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二项式定理单元训练试题


高中数学

王新敞

二项式定理单元训练试题
小题, 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 选择题(
1. ( x +

2 x

) 6 展开式中常数项是(
B. 2 C 6
4 4



A.第 4 项
11

C. C 6

4

D.2 )

2.(x-1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是( A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3. (1 + A.4
n

2 ) 7 展开式中有理项的项数是(
B.5 C.6 D.7



4.若 C17 与 C m 同时有最大值,则 m 等于( n A.4 或 5
4



B.5 或 6

C.3 或 4
2 3

D.5
4

5.设(2x-3) = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x ,则 a0+a1+a2+a3 的值为( A.1 B.16 C.-15 D.15 )
10



1 11 3 6. ( x ) 展开式中的中间两项为( x
A. C11 x , C11 x
5 12 5 12

B. C11 x , C11 x
6 9 5

5 5 C. C11 x13 , C11 x 9

5 5 D. C11 x17 , C11 x13

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 1 7 5 2 7.在 ( 2 x y) 展开式中,x y 的系数是 3
8. C0 + 3C1 + 32 C2 + + 3n Cn = n n n n 9. ( 3 5 +

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1 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5
5
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10.(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 11. (1 + 3x + 3x 2 + x 3 )10 展开式中系数最大的项是 12.0.991 精确到 0.01 的近似值是
5
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解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 小题, 三、解答题(本大题共 9 小题,共 90 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 2 10 4 13.求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数
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14.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数

2

10

3

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15.已知(1-2x) 展开式中第 2 项大于第 1 项而不小于第 3,求 x 的取值范围

5

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16.若 f ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) ( m n ∈ N ) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时,
m n

x 的系数最小?

2

17.自然数 n 为偶数时,求证:

1 + 2C1 + C 2 + 2C3 + C 4 + + 2C n 1 + C n = 3 2 n 1 n n n n n n

18.求 80 被 9 除的余数

11

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19.已知 ( x 常数项
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开式的 x2

20.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数

2

5

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21.求(2x+1) 展开式中系数最大的项

12

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参考解答: 1.通项 Tr +1 = C 6 x
r 6r

(

2 x

r ) r = C6 x

3 6 r 2

3 4 2 r ,由 6 r = 0 r = 4 ,常数项是 T5 = C 6 2 4 , 2
f (1) + f (1) = (2)11 / 2 = 1024 ,选(C) 2

选(B) 2.设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是
r r r r
11
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3.通项 Tr +1 = C 7 ( 2 ) = C 7 2 2 ,当 r=0,2,4,6 时,均为有理项,故有理项的项数为 4 个,选(A) 4.要使 C17 最大,因为 17 为奇数,则 n =
n

17 1 17 + 1 或n = n = 8 或 n=9,若 n=8,要 2 2 8 9 1 9 +1 m m 使 C 8 最大,则 m= =4,若 n=9,要使 C 9 最大,则 m = 或m = m = 4 或 m=5, 2 2 2
6.C
5

综上知,m=4 或 m=5,故选(A) 5.C 7.

224 ; 3

8.4 ;

n

9.3,9,15,21
5

10.(2x-1) 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 展开式系数之和,故令 x=1,则所 5 求和为 3
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11.(1+3x+3x +x ) =(1+x) ,此题中的系数就是二项式系数,系数最大的项是 T16= C 30 x . 12.0.991 =(1-0.009) = C 5 C 5 0.009 + ≈ 0.96
5 5

2

3 10

30

15

15

0

1

13. 1 + x + x 2 )(1 x )10 = (1 x 3 )(1 x )9 ,要得到含 x 的项, ( 必须第一个因式中的 1 与(1-x)
4

9

展开式中的项 C9 ( x ) 作积,第一个因式中的-x 与(1-x) 展开式中的项 C9 ( x ) 作积,故 x
4 4
3 9

1

4

的系数是 C9 + C9 = 135
1 4

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14. (1 + x ) + (1 + x ) + 1 + x) = (
2 10 7 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11
4

(1 + x )[1 (1 + x )10 ] ( x + 1)11 ( x + 1) 3 = ,原式中 x 1 (1 + x ) x
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1 x < 10 1 1 C ( 2 x ) > C 15.由 ≤x< 1 2 2 4 10 C5 ( 2 x ) ≥ C5 ( 2 x ) 1 ≤ x ≤ 0 4
1 5 0 5

16.由条件得 m+n=21,x 的项为 C m x + C n x ,则 C m + C n = ( n
2

2

2

2

2

2

2

21 2 399 ) + . 因 n∈N, 2 4
2
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故当 n=10 或 11 时上式有最小值,也就是 m=11 和 n=10,或 m=10 和 n=11 时,x 的系数最小 17.原式= (Cn + C n + Cn + + Cn + Cn ) + (Cn + Cn + C n + + Cn ) = 2 + 2
0 1 2 n 1 3 5 n n 1 n 1 n 1

= 3.2 n 1

18. 80

11

0 1 10 = (81 1)11 = C11 8111 C11 8110 + + C11 81 1 = 81k 1( k ∈ Z ) ,
11

∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴ 81 被 9 除余 8

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19.依题意 C 4 : C 2 = 14 : 3 3C 4 = 14C 2 n n n n ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr +1 = C ( x )
r 10 10 r
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2 r ( 2 ) r = (2) r C10 x x

10 5 r 2



10 5r 2 = 0 r = 2 ,∴ T2+1 = C10 (2) 2 = 180. 此所求常数项为 180 2

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20. ( x 2 + 3x + 2) 5 = ( x + 1) 5 ( x + 2) 5 在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C 5 = 5x ,在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,
5

1

5

5

含 x 的项为 C 5 2 x = 80 x
1 4

∴展开式中含 x 的项为 1 (80 x ) + 5x (32) = 240 x ,此展开式中 x 的系数为 240 21.设 Tr+1 的系数最大,则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数,即有
r r r C r ≥ 2C121 C12 212 r ≥ C121 213 r 12r r 12 r r+ r +1 ≥ C1211211 r C12 2 2C12 ≥ C12

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1 1 3 ≤ r ≤ 4 ,∴ r = 4 3 3
4 ∴展开式中系数最大项为第 5 项,T5= 16C12 x 4 = 7920 x 4

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