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2015年保定市第二次高考模拟考试理科数学


2015 年保定市第二次高考模拟考试

理科数学答案
一.选择题:A 卷:ABCDD BACDB CB B 卷:BACDD BACBD CB 16.81π 二.填空题: 13. ?x ? R , | x |? 0 ;14.80 ; 15. 2x-y-1=0 或 2x+y-11=0.; 三.解答题: 解: (1)设 ?an ? 公差为 d , 17. (本小题满分 12 分)

? a1 ? 2d ? 8, ? 所以 ? a1 ? 2q ? 3, ?a ? d ? 2q ? 6, ? 1
1 , ??????4 分 2 1 n 所以 a n ? 3n ? 1, bn ? ( ) . ??????6 分 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = ( ? )+ = ( ? )+22 n +1 ??????????8 分 (2) an an +1 bnbn +1 3 an an +1 bnbn +1 3 an an +1
解得 a1 ? 2, d ? 3, q ?

1 1 1 1 1 1 1 8(1 ? 4n ) ?Tn = [( ? ) ? ( ? ) ? ……+( ? )] ? 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 1? 4 1 1 1 1 ? ( ? ) ? (22 n ?3 ? 8) 3 2 3n ? 2 3 1 1 5 ? (22 n ?3 ? ) ? ???????????12分 3 3n ? 2 2
18. (本小题满分 12 分) 解: (1)众数:8.6; 中位数:

8.7 ? 8.8 =8.75 ;?????2 分 2
3 1 2

(2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人对钓鱼岛“非常了解”,至多有 1 人对钓鱼岛“非常了解”记为事件

A ,则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? C12 ? C4 C12 ? 121 ; 3 3
C16 C16 140
(3) ξ 的可能取值为0,1,2,3.
27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

????6 分

1 3 9 ; P(? ? 3) ? ( 1 ) 3 ? 1 ??????10 分 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? 4 4 64 4 64

所以 ξ 的分布列为:

ξ
P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

E (? ) ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64

?????12分

另解: ? 的可能取值为0,1,2,3.则 ? ~ B (3, ) ,

1 4

1 3 P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k . 4 4 1 所以 E (? ) = 3 ? ? 0.75 . 4

?????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)? E 分别为 PC 的中点,DE=EC=PE ∴Δ P D C 为直角三角形 ·???????????2 分

∴ CD ⊥ PD
又 CD ⊥ AD, ∴CD ⊥ 面PAD

z y

∴ CD ⊥ PA

又 PA⊥ AD,

? PA ⊥ 平面 ABCD ???????????5 分
(2) 因 AB // CD, CD ? AD 并由(1)知 x

法一:建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) ??????????7 分 2

2, 0), BE ? (0, 1, ) ,平面 BCD 法向量 n1 ? (0, 0,1) , 则 BD ? (?1,

a 2

?? x ? 2 y ? 0 ? ? BD n2 ? 0 ? ?? 设平面 EBD法向量 n2 ? ( x, y, z) ,则 ? a y? z ?0 BE n ? 0 ? ? ? 2 ? 2
所以可取平面 EBD法向量 n2 ? (2a, a,?2) ???????????????????10 分

cos? ?

1 2 ?( , ) ,可得 a ? ( 2 5 , 2 15 ) .?????????12 分 2 2 5 5 5a 2 ? 4

2

法二: 取 CD 中点为 F,连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形, 所以 K 为 AC 的中点, 连 EK , 则 EK // PA , EK ? 面 ABCD , BD ? EK , 作 KH ? BD 于 H 点,所以 BD ? 面 EKH ,

连 EH ,则 BD ? EH , ?EHK 即为所求???????????9 分

a 1 2 1 2 ? 5a ? (1, 3 ) ? 在 Rt ?EHK 中, HK ? ? , tan? ? 1 2 2 5 5 5

解得 a ? (

2 5 2 15 , ) 5 5

???????????12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知⊙M 的圆心 M 的坐标为(4,0),抛物线 C 的焦点为 ( ∵圆心 M 到抛物线 C 的焦点的距离为

p , 0), 2

15 p 1 ,? ? , 4 2 4

从而抛物线 C 的方程为 y 2=x .??????????????????????4 分
2 由 (1) 知 , 设 点 H ( y0 ,y0 ) , 则 HM 的 中 点 (
2 y0 ? 4 y0 , ) , 以 HM 为 直 径 的 圆 为 2 2

(2) 方 法 一

2 2 2 y0 ?4 2 y0 2 ( y0 ? 4)2 ? y0 (x ? ) ? (y ? ) ? 2 2 4

…①???????????6 分

M:- ( x 4)2+y 2= 1

…②

2 2 ① -②得:直线 AB 的方程为 (4-y0 ????????10 分 ) x-y0 y+4 y0 - 15=0,
2 4 y0 ? 15 15 ? 4 y0 ? , ? y0 ? 1? , y0 y0

令 x=0,得直线 AB 在 y 轴上的截距为 d=

函数 f ? y0 ?=4 y0-

15 15 , 在 [1, ??) 为单调递增函数,∴ d min =4×1- 1 =-11. ??????12 分 y0

方法二 由题意可设点 A、B 的坐标分别为 ( x1,y1 )、 ( x2,y2 ) , 则 kMA=

y1 y ,kMB= 2 , ( x1 ? 4,y1 ? 0,x2 ? 4,y2 ? 0) x1 ? 4 x2 ? 4 4 ? x1 4 ? x2 ??????????????????????5 分 ,kHB= y1 y2

