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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修4)课时作业2.7.2(一)第二章 平面向量]


7. 2

向量的应用举例(一)

课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过 程,体会向量是一种处理几何问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.

向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0)? ________?______________________. (2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:a⊥b? __________?______________________________. (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ=__________= ________________________________________________________________________. (4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式: |a|=__________.

一、选择题 1.在△ABC 中,已知 A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则 BC 边的中线 AD 的长是( ) 5 7 A.2 5 B. 5 C .3 5 D. 5 2 2 → → → → → → 2.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足OA· OB=OB· OC=OC· OA,则点 O 是△ ABC 的( ) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 → → → → → 3.若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的形 状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0),设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有 → → BC=λCE,其中 λ 等于( ) 1 1 A.2 B. C.-3 D.- 2 3 → →? → → ? AB AC → AB AC 1 → → + 5. 已知非零向量AB与AC满足? · BC=0 且 · = , 则△ABC 的形状是( ) ? → → → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形 → → → → → → →→ 6.已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA· PB → → → → =PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 二、填空题

→ → → 7.已知边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+ c|=________. π 8.已知|a|=2,|b|=4,a 与 b 的夹角为 ,以 a,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边 3 形的两条对角线中较短的一条的长度为________. → → → → → → → → → 9.已知平面上三点 A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5.则AB· BC+BC· CA+CA· AB =________________________________________________________________________. → → → → → 10.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ ABC 的形状一定是______. 三、解答题 11.求证:△ABC 的三条高线交于一点.

12.P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PFCE 为矩形.求证:PA=EF 且 PA⊥EF.

能力提升 → → 13.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC· AO=________. 14.已知在等腰△ABC 中,BB′,CC′是两腰上的中线,且 BB′⊥CC′,求顶角 A 的 余弦值的大小.

利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平 面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种 思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得 几何命题的证明.

7. 2

向量的应用举例(一)

答案

知识梳理 (1)a=λb x1y2-x2y1=0 (2)a· b=0 x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 a· b (3) (4) x2+y2 2 2 |a||b| x2 x2 1+y1 2+y2 作业设计 3 5 → 1.B [BC 中点为 D( ,6),AD=(- ,5), 2 2 → 5 ∴|AD|= 5.] 2 → → → → → → → 2.D [∵OA· OB=OB· OC.∴(OA-OC)· OB=0. → → ∴OB· CA=0.∴OB⊥AC.同理 OA⊥BC, OC⊥AB,∴O 三条高的交点.] → → → → → 3.B [∵|OB-OC|=|CB|=|AB-AC|, → → → → → |OB+OC-2OA|=|AB+AC|, → → → → ∴|AB-AC|=|AB+AC|, ∴四边形 ABDC 是矩形,且∠BAC=90° . ∴△ABC 是直角三角形.] 4.C

[如图所示,由题知∠ABC=30° ,∠AEC=60° ,CE= ∴

3 , 3

|BC| =3, |CE| → → ∴BC=-3CE.] → → ? AB AC ? → + 5.D [由? · BC=0,得角 A 的平分线垂直于 BC.∴AB=AC. → →? ?|AB| |AC|? → → AB AC 1 → → 而 · =cos〈AB,AC〉= , 2 → → |AB| |AC| → → 又〈AB,AC〉∈[0° ,180° ],∴∠BAC=60° . 故△ABC 为正三角形,选 D.] → → → 6.C [如图,∵NA+NB+NC=0,

→ → → → → ∴NB+NC=-NA.依向量加法的平行四边形法则,知|N A |=2|ND|,故点 N 为△ABC 的 重心. →→ → → ∵PA· PB=PB· PC,

→ → → ∴(PA-PC)· PB → → =CA· PB=0. → → → → 同理AB· PC=0,BC· PA=0, ∴点 P 为△ABC 的垂心. → → → 由|OA|=|OB|=|OC|,知点 O 为△ABC 的外心.] 7.2 → 解析 注意|AC|=|c|=1, 而 a+b=c, ∴|a+b+c|=|2c|=2. 8.2 3 解析

