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2018年秋高中数学课时分层作业7数系的扩充和复数的概念新人教A版选修1_2

课时分层作业(七) 数系的扩充和复数的概念

(建议用时:40 分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1.下列命题: (1)若 a+bi=0,则 a=b=0; (2)x+yi=2+2i?x=y=2; (3)若 y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则 y=1.

其中正确命题的个数为( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

B [(1),(2)所犯的错误是一样的,即 a,x 不一定是复数的实部,b,y 不一定是复数

的虚部;(3)正确,因为 y∈R,所以 y2-1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得

{y2-1=0, - y- =0. 解得 y=1.]

2.若复数 z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数 m 的值为 ( )

【导学号:48662121】

A.-2

B.3

C.-3
B [由题知{m2-9=

D.±3 m+2>0 ,解得 m=3,故选 B.]

3.以 3i- 2的虚部为实部,以 3i2+ 2i 的实部为虚部的复数是( )

A.3-3i

B.3+i

C.- 2+ 2i

D. 2+ 2i

A [3i- 2的虚部为 3,3i2+ 2i=-3+ 2i 的实部为-3,故选 A.] 4.4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a 的值为( )

A.1

B.1 或-4

C.-4

D.0 或-4

C [由题意知{4-3a=a2, -a2=4a, 解得 a=-4.]

5.设 a,b∈R.“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( )

【导学号:48662122】

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

B [因为 a,b∈R.“a=0”时“复数 a+bi 不一定是纯虚数”.“复数 a+bi 是纯虚

数”则“a=0”一定成立.所以 a,b∈R.“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不

充分条件.]

二、填空题

6.设 m∈R,m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m=________.
-2 [{m2+m-2= m2-1≠0 ? m=-2.]
7.已知 z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且 z1=z2,则实数 m=________, n=________.

【导学号:48662123】

2 ±2 [由复数相等的充要条件有

??n2-3m-1=-3, ???n2-m-6=-4

??m=2, ? ???n=±2.

]

8.下列命题:

①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=±1;

③两个虚数不能比较大小.

其中正确命题的序号是________.

③ [当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不能比较大小,故③对;若(x2
-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则{x2-1=0, x2+3x+2≠0, 即 x=1,故②错.]

三、解答题

9.若 x、y∈R,且(x-1)+yi>2x,求 x,y 的取值范围.

[解] ∵(x-1)+yi>2x,∴y=0 且 x-1>2x,

∴x<-1,

∴x,y 的取值范围分别为 x<-1,y=0.

10.实数 m 为何值时,复数 z=m

m+ m-1

+(m2+2m-3)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯

虚数.

【导学号:48662124】

[解] (1)要使 z 是实数,m 需满足 m2+2m-3=0,且m(mm-+12)有意义即 m-1≠0,解得

m=-3.

(2)要使 z 是虚数,m 需满足 m2+2m-3≠0,且m(mm-+12)有意义即 m-1≠0,解得 m≠1

且 m≠-3.(3)要使 z 是纯虚数,m 需满足m(mm-+12)=0,m-1≠0,且 m2+2m-3≠0,解得 m

=0 或 m=-2.

[能力提升练]

1.下列命题正确的个数是( ) ①1+i2=0; ②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i; ③若 x2+y2=0,则 x=y=0;

④两个虚数不能比较大小.

A.1

B.2

C.0

D.3

B [对于①,因为 i2=-1,所以 1+i2=0,故①正确.对于②,两个虚数不能比较大

小,故②错. 对于③,当 x=1,y=i 时 x2+y2=0 成立,故③错.④正确.] 2.已知关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根 n,且 z=m+ni,则复数
z=( )

【导学号:48662125】

A.3+i

B.3-i

C.-3-i

D.-3+i

B [由题意,知 n2+(m+2i)n+2+2i=0,

即 n2+mn+2+(2n+2)i=0.

所以???n2+mn+2=0, ??2n+2=0,

解得?????mn==3-,1.

所以 z=3-i.]

3.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0 的实数解 x=________.

2 [方程可化为{2x2-3x-2=0, x2-5x+6=0. 解得 x=2.]

4.复数 z=cos ???π2 +θ ???+isin ???π2 +θ ???,且 θ ∈???-π2 ,π2 ???,若 z 是实数,则 θ 的 值为________;若 z 为纯虚数,则 θ 的值为________.
【导学号:48662126】

±π2 0 [若 z 为实数,则 sin???π2 +θ ???=cos θ =0,

又∵θ ∈???-π2 ,π2 ???,∴θ =±π2 . 若 z 为纯虚数,则有

??cos ???π2 +θ ???=-sin θ =0, ?sin???π2 +θ ???=cos θ ≠0, ??θ ∈???-π2 ,π2 ???,

? θ =0.]

5.设 z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若 z1<z2,求实数 m 的取值 范围.
[解] 由于 z1<z2,m∈R,∴z1∈R 且 z2∈R, 当 z1∈R 时,m2+m-2=0,m=1 或 m=-2. 当 z2∈R 时,m2-5m+4=0,m=1 或 m=4, ∴当 m=1 时,z1=2,z2=6,满足 z1<z2. ∴z1<z2 时, 实数 m 的取值为 m=1.