? (1,3) ? (2,9] ? (1,9]

(2)若 ?p 是 ? q 的必要不充分要条件,则 ?q ? ?p 且逆命题不成立,即 P? Q 。

?

∴ (a,3a)? (2,9] ,即 2 ? a ? 3a ? 9 ∴ a ? [2,3]

?

18. 解: (1)证明:连接 由矩形

?C1 与 ?1C 相交于点 F ,连接 DF .

?CC1?1 可得点 F 是 ?C1 的中点,又 D 是 ?? 的中点,? DF//?C1 ,

? ?C1 ? 平面 ?1CD , DF ? 平面 ?1CD ,? ?C1 // 平面 ?1CD .
(2)? ?C ? ?C , D 为 ?? 的中点,? CD ? ?? ,

? 平面 ???1?1 ? 平面 ??C ? ?? ,? CD ? 平面 ???1?1 .
又 CD ? ?C ? ?D ? 2 ,
2 2

1 1 1 S??1D? ? S矩形???1?1 ? S ??D? ? S ??1?1? ? S ???1D ? 2 ? 2 2 ? ? 2 ?1 ? ?1? 2 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2

?

3 2 1 1 3 2 V ? ? CD ? S??1D? ? ? 2 ? ?1 2 ,?三棱锥 C ? ?1D? 的体积 3 3 2 .

19.解: (1)由 圆 C 与直线 l1 : y ? ? x 的一个交点的横坐标为 2,
2 2 2 可知交点坐标为(2,-2)∴ (2 ? a) ? (?2) ? a 解得 a ? 2

所以圆的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

(2)由(1)可知圆 C 的圆心 C 的坐标为(2,0) 由直线 l2 与直线 l1 垂直, 直线 l1 : y ? ?x , 可设直线 l2 : y ? x ? m 圆心 C 到 AB 的距离 d ?

|2?m| 2

| AB |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ?

(2 ? m)2 2

所以 S?ABC ?

1 1 |2?m| | AB | ?d ? ?2(m ? 2)2 ? 16 ? =2 2 2 2
2

令 t ? (m ? 2) ,化简可得 ?2t ? 16t ? 32 ? ?2(t ? 4) ? 0 ,
2 2

解得 (m ? 2) ? t ? 4 ,所以 m ? 0或m ? ?4
2

5

∴直线 l2 的方程为 y ? x 或 y ? x ? 4 20. 解: (1)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 128000 80

答当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 17.5 升

100 小时,设油耗为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8) ? ? x ? ? 依题意得 h( x) ? ( ( 0 ? x ? 120 ) 128000 80 x 1280 x 4
(2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 则 h?( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? 2 ? 640 x 640 x 2

( 0 ? x ? 120 )

令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 80 ,列表得

x
h?( x)

(0,80) -

80 0

(80,120] +

h( x )





所以当 x ? 80 时, h( x) 有最小值 h(80) ? 11.25 . 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 21. 解: (1)当 m=1 时,M(1,0) ,此时,点 M 为抛物线 C 的焦点,

? y2 ? 4x y ? x ? 1,?设? A( x1 , y1 ),?B( x2 ,? y2 ),?联立 ? , ? y ? x ?1 直线 l 的方程为
消去 y 得,

x2 ? 6x ? 1 ? 0,??? ?x1 ? x2 ? 6,?? y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4,

∴圆心坐标为(3,2) . 又

| AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8,? ∴ 圆的半径为 4,
2 2

∴圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 16 (2)由题意可设直线 l?的方程为?x ? ky ? m,?则直线?l 的方程与抛物线 C:y2=4x 联立, 消去

x?得, ? y2 ? 4ky ? 4m ? 0,?则? y1 y2 ? ?4m,? y1 ? y2 ? 4k ,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | AM | | BM | ( x1 ? m) ? y1 ( x2 ? m) ? y2 (k ? 1) y1 (k ? 1) y2
6

2 y12 ? y2 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 16k 2 ? 8m 2k 2 ? m ? 2 ? ? ? 2 2 (k ? 1) y12 y2 (k 2 ? 1) y12 y2 (k 2 ? 1) ?16m2 2 m2 (k 2 ? 1) 对任意 k∈R 恒为定

值,

1 1 1 m ? 2,?此时? ? ? . 2 2 | AM | | BM | 4 于是
∴存在定点 M(2,0) ,满足题意. 22. 解: (Ⅰ)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x ) ? 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) ,无减区间; (Ⅱ) g ( x ) ? x ?
3

1 ?a, x

1 a

1 a

x2 m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, ? g ?( x ) ? 3x 2 ? ( m ? 2a ) x ? 1, 2 2

? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上有最值,? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上总不是单调函数,
又 g ?(0) ? ?1? ?

? g ?( a ) ? 0 ? g ?(3) ? 0

由题意知:对任意

a ? [1, 2], g ?( a ) ? 3a 2 ? ( m ? 2a ) ? a ? 1 ? 5a 2 ? ma ? 1 ? 0
?m ? 1 ? 5a 2 1 ? ? 5a, 因为 a ? [1, 2] a a
/









?m ? ?

19 2 ? 6a ? 26 26 ?? ? 2a 3 3

对任意 a ? ?1,2? , g ?3? ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立 ∴ m ? ∵ a ? ?1,2? ∴m ? ?

32 3

??

32 19 ?m?? 3 2

7


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