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初中三角函数练习题及答案


初中三角函数练习题及答案
(一)精心选一选
1、在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值与余弦值都( A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定
4



12、在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,BC=4,sinA= 5 ,则 AC=( A、3 B、4 C、5 )
0

0



D、6

1 3、若∠A 是锐角,且 sinA= 3 ,则(

A、 <∠A<30 0

0

0

B、 <∠A<45 30

0

C、 <∠A<60 45

0

0

D、 <∠A<90 60

0

0

1 3 sin A ? tan A 4、若 cosA= 3 ,则 4 sin A ? 2 tan A =( 4 A、 7 1 B、 3 1 C、 2



D、0 )

5、在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则 a:b:c=(

A、1:1:2

B、1:1: 2
0

C、1:1: 3

2 D、1:1: 2

6、在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,则下列式子成立的是( ) A、sinA=sinB B、sinA=cosB C、tanA=tanB D、cosA=tanB 7.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是( )

2 A.sinB= 3

2 B.cosB= 3

2 C.tanB= 3


3 D.tanB= 2

8.点(-sin60°,cos60°)关于 y 轴对称的点的坐标是(

3 1 A. 2 , 2 ) (

3 1 B. (- 2 , 2 )

1 3 C. (- 2 ,- 2 )

1 3 D. 2 ,- 2 ) (-

9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.?某同学站 在离旗杆 12 米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为 30°,?若这位同 学的目高 1.6 米,则旗杆的高度约为( ) A.6.9 米 B.8.5 米 C.10.3 米 D.12.0 米 10.王英同学从 A 地沿北偏西 60? 方向走 100m 到 B 地,再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地,此时王英同学离 A 地 ( ) (A) 50 3 m (C)150m (B)100 m (D) 100 3 m

A

11、 如图 1, 在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30? ,
30? 45?

D

C
图1

B

向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角为 45? ,则该高楼的高度大约为(



A.82 米 B.163 米 C.52 米 D.70 米 12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40? 的方向行驶 40 海里到达 B 地,再由 B 地向北偏西 10? 的方向行驶 40 海里到达 C 地,则 A、C 两地相距( ) . (A)30 海里 (B)40 海里 (C)50 海里 (D)60 海里 (二)细心填一填 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则 sinB=_____. 2.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AB= 7 ,AC=3,则 cosA=________. 3.在△ABC 中,AB=2,AC= 2 ,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 4.如图,如果△APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A'P'B,且 BP=2,那么 PP'
6? 2 4 ,

的 长 为 ____________ . ( 不 取 近 似 值 . 以 下 数 据 供 解 题 使 用 : sin15°=
6? 2 4 cos15°= )

5. 如图, 在甲、 乙两地之间修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是北偏东 48°. 甲、 乙两地间同时开工, 若干天后, 公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是南偏西___________ 度.






y A B

第 4 题图

O x 第 5 题图 第 6.如图,机器人从 A 点,沿着西南方向,行了个 4 2单位,到达 B 点后观察到原点6O题图 在它的南偏东 60°的方向上,则原来 A 的坐标为___________结果保留根号) . 2 2 7.求值:sin 60°+cos 60°=___________. 8.在直角三角形 ABC 中,∠A= 90 ,BC=13,AB=12,那么 tan B ? ___________.
0



9. 根据图中所给的数据, 求得避雷针 CD 的长约为_______m 结果精确的到 0.01m) 可 ( . ( 用计算器求,也可用下列参考数据求:sin43°≈0.6802,sin40°≈0.6428,cos43°≈ 0.7341,cos40°≈0.7660,tan43°≈0.9325,tan40°≈0.8391)

10.如图,自动扶梯 AB 段的长度为 20 米,倾斜角 A 为α ,高度 BC 为___________米 (结果用含α 的三角比表示) .