∵HA、HB 是⊙M 的切线,∴HA⊥MA、HB⊥MB, ∴ kHA=

直线 HA、HB 的方程分别为 (4-x1 ) x-y1 y+4x1- 15=0,- (4 x2 ) x-y2 y+4x2- 15=0 , 容易验证,当 x1 ? 4,y1 ? 0,x2 ? 4,y2 ? 0 时,上式也成立????????7 分 又点 H 在抛物线上,有 y02=x0 , ∴ 点 H 的 坐 标 为 ( y0,y0 ) ? y0 ? 1? , 分 别 代 入 直 线
2

HA 、 HB

的 方 程 得

2 2 (4-x1 ) y0 -y1 y0+4x1- 15=0,- (4 x2 ) y0 -y2 y0+4x2- 15=0 可整理为 2 2 2 2 , (4-y0 ) x1-y0 y1+4 y0 - 15=0,- (4 y0 ) x2-y0 y2+4 y0 - 15=0,

2 2 从而可求得直线 AB 的方程为 (4-y0 ?????????10 分 ) x-y0 y+4 y0 - 15=0,
2 4 y0 ? 15 15 ? 4 y0 ? , ? y0 ? 1? , y0 y0

令 x=0,得直线 AB 在 y 轴上的截距为 d=

函数 f ? y0 ?=4 y0-

15 , 在 [1, ??) 为单调递增函数, y0

15 ∴ d min =4×1- 1 =-11. ??????????????????????12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(1)函数 y=f ? x ? 的定义域为 (0, ??) ,

f ? ? x ?=

m 2m e x ? x 2 ? e x ? 2 x (mx ? e x ) ? ( x ? 2) ? ? ? .?????????2 分 x x2 x4 x3
x

当 m ? 0 时, mx ? e <0, 所以当 x ? (0, 2) 时, f ? ? x ? >0 , f ? x ? 单调递增;???????????3 分

x ? (2, ??) 时, f ? ? x ? <0 , f ? x ? 单调递减.
综上: f ? x ? 的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).????4 分 (2)若 m ? 0 ,由(1)知,函数 f ? x ? 在(0,2)内单调递增,故 f ? x ? 在(0,2)内不存在极值点;?6 分 当 m ? 0 时,设函数 g ? x ?=mx-e ,x ? (0, 2) .
x

因为 g? ? x ?=m-e ,
x

①当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, 2) , g? ? x ? ? 0, ? g( x) ? g (0) ? ?1, f ? ? x ? >0 , f ? x ? 单调递增, 故 f ? x ? 在(0,2)内不存在两个极值点.???????????8 分
x ln m x ln m) 时 , g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单 调 递 增 ; ② 当 m ? 1 时 , g? ? x ?=m-e =e -e 得 x ? (0,

x ? (ln m,+?) 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减.
所以函数 g ? x ? 在(0,+ ? )的最大值为 g ? ln m?=m(ln m- 1) .???????????9 分 函数 f ? x ? 在(0,2)内存在两个极值点.

? g (0) ? 0 ? g (ln m) ? 0 ? 当且仅当 ? ? g (2) ? 0 ? ?0 ? ln m ? 2

解得 e ? m ?

e2 . 2

综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时, m 的取值范围为 (e, 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何选讲 解析:(1)∵AC 为圆 O 的切线, ∴∠B=∠EAC, 又∵CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB, ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD. ?????????3 分 又∵BE 为圆 O 的直径,∴∠DAE=90°, ∴∠ADF=

e2 ) .?????12 分 2

1 (180°-∠DAE)=45°. ?????????????5 分 2

(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE∽△BCA, ????????????????????7 分 ∴

AC AE = .又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°, BC BA
AE 3 =tan B=tan 30°= , AB 3

∴在 Rt△ABE 中,



AC AE 3 = = .???????????????????10 分 BC AB 3

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解析:(1) 曲线 C 的直角坐标方程:

? cos(? ?

?
4

x2 y 2 ? ? 1 ????????2 分 4 5

)=2 2 化简为 ? cos?+? sin?=4 ,

∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 .???????????4 分 (2)设点 P 的坐标为 (2cos?,5 sin ? ) , 得 P 到直线 l 的距离 d= 则 d=

2 cos ? ? 5 sin ? ? 4 2

,令 sin ? ?

2 5 , cos ? ? 3 3 7 2 .??????7 分 2

3sin(? ? ? ) ? 4 2

,显然当 sin(?+? )=-1 时, d max=

3? ,k ?Z 2 3? 2 ? cos ? ? cos(2k? ? ? ? ) ? ? sin ? ? ? 2 3 此时? ? ? ? 2k? ? sin ? ? sin(2k? ? 3? 5 ? ? ) ? ? cos ? ? ? 2 3

2 5 2 5 , ? ) ???????????10分 3 3 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 即点P的坐标为( ?
解(1))当 x ?

1 时,2x-1+x+3 ? 2 x ? 4 2

? x ? 2 ??????????????????????2 分 1 当 ?3 ? x ? 时, 1-2x+x+3 ? 2 x ? 4 2 ??3 ? x ? 0 ??????????????4 分 当 x ? ?3 时,1-2x-x-3 ? 2 x ? 4 , ? x ? ?3
综上,原不等式的解集 A= ?x | x ? 0或x ? 2? ????6 分 (2)当 x ? -2 时, 2x ? a ? x ? 3 ? 0 ? 2x+4 成立. 当 x>-2 时, 2x ? a ? x ? 3 = 2 x ? a ? x+3 ? 2x+4.即 2 x ? a ? x+1????????8 分 得 x ? a +1 或 x ?

a ?1 a ?1 , 所以 a +1 ? -2 或 a +1 ? ,得 a ? -2. 3 3 综上, a 的取值范围为 a ? -2??????10 分


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