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2017-2018学年高二数学寒假作业第11天复合函数的导数理新人教A版

第 11 天 高考频度:★★★☆☆ 典例在线 复合函数的导数 难易程度:★★☆☆☆ 求下列函数的导数: (1) y ? 1 1 ? 2 x2 ; (2) y ? esin? ax?b? ; (3) y ? sin ? 2 x ? 2 ? ? π? ?; 3? (4) y ? 5log2 ? 2 x ? 1? . 【参考答案】见试题解析. 2 (3)设 y=u , u ? sin v , v ? 2 x ? π , 3 ? ? 2π ? ?. 3 ? 则 y x ?=yu ?? uv ?? vx ?=2u ? cos v ? 2 ? 4sin v cos v ? 2sin 2v ? 2sin ? 4 x ? (4)设 y=5log2u,u=2x+1, ? ? 则 yx? ? 5 ? log 2u ? ? 2 x ? 1? ? 10 10 ? . uln2 ? 2 x ? 1? ln 2 【名师点睛】1.一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作 y ? f ( g ( x)) .复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导 ? ? 数和函数 y ? f (u ) , u ? g ( x) 的导数间的关系为 y? x ? yu ? ux ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 1 的导数的乘积. 2.当函数中既有复合函数求导,又有函数的四则运算时,要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还 是先用复合函数求导法则,同时需要注意,复合函数的求导原则是从外层到内层进行,不要遗漏. 3.复合函数的求导,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量 对哪个变量求导.一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量. 学霸推荐 1.已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) 的导函数是 f ' ( x) ,且 f ' (2) ? 2 ,则实数 a 的值为 A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D.1 2.已知 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? π) ,其导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,则 f ? π ? 的值为 A. 2 C. 3 B. 2 2 D. 2 3 2 且 · ?? ? 1π 22 π π ,则 ? ? , 2 4 则 f ? π ? ? 4sin ? π? ?1 π ? ? ? 2 2. 故选 B. 4? ?2 3

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