D C

B
?
B 第 9 题图

43° 40° ¤ A 52m

A

第 10 题图

C

(1) (2) 11.如图 2 所示,太阳光线与地面成 60°角,一棵倾斜的大树与地面成 30°角,?这 时测得大树在地面上的影子约为 10 米, 则大树的高约为________米. (?保留两个有效数字,

2 ≈1.41, 3 ≈1.73)

三、认真答一答
1,计算: sin 30?? cos 60?? cot 45?? tan 60?? tan 30? 分析:可利用特殊角的三角函数值代入直接计算; 2 计算: 2 (2 cos 45?? sin 90? ) ? (4 ? 4? )??( 2 ? 1)
?1

分析:利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化, 3 如图 1,在 ?ABC 中,AD 是 BC 边上的高, tan B ? cos ?DAC 。 (1)求证:AC=BD

sin C ?
(2)若

12 ,BC ? 12 13 ,求 AD 的长。
图1

分析:由于 AD 是 BC 边上的高,则有 Rt?ADB 和 Rt?ADC ,这样可以充分利用锐角 三角函数的概念使问题求解。 4 如图 2, 已知 ?ABC 中 ?C ? Rt? ,AC ? m,?BAC ? ? , ?ABC 的面积 求 (用

? 的三角函数及 m 表示)

图2 分析:要求 ?ABC 的面积,由图只需求出 BC。

解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解. 5. 甲、乙两楼相距 45 米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为 30°,观测乙楼的底部的 俯角为 45°,试求两楼的高. A 300

450

E r B 6. 从 A 处观测铁塔顶部的仰角是 30°,向前走 100 米到达 B 处,观测铁塔的顶部的仰 角是 45°,求铁塔高.

D C

D

300 A 分析:求 CD,可解 RtΔ BCD 或 RtΔ ACD. 但由条件 RtΔ BCD 和 RtΔ ACD 不可解,但 AB=100 若设 CD 为 x,我们将 AC 和 BC 都用含 x 的代数式表示再解方程即可. B

450 C

7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD ,斜坡 BC 的坡度为 ? ? 2 : 3 ,路基高

AE 为 3 m,底 CD 宽 12 m,求路基顶 AB 的宽

B C

A

A

E

D
E

C

H
F D B

8.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度 CD ? 3m , 标杆与旗杆的水平距离 BD ? 15m ,人的眼睛与地面的高度 EF ? 1.6m ,人与标杆 CD 的 水平距离 DF ? 2m ,求旗杆 AB 的高度. 9.如图 3,沿 AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工。从 AC 上的一点 B,取 ?ABD ? 145? ,BD ? 500 米, ?D ? 55? 。要使 A、C、E 成一直 S 线, 那么开挖点 E 离点 D 的距离是多少?

图3 分析:在 Rt?BED 中可用三角函数求得 DE 长。

10 如图 8-5,一条渔船某时刻在位置 A 观测灯塔 B、C(灯塔 B 距离 A 处较近),两个灯塔恰好在北偏东 65°45′的方向上,渔船 向正东方向航行 l 小时 45 分钟之后到达 D 点, 观测到灯塔 B 恰好在 正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是 12 海里,渔船的速度是 16 海里/时,又知在灯塔 C 周围 18.6 海里内有暗礁,问这条渔船 按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险? 分析:本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类 问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题.



C B

A

D

E



图 8-4 11、如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城的正西方 300 千米 处,以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60? 的 BF 方向移动,距台风中心 200 千米的范围 内是受这次台风影响的区域。 问 A 城是否会受到这次台风的影响?为什么? 若 A 城受到这次台风的影响, 那么 A 城遭受这次台风影响的时间有多长?

12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物 ABCD,且建筑物周围没有开阔平 整地带,该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得,从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H, 可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 (1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案。具体要求如下:测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图, 并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离,用 m 表示;如果测 D、C 间距离,用 n 表示;如果测角,用α 、β 、γ 表示) 。 (2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示,测倾器高 度忽略不计) 。

13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置 O 点的正北 方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速 实验检查,巡逻艇调整好航向,以 26 海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航 速的前提下,问(1)需要几小时才能追上?(点 B 为追上时的位置) (2)确定巡逻艇的追

. (如图 4) 赶方向(精确到 01? )

图4 参考数据:

sin 66.8? ? 0.9191, cos 66.8? ? 0.3939 sin 67.4? ? 0.9231, cos 67.4? ? 0.3846 sin 68.4? ? 0.9298, cos 68.4? ? 0.3681 sin 70.6? ? 0.9432 , cos 70.6? ? 0.3322
分析: (1)由图可知 ?ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求。 (2)利用三角函数的概念即求。 14. 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇, ?QPN ? 30? , A 处有一所中学, 且 点 AP=160m,

一辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围 100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响?如果不受影响,请说明理由;如果 受影响,会受影响几分钟?
N

P M

A

Q

. 15、如图,在某建筑物 AC 上,挂着“多彩云南”的宣传条幅 BC,小明站在点 F 处, 看条幅顶端 B,测的仰角为 30? ,再往条幅方向前行 20 米到达点 E 处,看到 条幅顶端 B,测的仰角为 60? ,求宣传条幅 BC 的长, (小明的身高不计,结 果精确到 0.1 米)

16、一艘轮船自西向东航行,在 A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C, 继续向东航行 60 海里到达 B 处,测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方 向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C 最近?