如图所示,以 a、b 为邻边作平行四边形 ABCD, π AC= AB2+BC2-2· AB· BC· cos 3 =2 3, 2π BD= BC2+CD2-2BC· CD· cos 3 =2 7. ∵2 3<2 7, ∴较短的一条对角线长为 2 3. 9.-25 3 4 解析 △ABC 中,B=90° ,cos A= ,cos C= , 5 5 4 → → → → ? ∴AB· BC=0,BC· CA=4×5×? ?-5?=-16, 3? → → CA· AB=5×3×? ?-5?=-9. → → → → → → ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB=-25. 10.等腰三角形 → → → → → 解析 ∵(DB+DC-2DA)· (AB-AC) → → → → → → =[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC) → → → → → → =(AB+AC)· (AB-AC)=AB2-AC2 → → =|AB|2-|AC|2=0, → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 是等腰三角形. 11.证明

如图所示,已知 AD,BE,CF 是△ABC 的三条高.

设 BE,CF 交于 H 点, → → → 令AB=b,AC=c,AH=h, → → → 则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b. → → → → ∵BH⊥AC,CH⊥AB, ∴(h-b)· c=0,(h-c)· b=0, 即(h-b)· c=(h-c)· b → → 整理得 h· (c-b)=0,∴AH· BC=0 → → ∴AH⊥BC,∴AH与AD共线. AD、BE、CF 相交于一点 H. 12.证明 以 D 为坐标原点,DC 所在直线为 x 轴,DA 所在直线为 y 轴,建立平面直角 → 坐标系如图所示,设正方形边长为 1,|DP|=λ,则 A(0,1), 2λ 2λ? 2 ? 2 ?, P? ,E? ,F? ? 2 , 2 ? ?1, 2 λ? ? 2 λ,0? 2 2 2 2 → → 于是PA=?- λ,1- λ?,EF=? λ-1,- λ?. 2 ? 2 ? ? 2 ?2 → ∴|PA|=

? 2λ-1?2+?- 2λ?2= λ2- 2λ+1, ?2 ? ? 2 ?

→ 同理|EF|= λ2- 2λ+1, → → ∴|PA|=|EF|,∴PA=EF. 2 2λ ? ? 2 ?? 2 ? →→ ? ∴PA· EF= - λ?? -1 + 1- λ - λ 2 2 2 2 ? ?? ? ? ?? ? =0, → → ∴PA⊥EF.∴PA⊥EF. 25 13.- 2 解析

→ → 设{AB,AC}为一平面内一组基底.如图所示,设 O 为△ABC 的外心,M 为 BC 中点,连 结 OM、AM、OA,则易知 OM⊥BC. → → → 又由BC=AC-AB, → → → 1 → → → AO=AM+MO= (AB+AC)+MO. 2 → → → → → ∴BC· AO=BC· (AM+MO) → → → → =BC· AM+BC· MO → → → → =BC· AM(其中BC· MO=0) 1 → → → → =(AC-AB)·(AB+AC) 2 1 → → = (AC2-AB2) 2 1 = ×(122-132) 2

25 =- . 2 14.解 建立如图所示的平面直角坐标系,

→ 设 A(0,a),C(c,0),则 B(-c,0),OA=(0,a), → → → BA=(c,a),OC=(c,0),BC=(2c,0). 因为 BB′、CC′为 AC、AB 边的中线, 3c a? 1 → → → , 所以BB′= (BC+BA)=? 2 2?, ? 2 3c a? → 同理CC′=? ?- 2 ,2?. → → → → 因为BB′⊥CC′,所以BB′· CC′=0, 9c2 a2 即- + =0,a2=9c2, 4 4 → → 2 2 2 2 AB· AC a -c 9c -c 4 又 cos A= = = = . → → a2+c2 9c2+c2 5 |AB||AC|


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