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07-08-2工科数分期末试卷及答案

07-08-2 工 科 数 分 期 末 试 卷 A 参 考 答 案 及 评 分 标 准 08.1.15 一.填空题(本题共 9 小题,每小题 4 分,满分 36 分) 1. lim e ? x
x x ?0 1

?

?

1 x2

? e2 ;
sin 1 x

2.设 y ? x

sin

1 x

,则 dy ? x

1 1 1 ?1 ? ? sin ? 2 cos ? ln x ? dx ; x x x ?x ?

3.已知 f ?(3) ? 2 ,则 lim
h ?0

f (3 ? h) ? f (3) ? ?1 ; sin 2h

4.函数 f ( x) ? x ln( x ? 1) 在 x ? 2 处的 Taylor 公式中 ( x ? 2)3 的系数是

1 ; 6

5 . 设 y ? y ( x) ?

? ? y 2 x 5? ? ? x ? 是由方程 ? et dt ? ? cos t 2dt ? 0 确定的隐函数,则 ? ? 2 0 0 2 ? ? ?

? 3? ? ? 5? ? 3? ? y ( x) 的单调增加区间是 ? ? 2 , 2 ? ? ,单调减少区间是 ? ? 2 , 2 ? ?; ? ? ? ?
6.曲线 y ? xe?2 x 的拐点坐标是 1, e

?

?2

? ,渐进线方程是 y ? 0 ;

7. lim ? 8.
?

n ? n ? 2 ? 2 n?? n ? 3 n ? 12 ?

?

n 3? ? ; ? 2 ? n ? 3n ? 9
2

? ??
?

1 ? cos 2 x ? cos x2 sin3 x dx ? 4 2 ;

?

9.二阶常系数线性非齐次微分方程 y?? ? y ? 2sin x 的特解形式为

y* ? Ax cos x ? Bx sin x .
二.计算下列积分(本题共 3 小题,每小题 7 分,满分 21 分) 10. 解

?
0

2 0

x2 2 x ? x2 dx
2 0

?
2 0

2

x2 2 x ? x2 dx ? ? ( x ? 1 ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 dx
2 2 0 0

? ? ( x ?1)2 1 ? ( x ?1)2 dx ? 2? ( x ?1) 1 ? ( x ?1)2 dx ? ?
? 2 ? t 2 1 ? t 2 dt ? 0 ?
0 1

1 ? ( x ?1)2 dx (2 分)

?
2

( x ? 1 ? t , t ? sin ? , dt ? cos ? d? ) (1+1 分)



4





1



? 2? 2 sin 2 ? cos 2 ? d? ?
0

?

?
2

?

1 ? ? 5? 2 (1 ? cos 4? )d? ? ? (3 分) ? 4 0 2 8

11. arctan 1 ?

?

?

x dx

?



? arctan ?1 ? x ? dx ? x arctan ?1 ? x ? ? 2 ? 2 ? 2
1

x (2 分) dx , x?x

令 x ? t 2 ,dx ? 2tdt ,

1 x t2 d x ? ? 2 ? 2t ? t 2 dt ? x ? ln( x ? 2 x ? 2) ? C1 , 2 ? 2?2 x ? x

(1+3 分)原式 ? x arctan 1 ? 12。设 f ( x) ?

?

x ? x ? ln x ? 2 x ? 2 ? C (1 分)

?

?

?

sin( xt ) f ( x) dt ,求 lim 2 . x ? 0 t x x2 sin u ? x3 u du f ( x) 2sin x 2 ? 3sin x3 解 令 xt ? u , lim 2 ? lim ? lim ? 1 (2+3+2 分) x ?0 x x ?0 x ?0 x2 2 x2

?

x

x2

? ? xe x , 三(13) (本题满分 8 分)设 f ( x) ? ? ? ? x ,
2

? 1 x2 e , ? x?0 x?0 ?2 , F ( x) ? ? ?? x?0 ? 1 x2 , x ? 0 ? ?2

(1)问 F ( x) 是否为 f ( x) 在 (??, ? ?) 内的一个原函数?为什么?(2)求 解 (1) F ( x) 不是 f ( x) 在 (??, ? ?) 内的一个原函数,因为 F (0) ?

? f ( x) dx ??

1 ? F (0 ? 0) ? 0 , 2

F ( x) 在 (??, ? ?) 内不连续.(1+2 分)

? 1 x2 e ?C , x ? 0 ? ?2 (2) ? f ( x) dx ? ? (2+3 分) ? 1 x 2 ? 1 ? C , x ? 0 ??? ? ?2 2
四(14) . (本题满分 6 分)求微分方程 ( y cos x ? sin 2 x)dx ? dy ? 0 的通解. 解

dy ? y cos x ? 2sin x cos x , (1 分) dx
共 4 页 第 2 页

y ? e?

cos xdx

? C ? 2 sin x cos xe ? ? cos xdx dx ? ? esin x C ? 2 sin xde ? sin x (2+1 分) ? ? ? ? ? ?