9

2

9

(参考数据:sin21.3°≈ 25 ,tan21.3°≈ 5 , sin63.5°≈ 10 ,tan63.5°≈2) 北

C


17、如图,一条小船从港口 A 出发,沿北偏东 40 方向航行 20 海里后到达 B 处,然后 又沿北偏西 30 方向航行 10 海里后到达 C 处.问此时小船距港口 A 多少海里?(结果精确 到 1 海里) 友 情 提 示 : 以 下 数 据 可 以 选 用 : sin 40 ≈ 0.6428 , cos 40 ≈ 0.7660 ,
? ? ?

A

?

B

tan 40? ≈ 0.8391 , 3 ≈1.732 .



P

Q

C

30?

B
40?

18、如图 10,一枚运载火箭从地面 O 处发射,当火箭到达 A 点时,从地面 C 处的雷

A

B A

达站测得 AC 的距离是 6km ,仰角是 43 . 1s 后,火箭到达 B 点,此时测得 BC 的距离是

?

6.13km ,仰角为 45.54? ,解答下列问题:
(1)火箭到达 B 点时距离发射点有多远(精确到 0.01km)? (2)火箭从 A 点到 B 点的平均速度是多少(精确到 0.1km/s)? 19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度. 如图①,一测量员在江岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向,测量员从 A 点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C 处,测得 ?ACB ? 68 .
?

(1)求所测之处江的宽度( sin 68 ? 0.93, cos 68 ? 0.37, tan 68 ? 2.48. ) ;
? ? ?

(2)除(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.

B
20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶.已知看台 图② 图① 高为 l.6 米,现要做一个不锈钢的扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 l 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的底端分别为 D,C),且∠DAB=66. 5°. (1)求点 D 与点 C 的高度差 DH;

A

C

(2)求所用不锈钢材料的总长度 l (即 AD+AB+BC,结果精确到 0.1 米 ) . ( 参 考 数 据 : sin66.5°≈0.92 , cos66.5°≈0.40 , tan66.5°≈2.30)

答案 一、选择题 1——5、CAADB 二、填空题
3 1, 5
勾股定理 CE) 4. 6 ? 2 (点拨: 连结 PP' 过点 B 作 BD⊥PP' 因为∠PBP' , , =30°, 所以∠PBD=15°,

6——12、BCABDAB

7 2, 3

3,30°(点拨:过点 C 作 AB 的垂线 CE,构造直角三角形,利用

6? 2 4 利用 sin15°= ,先求出 PD,乘以 2 即得 PP' )

5.48(点拨:根据两直线平行,内错角相等判断)

4?
6.(0,

4 3 3 )(点拨:过点 B 作 BC⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分别求得

AC 与 OC 的长) 2 2 7.1(点拨:根据公式 sin ? +cos ? =1)

5 AC tan B ? AB 求出结果) 8. 12 (点拨:先根据勾股定理求得 AC=5,再根据
9.4.86(点拨:利用正切函数分别求了 BD,BC 的长) 10. 20sin ? (点拨:根据 11.35 三,解答题可求得 1. ?1; 2. 4 3.解: (1)在 Rt?ABD 中,有 tan B ?

sin ? ?

BC AB ,求得 BC ? AB ? sin ? )

AD AD , Rt?ADC 中,有 cos?DAC ? BD AC

? tan B ? cos ?DAC ? AD AD ? ,故AC ? BD BD AC

AD 12 ;可设 AD ? 12x,AC ? BD ? 13x ? AC 13 由勾股定理求得 DC ? 5x , ?BC ? 12 ? BD ? DC ? 18x ? 12 2 2 即x ? ? AD ? 12 ? ? 8 3 3 BC 4.解:由 tan ?BAC ? AC ? BC ? AC tan ?BAC
(2)由 sin C ?

