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最新人教A版必修四高中数学1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同步习题及答案

1.2.2 同角三角函数的基本关系 课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系 进行化简、求值和证明. 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:____________________. (2)商数关系:____________(α≠kπ+ 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1 的变形公式: sin2α=________;cos2α=________; (sinα+cosα)2=____________________; (sin α-cos α)2=________________; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=______; sin α·cos α=______________________=________________________. (2)tanα= sinα 的变形公式:sinα=________________;cosα= cosα π ,k∈Z). 2 ______________. 一、选择题 1.化简 sin2α+cos4α+sin2αcos2α 的结果是( 1 1 3 A. B. C.1D. 4 2 2 2.若 sinα+sin2α=1,则 cos2α+cos4α 等于( A.0B.1C.2D.3 4 3.若 sinα= ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值等于( 5 ) ) ) 4 3 3 4 A.- B. C.± D.± 3 4 4 3 1 1+2sinαcosα 4.已知 tanα=- ,则 的值是( 2 sin2α-cos2α 1 1 A. B.3C.- D.-3 3 3 5.已知 sinα-cosα=- A.-4B.4C.-8D.8 6.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα 等于( 1 1 A. B.2C.- D.-2 2 2 ) 5 1 ,则 tanα+ 的值为( 2 tanα ) ) 二、填空题 7.已知 α 是第四象限角,tanα=- 5 ,则 sinα=________. 12 8.已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=________. 1 π π 9.已知 sinαcosα= 且 <α< ,则 cosα-sinα=____. 8 4 2 10.若 sinθ= k+1 k-1 ,cosθ= ,且 θ 的终边不落在坐标轴上,则 tanθ 的 k-3 k-3 值为________. 三、解答题 11.化简: 1-cos4α-sin4α . 1-cos6α-sin6α 12.求证: 1-2sin2xcos2x 1-tan2x = . cos22x-sin22x 1+tan2x 能力提升 13.证明: 1-cos2α sinα+cosα (1) - =sinα+cosα; sinα-cosα tan2α-1 (2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α). 14.已知 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两个根(a∈R). (1)求 sin3θ+cos3θ 的值; (2)求 tanθ+ 1 的值. tanθ 1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律, 它的精髓在“同角”二字上,如 sin22α+cos22α=1, 立,理由是式子中的角为“同角”. 2.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三角函数值时,要注意公式 的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求 sinα 或 cosα 时,其正负号是由角 α 所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱 写公式. 3.在进行三角函数式的求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用公式, 统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点. sin8α =tan8α 等都成 cos8α 1.2.2 同角三角函数的基本关系 答案 知识梳理 1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tanα= sinα cosα 2.(1)1-cos2α 1-sin2α 2 1+2sinαcosα 1-2sinαcosα (2)cosαtanα 2 sinα tanα α+cosα 2 作业设计 1.C 4.C 2.B [ 3.A -1 1- α-cosα 2 2 1+2sinαcosα = sin2α-cos2α α+cosα α+cosα α+cosα sinα+cosα = α-cosα sinα-cosα 1 - +1 2 tanα+1 1 = = =- .] tanα-1 1 3 - -1 2 5.C [tanα+ 1 sinα cosα 1 = + = . tanα cosα sinα sinαcosα 1- ∵sinαcosα= α-cosα 2 2 1 1 =- ,∴tanα+ =-8.] 8 tanα 联立消去 cosα 后得(- 5- 6.B [方法一 ?cosα+2sinα=- 5 由? 2 2 ?cos α+sin α=1 2sinα)2+sin2α=1. 化简得 5sin2α+4 5sinα+4=0 ∴( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- ∴cosα=- 5-2sinα=- ∴tanα= sinα =2. cosα 5 . 5 2 5 . 5 方法二 ∵cosα+2sinα=- 5, ∴cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5, cos2α+4sinαcosα+4sin2α ∴ =5, cos2α+sin2α 1+4tanα+4tan2α ∴ =5, 1+tan2α ∴tan2α-4tanα+4=0, ∴(tanα-2)2=0,∴tanα=2.] 5 7.- 13 4 8. 5 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ 解析 sin θ+sin

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