?

?

? Cesin x ? 2(1 ? sin x) (2 分)
五(15) . (本题满分 8 分)设 f ( x ) 、 g ( x) 满足 f ?( x) ? g ( x) , g ?( x) ? 2e x ? f ( x) ,且
? ? g ( x) f ( x) ? f (0) ? 0, g (0) ? 2 ,求 ? ? ? dx . 2 ? 0 ? 1 ? x (1 ? x) ?

解 由已知条件得 f ??( x) ? f ( x) ? 2e x , (1 分) f ( x) ? sin x ? cos x ? ex , (3 分)

?

?
0

? g ( x) ? ? g ( x) f ( x) ? 1 ? dx ? ? dx ? ? f ( x)d ? 2 ? 0 1? x 0 1? x ? 1 ? x (1 ? x) ?

?

f ( x) 1? x

?
0

??

?
0

? f ?( x) g ( x) f (? ) 1 ? e? dx ? ? dx ? ? (4 分) 0 1? x 1? x 1? ? 1? ?

六(16) . (本题满分 8 分)?设直线 y ? ax (0 ? a ? 1) 与抛物线 y ? x2 所围成的图形面积 为 S1 ,它们与直线 x ? 1 所围成的图形面积为 S2 ?(1)试确定 a 的值,使 S1 ? S2 达到最小, 并求出最小值?(2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积?? 解 (1) S (a) ? S1 (a) ? S2 (a) ?

?

a 0

(ax ? x 2 )dx ? ? ( x 2 ? ax)dx
a

1

? ax 2 x3 ? a ? x3 ax 2 ? 1 a 3 a 1 ?? ? ? 0?? ? ? a ? ? ? (3 分) 3? 2 ? 3 2 3 ? 2 ? 3
1 1 ? 1 ? ? 0 ,得 a ? ,又 S ?? ? ? ? 2 ? 0 ,则? 2 2 ? 2?

令 S ?( a ) ? a ?
2

1 1 1 2? 2 ? 1 ? 是唯一的极小值即最小值??(2 分) S? ? ? ? ?? 6 ? 2? 6 2 2 2 3

(2) Vx ? ?

?

1 2 0

1 ? 1 2? ?1 2 4? 4 ? x ? x ?dx ? ? ? 1 ? x ? x ? dx ? 2 ? ?2 ? 2?



4





3



?1 3 1 5? ?? ? x ? x ? 5 ? ?6

1 2

0

1 ? ?1 ? ? ? x5 ? x3 ? 6 ? ?5
?? 0

1

1 2

?

2 ?1 ? ?(3 分) 30

七(17) . (本题满分 7 分)讨论反常积分

?

ln ?1 ? x 2 ? x? ln ?1 ? x 2 ? x? ln ?1 ? x 2 ?

dx ( ? 为常数)的敛散性.



?

?? 0

ln ?1 ? x2 ? x? ~ 1 x? ?2

dx ? ?

1 0

ln ?1 ? x 2 ? x?
?

dx ? ?

??

1 1

(1 分)由于 dx ,

dx 当 ? ? 3 时收敛,当 ? ? 3 时, x? ln ?1 ? x2 ? ln ?1 ? x2 ? p 发散; (2 分) 当 ? ? 1 时, 取 1 ? p ? ? , lim x 当? ? 1 ? lim ? 0, x ??? x ??? x? x? ? p ln ?1 ? x2 ? ? 时, lim x ? lim ln ?1 ? x2 ? ? ?? ,由比较判别法知,反常积分 x ??? x ??? x? x?
, x ? 0 ,故反常积分
0

ln ?1 ? x 2 ?

?

? ?

??

ln ?1 ? x 2 ? x? ln ?1 ? x 2 ? x?

1 ?? 0

(3 分)综上可得,反常积分 dx 当 ? ? 1 时收敛,当 ? ? 1 时发散。 (1 分) dx 当 1 ? ? ? 3 时收敛,其余情形发散。

八(18) . (本题满分 6 分)证明:函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 在 (??, ??) 上一致连续. 证 f ?( x) ? 1 ?

x 1 ? x2

,由 Lagrange 中值定理,对 ?x , y ? (??, ??) ,存在 ? 介于 x 与

y 之间,使得 f ( x) ? f ( y) ? 1 ?

?
1? ? 2

(3 分)从而 ?? ? 0 ,取 x? y ?2 x? y ,

??

?
2

,对 ?x1 , x2 ? (??, ??) ,当 x1 ? x2 ? ? 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 ? ? ,于

是,函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 2 在 (??, ??) 上一致连续. (3 分)



4





4




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