? AC ? m,?BAC ? ? ? BC ? m tan ? ? S ?ABC ? 1 1 1 AC ? BC ? m ? m tan ? ? m 2 tan ? 2 2 2

5 解过 D 做 DE⊥AB 于 E ∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45 A 300 450

E r

D

在 RtΔ ACB 中, tgACB ?

AB BC

? AB ? BC ? tg 45 ? ? 45(米)
在 RtΔ ADE 中,∠ADE=30°

tgADE ?

AE DE

? AE ? DE ? tg30 ? ? 45 ?

3 ? 15 3 3

? CD ? AB ? AE ? 45 ? 15 3 (米)
答:甲楼高 45 米,乙楼高 45 ? 15 3 米. 6 解:设 CD=x

BC CD AC 在 RtΔ ACD 中, ctgDAC ? CD
在 RtΔ BCD 中, ctgDBC ? ∵AC-BC=100

∴BC=x(用 x 表示 BC)

? AC ? CD ? ctgDAC ? 3x

3 x ? x ? 100

( 3 ? 1) x ? 100

∴ x ? 50( 3 ? 1) 答:铁塔高 50 ( 3 ? 1) 米. 7、解:过 B 作 BF ? CD,垂足为 F

? AE ? BF
在等腰梯形 ABCD 中 AD=BC ?C ? ?D

? iBC ? 2 : 3 ?AE=3m ?DE=4.5m ?AD=BC, ?C ? ?D , ?CFB ? ?DEA ? 90? ? ? BCF ? ? ADE ?CF=DE=4.5m ?EF=3m ? ?BFE ? ?AEF ? 90? ?BF//CD ?四边形 ABFE 为平行四边形 ?AB=EF=3m 8 解:?CD ⊥ FB , AB ⊥ FB ,?CD ∥ AB ? CGE ∽△AHE △ CG EG CD ? EF FD ,即: ? ? ? AH EH AH FD ? BD 3 ? 1.6 2 ,? AH ? 11.9 ? ? AH 2 ? 15

A

C
E

H
F D B

? AB ? AH ? HB ? AH ? EF ? 11.9 ? 1.6 ? 13.5(m)
9 解:?A、C、E 成一直线

?ABD ? 145? ,?D ? 55? , ??BED ? 90?
在 Rt?BED 中,?cos D ?

?BD ? 500 米, ?D ? 55? ? DE ? 500 cos55? 米,
10

DE , ? DE ? BD ?cos D BD

所以 E 离点 D 的距离是 500cos55

o

解:在 Rt△ABD 中, AD ? 16 ?

7 , ? 28 (海里) 4

∠ BAD=90°-65°45′=24°15′. ∵ cos24°15′=

AD AD 28 , ∴AB ? ? ? 30.71 (海里). AB cos 24?15? 0.9118 CE , AC

AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 在 Rt△ACE 中,sin24°15′=

∴ CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里). ∵ 17.54<18.6,∴ 有触礁危险。 【答案】有触礁危险,不能继续航行。 11、 (1)过 A 作 AC ? BF,垂足为 C

? ?1 ? 60? ? ?ABC ? 30?
在 RT ? ABC 中 AB=300km

F

?ABC ? 30? ? AC ? 150 k m ? A城会受到这次台风的影响
(2)
B

60?
A

在BF上取D, 使AD ? 200 k m 在BF上取E, 使AE ? AD ? AC ? 150 k m, ad ? 200 k m ? CD ? 50 7 k m ? DE ? 100 7 k m ? v ? 10 7 k m h ?t ? 100 7 k m ? 10 h 10 7 k m h

答:A 城遭遇这次台风影响 10 个小时。

12

解: (1)在 A 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为α 在 B 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为β

(2 )在Rt?HAI中,AI ? tan ? tan ?m tan ? ? tan ?

HI tan ?

DI ?

HI tan ?

AI ? DI ? m

HI ?

HG ? HI ? IG ?

tan ? tan ?m ?n tan ? ? tan ?

