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定积分系列讲义一


定积分概念
1. 定积分背景
问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt .如果汽车作 变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v

?t ? ? ?t 2 ? 2 (单位:km/h),那么它在 0≤ t ≤1(单位:h)

这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问 题, 化归为匀速直线运动的路程问题. 把区间 在每个小区间上, 由于 v ? t ? ?0 ,1? 分成 n 个小区间,

的变化很小, 可以近似的看作汽车作于速直线运动, 从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近 似值,在求和得 S (单位:km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单位:km)的精 确值. (思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线 运动的路程). 解:1.分割 在时间区间

?0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ?0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? ? ? n ? ?n n? ? n ? ? i ?1 i ? , (i ? 1, 2 , ? n n? ? ? ?
i i ?1 1 ? ? n n n

记第 i 个区间为 ?

, n) ,其长度为 ?t ?

把汽车在时间段 ? 0 ,

1 ? ?1 2? ? n ?1 ? , ? , ? ,?, ? ,1? 上行驶的路程分别记作: ?S1 , ?S2 ,?, ? n ? ?n n? ? n ?

?Sn
? ? ?Si
i ?1 n

显然, S

(2)近似代替

当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间

? i ?1 i ? , ? 上,可以认为函数 v ?t ? ? ?t 2 ? 2 的值变化很 ? n n? ?
i ?1 处的函数值 n

小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
2

? i ?1 i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义上看,即使汽车在时间段 ? n , n ? (i ? 1, 2 , ? ? ? n ? ? n ?
2

, n) 上

i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 的速度变化很小, 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 v ? ? ?? ? ? ? 2 作匀速直线 n ? n ? ? n ?
运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si ,即 在局部范围内“以直代取”,则有
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? (i ? 1,2, ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? n ? ? n ? n n ? ? n ? ? n ? ?

, n) ①

(3)求和
2 n ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? ? ? 由①, S n ? ? ?Si? ? ? v ? ? ?t ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ? n n

1 ?1? 1 = ?0 ? ? ? ? n ?n? n

2

1 2 ? n ?1 ? 1 1 ? 22 ? ?? ?2=? 3 ? ? ? n ? n ? n

2

2 ? ? n ? 1? ? ? 2 ?

=?

1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 n 6 3 ? n ?? 2n ?
1 ? 1 ?? 1 ? ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 ? n ?? 2n ?

从而得到 S 的近似值 S

(4)取极限

当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, Sn
n

1 ? 1 ?? 1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S ,从而 3 ? n ?? 2n ?

有S

? lim Sn ? lim ?
n?? n?? i ?1

1 ? i ?1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 v? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2? ? ? ? lim ? n ?? n ? n ? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲 线 v ? ?t ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
2

结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和
n ??

曲线 v ? ?t ? 2 所围成的曲边梯形的面积.
2

一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v

?t ? ,那么我们也可以采用分割、近

似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤ b 内所作的位移 S . 典例: 例 1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F 求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功.

? x ? ? kx ( k 为常数, x 是伸长量),

2.

定积分定义:

回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:分割→以直 代曲→求和→取极限(逼近)。为了规范地描述这类问题,一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上 连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?

? xi ?1 ? xi ?

? xn ? b
b?a ) , 在每个小区间 ? xi ?1 , xi ? n

将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间, 每个小区间长度为 ?x( ?x ? 上取一点 ?i

?i ? 1,2,

, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1

n

b?a f (?i ) n i ?1
n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为: S

? ? f ( x)dx
a

b

其中 f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量,[ a, b] 为积分区间,b 积分上限, a 积分下限。 说明:

(1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为

?

b

a

f ( x)dx
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间

?a , b? ;②近似代替:取点

?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和: ?
i ?1

n

n b b?a b?a f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1

(3)曲边图形面积: S

? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? v(t )dt ;变力做功
t2

b

a

t1

W ? ? F (r )dr
a

b

3.

定积分的几何意义

说明:一般情况下,定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线

x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号.
分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值。

考察和式

f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ?
, f ( xn ) ? 0

? f ( xi )?x ?

? f ? xn ? ?x

不妨设

f ( xi ), f ( xi ?1 ),

于是和式即为

f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ?

? f ( xi?1 )?x ?{[? f ( xi )?x] ?

? [? f ? xn ? ?x]}

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
a

b

4.

定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:

性质 1

? 1dx ? b ? a
a

b

性质 2

?

b

a
b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数)(定积分的线性性质)
a
b 1 2

b

性质 3

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
a

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx (定积分的线性性质)
a

b

性质 4

?
a

b

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b) (定积分对积分区间的可加性)
a c

c

b

说明:

①推广:

?
b a

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
c1

? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ?
a a
c2

b

b

? ? f m ( x)
a

b

②推广:

?

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?
a c1

? ? f ( x)dx
ck

b

③性质解释:

y

y A y=1 M O a P C

B

O

a

b

x

N b x

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
典例:

例 2.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx

思考:若改为计算定积分

?

2

?2

( x ? 1)dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函数在 [?2, 2] 上出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题)

5.

知识点总结:

(1)定积分的相关概念 在∫baf(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a, b]上恒为正时, 定积分∫baf(x)dx 的几何意义是由直线 x=a, x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)

②一般情况下,定积分∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x=a,x=b 之间的 曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质 ①∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx. ②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx=∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx.

③∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫b cf(x)dx. (4).定积分∫ba[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线 x=a,x=b 和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 课后练习:

1.

?
?

5

0 1

(2 x ? 4)dx
x dx

2.

?1


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