13 解:设需要 t 小时才能追上。 则 AB ? 24 t,OB ? 26t
2 2 2 (1)在 Rt?AOB 中,?OB ? OA ? AB ,? (26t ) ? 10 ? (24 t )
2 2 2

则 t ? 1(负值舍去)故需要 1 小时才能追上。 (2)在 Rt?AOB 中

AB 24 t ? ? 0.9231 OB 26t 即巡逻艇沿北偏东 67.4? 方向追赶。 ?sin ?AOB ?
14

??AOB ? 67.4?

( )在Rt?APB中,AP ? AP sin 30? ? 80 ? 100 解: 1
? 会影响
N B D 30o P 160 A Q 100

M

( 2 )在Rt?ABD中 BD ? 100 2 ? 80 2 ? 60(米)

60 ? 2 ? 2 (分钟) 1000 3.6 ? 60 ? 2 分钟
15 解: ∵ BFC = 30? ,∠ ∠ BEC = 60? ,∠ BCF = 90? ∴ EBF =∠ ∠ EBC = 30? ∴ = EF = 20 BE

在 Rt⊿ 中, BCE

BC ? BE ? sin 60? ? 20 ?

3 ? 17.3(m) 2

答:宣传条幅 BC 的长是 17.3 米。 16 解:过 C 作 AB 的垂线,交直线 AB 于点 D,得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD. 设 BD=x 海里, CD 在 Rt△BCD 中,tan∠ CBD= , BD ∴ CD=x ·tan63.5°. A CD 在 Rt△ACD 中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠ A= , AD ∴ CD=( 60+x ) ·tan21.3°. 2 ∴ x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,即 2 x ? ? 60 ? x ? . 5 解得,x=15. 答:轮船继续向东航行 15 海里,距离小岛 C 最近 17 解:过 B 点作 BE ? AP ,垂足为点 E ;过 C 点分别作 CD ? AP , CF ? BE ,垂足分别为点 D,F ,则四边形 CDEF 为矩形. ?CD ? EF,DE ? CF ,??????????3 分

C

B

D

? ?QBC ? 30? ,

??CBF ? 60? . ? AB ? 20,?BAD ? 40? , ? AE ? AB? 40 ≈ 20 ? 0.7660 ≈15.3 ; cos
?



P D E
40?

Q

C

30?

BE ? AB? 40? ≈ 20 ? 0.6428 ? 12.856 ≈12.9 . sin ? BC ? 10,?CBF ? 60 ,
?

F

B

A

?CF ? BC ? 60? ≈10 ? 0.866 ? 8.66 ≈ 8.7 ; sin BF ? BC ? 60? ? 10 ? 0.5 ? 5 . cos

?CD ? EF ? BE ? BF ? 12.9 ? 5 ? 7.9 . ? DE ? CF ≈ 8.7 , ? AD ? DE ? AE ≈15.3 ? 8.7 ? 24.0 .

?由勾股定理,得 AC ? AD 2 ? CD 2 ≈ 24.02 ? 7.92 ? 638.41 ≈ 25 .
即此时小船距港口 A 约 25 海里 18 解(1)在 Rt△OCB 中, sin 45.54 ?
?

OB 1分 CB

OB ? 6.13 ? sin 45.54? ≈ 4.375 (km)
火箭到达 B 点时距发射点约 4.38km (2)在 Rt△OCA 中, sin 43? ? 4分

3分

OA 1分 CA

OA ? 6 ? sin 43? ? 4.09(km) 3 分

v ? (OB ? OA) ? t ? (4.38 ? 4.09) ?1 ≈ 0.3(km / s) 5 分
答:火箭从 A 点到 B 点的平均速度约为 0.3km / s 19 解: (1)在 Rt?BAC 中, ?ACB ? 68 ,
?

∴ AB ? AC ? tan 68 ? 100 ? 2.48 ? 248 (米)
?

答:所测之处江的宽度约为 248 米????????????????????(3 分) (2)从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识 来解决问题的,只要正确即可得分 20 解:(1)DH=1.6×

3 =l.2(米).(2)过 B 作 BM⊥AH 于 M,则四边形 BCHM 4

是矩形. MH=BC=1 ∴ AM=AH-MH=1+1.2 一 l=l.2. 在 RtAMB 中,∵∠A=66.5° ∴ AB=

AM 1.2 ? ? 3.0 (米). cos 66.5? 0.40

∴ S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米). 答:点 D 与点 C 的高度差 DH 为 l.2 米;所用不锈钢材料的总长度约为 5.0 米


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